Momentul de inerție

(10.16)   K = ½ (∑_jm_jr²_j)ω².

Dacă comparăm ecuația 10.16 cu modul în care am scris energia cinetică în Lucrul mecanic și energia cinetică, (½ mv²), aceasta sugerează că avem o nouă variabilă de rotație de adăugat la lista noastră de relații dintre variabilele de rotație și de translație. Mărimea ∑_jm_jr²_j este contrapartida pentru masă în ecuația pentru energia cinetică de rotație. Acesta este un termen nou important pentru mișcarea de rotație. Această mărime se numește momentul de inerție I, cu unități de kg⋅m²:

(10.17)   I = ∑jmjr2j.

 

Deocamdată, lăsăm expresia sub formă de însumare, reprezentând momentul de inerție al unui sistem de particule punctiforme care se rotesc în jurul unei axe fixe. Observăm că momentul de inerție al unei particule unice punctuale în jurul unei axe fixe este pur și simplu mr², r fiind distanța de la particule punctiforme la axa de rotație. În secțiunea următoare, vom explora forma integrală a acestei ecuații, care poate fi folosită pentru a calcula momentul de inerție al unor corpuri rigide de formă regulată.

Momentul de inerție este măsura cantitativă a inerției de rotație, la fel ca în mișcarea de translație, unde masa este măsura cantitativă a inerției liniare – adică cu cât un obiect este mai masiv, cu atât are mai multă inerție și cu atât rezistența lui este mai mare. pentru a modifica viteza liniară. În mod similar, cu cât este mai mare momentul de inerție al unui corp rigid sau al unui sistem de particule, cu atât este mai mare rezistența acestuia la modificarea vitezei unghiulare în jurul unei axe fixe de rotație. Este interesant de observat cum variază momentul de inerție cu r, distanța până la axa de rotație a particulelor de masă din ecuația 10.17. Corpurile rigide și sistemele de particule cu masă mai mare concentrate la o distanță mai mare de axa de rotație au momente de inerție mai mari decât corpurile și sistemele de aceeași masă, dar concentrate în apropierea axei de rotație. În acest fel, putem vedea că un cilindru gol are o inerție de rotație mai mare decât un cilindru solid de aceeași masă atunci când se rotește în jurul unei axe prin centru. Înlocuind ecuația 10.17 în ecuația 10.16, expresia energiei cinetice a unui corp rigid rotativ devine

(10.18)   K = ½ Iω2.

 

Din această ecuație vedem că energia cinetică a unui corp rigid rotativ este direct proporțională cu momentul de inerție și cu pătratul vitezei unghiulare. Acest lucru este exploatat în dispozitivele de stocare a energiei volante, care sunt concepute pentru a stoca mari cantități de energie cinetică de rotație. Mulți producători de automobile testează acum dispozitive de stocare a energiei volantului în mașinile lor, cum ar fi volantul sau sistemul de recuperare a energiei cinetice (Video: https://www.youtube.com/watch?v=FSACaqd3Pw8), prezentat în Figura 10.18.

Figura 10.18 Un volant KERS (sistem de recuperare a energiei cinetice) utilizat la mașinile de Formula 1.

Video: Procesul de funcționare al KERS în Formula 1:

Mărimile de rotație și translație pentru energia cinetică și inerție sunt rezumate în Tabelul 10.4. Coloana de relații nu este inclusă deoarece nu există o constantă prin care să putem înmulți mărimea de rotație pentru a obține mărimea de translație, așa cum se poate face pentru variabilele din Tabelul 10.3.

Rotație	Translație
I = ∑jmjr2j	m
K = ½ Iω2	K = ½ mv2

Tabelul 10.4 Energii cinetice și inerții de rotație și translație

EXEMPLUL 10.8 Momentul de inerție al unui sistem de particule Șase șaibe mici sunt distanțate la 10 cm pe o tijă de masă neglijabilă și 0,5 m lungime. Masa fiecărei șaibe este de 20 g. Tija se rotește în jurul unei axe situate la 25 cm, așa cum se arată în Figura 10.19. (a) Care este momentul de inerție al sistemului? (b) Dacă cele două șaibe cele mai apropiate de axă sunt îndepărtate, care este momentul de inerție al celor patru șaibe rămase? (c) Dacă sistemul cu șase șaibe se rotește cu 5 rotații/s, care este energia lui cinetică de rotație? Figura 10.19 Șase șaibe sunt distanțate la 10 cm pe o tijă de masă neglijabilă și care se rotește în jurul unei axe verticale. Strategie a. Folosim definiția momentului de inerție pentru un sistem de particule și efectuăm însumarea pentru a evalua această cantitate. Masele sunt toate aceleași, așa că putem trage acea cantitate în fața simbolului de însumare. b. Facem un calcul similar. c. Inserăm rezultatul de la (a) în expresia pentru energia cinetică de rotație. Soluție a. I = ∑jmjr2j = (0,02 kg)(2 × (0,25 m)2 + 2 × (0,15 m)2 + 2 × (0,05 m)2) = 0,0035 kg⋅m2. b. I = ∑jmjr2j = (0,02 kg)(2 × (0,25 m)2 + 2 × (0,15 m)2) = 0,0034 kg⋅m2. c. K = ½ Iω2 = ½ (0,0035 kg⋅m2)(5,0 × 2π rad/s)2 = 1,73 J. Semnificație Putem vedea contribuțiile individuale la momentul de inerție. Masele apropiate de axa de rotație au o contribuție foarte mică. Când le-am îndepărtat, a avut un efect foarte mic asupra momentului de inerție.

 

În secțiunea următoare, generalizăm ecuația de însumare pentru particulele punctuale și dezvoltăm o metodă de calculare a momentelor de inerție pentru corpurile rigide. Pentru moment, însă, Figura 10.20 oferă valori ale momentului de inerție pentru formele comune ale obiectelor în jurul axelor specificate.

Figura 10.20 Momentul de inerție pentru formele comune ale obiectelor.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1