Oscilații pe un arc orizontal și vertical

Perioada și frecvența unei mase pe un arc

O caracteristică interesantă a mișcării armonice simple a unui obiect atașat la un arc este că frecvența unghiulară și, prin urmare, perioada și frecvența mișcării, depind doar de masa și constanta de forță, și nu de alți factori, cum ar fi amplitudinea mișcării. Putem folosi ecuațiile mișcării și a doua lege a lui Newton (F⃗_net = ma⃗ ) pentru a găsi ecuații pentru frecvența unghiulară, frecvența și perioada.

Luați în considerare blocul pe un arc pe o suprafață fără frecare. Există trei forțe asupra masei: greutatea, forța normală și forța datorată arcului. Singurele două forțe care acționează perpendicular pe suprafață sunt greutatea și forța normală, care au mărimi egale și direcții opuse și, astfel, însumează zero. Singura forță care acționează paralel cu suprafața este forța datorată arcului, deci forța netă trebuie să fie egală cu forța arcului:

F_x = −kx;

ma = −kx;

md²x/dt² = −kx;

d²x/dt² = −kx/m

Înlocuind ecuațiile de mișcare cu x și a obținem

−Aω²cos(ωt+ϕ) = −k/m·Acos(ωt+ϕ).

Anulând termenii similari și rezolvând pentru frecvența unghiulară obținem

(15.9)  ω = √k/m.

Frecvența unghiulară depinde doar de constanta forței și de masă, și nu de amplitudine. Frecvența unghiulară este definită ca ω = 2π/T, ceea ce dă o ecuație pentru perioada mișcării:

(15.10)            T=2π√m/k.

De asemenea, perioada depinde doar de masă și constanta de forță. Cu cât masa este mai mare, cu atât perioada este mai lungă. Cu cât arcul este mai rigid, cu atât perioada este mai scurtă. Frecvența este

(15.110           f = 1/T = 1/2π·√k/m.

Mișcare verticală și un arc orizontal

Când un arc este atârnat vertical și un bloc este atașat și pus în mișcare, blocul oscilează în mișcarea armonică simplă. În acest caz, nu există o forță normală, iar efectul net al forței gravitaționale este schimbarea poziției de echilibru. Luați în considerare Figura 15.9. Două forțe acționează asupra blocului: greutatea și forța arcului. Greutatea este constantă și forța arcului se modifică pe măsură ce lungimea arcului se modifică.

Figura 15.9 Un arc este atârnat de tavan. Când un bloc este atașat, blocul se află în poziția de echilibru în care greutatea blocului este egală cu forța arcului. (a) Arcul este atârnat de tavan și poziția de echilibru este marcată cu y_o. (b) O masă este atașată de arc și se atinge o nouă poziție de echilibru (y₁ = y_o − Δy) atunci când forța furnizată de arc este egală cu greutatea masei. (c) Diagrama cu corp liber a masei arată cele două forțe care acționează asupra masei: greutatea și forța arcului.

Când blocul ajunge în poziția de echilibru, așa cum se vede în Figura 15.9, forța arcului este egală cu greutatea blocului, F_net = F_s – mg = 0, unde

−k(−Δy) = mg.

Din figură, modificarea poziției este Δy = y₀ − y₁ și deoarece −k(−Δy) = mg, avem

k(y₀−y₁) – mg = 0.

Dacă blocul este deplasat și eliberat, acesta va oscila în jurul noii poziții de echilibru. După cum se arată în Figura 15.10, dacă poziția blocului este înregistrată în funcție de timp, înregistrarea este o funcție periodică.

Dacă blocul este deplasat într-o poziție y, forța netă devine F_net = k(y − y₀) −mg = 0. Dar am constatat că la poziția de echilibru, mg = kΔy = ky₀ − ky₁. Înlocuind ponderea în ecuație rezultă

F_net = ky − ky₀ − (ky₀ − ky₁) = −k(y − y₁).

Amintiți-vă că y₁ este doar poziția de echilibru și orice poziție poate fi setată să fie punctul y=0,00m. Deci, să setăm y₁ la y = 0\.,00 m. Forța netă devine atunci

F_net = −ky;

md²y/dt² = −ky.

Acesta este exact ceea ce am găsit anterior pentru o masă care alunecă orizontal pe un arc. Forța constantă a gravitației a servit doar la schimbarea locației de echilibru a masei. Prin urmare, soluția ar trebui să aibă aceeași formă ca pentru un bloc pe un arc orizontal, y(t) = Acos(ωt+ϕ). Ecuațiile pentru viteză și accelerație au, de asemenea, aceeași formă ca și pentru cazul orizontal. Rețineți că includerea defazajului înseamnă că mișcarea poate fi de fapt modelată folosind fie o funcție cosinus, fie o funcție sinus, deoarece aceste două funcții diferă doar printr-o defazare.

Figura 15.10 Grafice ale lui y(t), v(t) și a(t) față de t pentru mișcarea unui obiect pe un arc vertical. Forța netă asupra obiectului poate fi descrisă de legea lui Hooke, astfel încât obiectul este supus mișcării armonice simple. Rețineți că poziția inițială are deplasarea verticală la valoarea sa maximă A; v este inițial zero și apoi negativ pe măsură ce obiectul se mișcă în jos; accelerația inițială este negativă, înapoi spre poziția de echilibru și devine zero în acel punct.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introductionacces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1