Hidrodinamica: Accelerația punctuală

Hidrodinamica este acea parte a fizicii care se ocupă de mișcarea fluidelor. Pentru a simplifica matematica, fluidele tratate se presupune că sunt de obicei perfecte, de exemplu.

(1) nu suportă tensiuni tangenţiale,
(2) structura lor este continuă.

Dacă orice suprafață plană este scufundată într-un fluid, conform primeia dintre aceste ipoteze, forța rezultantă exercitată de fluid pe suprafață trebuie să fie în unghi drept față de aceasta, indiferent dacă planul se mișcă relativ la fluid sau nu. În hidrostatică, adică atunci când avionul este în repaus în raport cu fluidul, știm ca fapt de experiență că împingerea este de fapt la unghi drept față de plan. În cazul mișcării relative, știm ca fapt experimental că forța rezultantă este oblică față de plan și are o componentă paralelă cu planul care rezistă mișcării relative. Definiția vâscozității depinde de acest fapt. Prin urmare, prima ipoteză este echivalentă cu neglijarea vâscozității.

În derivarea ecuațiilor de mișcare etc., va fi necesar să se ia în considerare mișcarea elementelor fluide mici. Conform celei de-a doua ipoteze, aceste elemente trebuie să posede în continuare proprietățile fluidului ca întreg. Nu trebuie să le luăm niciodată atât de mici încât să ajungem la moleculele individuale.

Există două metode de tratare a mișcării unui fluid, „lagrangianul” și „eulerianul”. În prima dintre aceste metode, căutăm să determinăm istoricul fiecărei particule din fluid. În a doua, ne fixăm atenția asupra unui anumit punct din spațiu și încercăm să determinăm viteza, densitatea și presiunea în acel punct pentru toate timpurile. Aici se va folosi doar metoda euleriană.

Fie u, v, w componentele vitezei paralele cu axele de coordonate în punctul x, y, z la momentul t. Atunci u, v, w sunt funcții ale lui x, y, z și t.

Să presupunem că P este punctul x, y, z și că particula care se află la P în momentul t se deplasează în punctul Q, ale cărui coordonate sunt x + δx, y + δy, z +δz în intervalul de timp δt.

Accelerația particulei este accelerația la P la momentul t. Creșterea componentei x a vitezei particulei în deplasarea de la P la Q este dată de

δu = ∂u/∂t δt + ∂u/∂x δx + ∂u/∂y δy + ∂u/∂z δz

Mergând de la P la Q facem un pas înainte în timp și un pas înainte în spațiu. Primul termen din dreapta se datorează celui dintâi, iar ceilalți trei celui din urmă.

Componenta x a accelerației particulei este

δu/δt_{Lt δt=0} = ∂u/∂t_{Lt δt=0} + ∂u/∂x δx/δt + ∂u/∂y δy/δt + ∂u/∂z δz/δt = ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z

întrucât δx/δt = u, …, … În mod similar, componentele y și z ale accelerației la P sunt date respectiv de

∂v/∂t + u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z și ∂w/∂t + u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z

Prin urmare, dacă d/dt indică operatorul

∂/∂t + u ∂/∂x + v ∂/∂y + w ∂/∂z

cele trei componente ale accelerației la P pot fi scrise

du/dt, dv/dt dw/dt.