(Un elicopter are elicele sale principale de ridicare rotindu-se pentru a menține aeronava în aer. Datorită conservării momentului unghiular, corpul elicopterului ar dori să se rotească în sens opus palelor, dacă nu ar fi micul rotor de pe coada aeronavei, care oferă forță pentru a-l stabiliza.)
Momentul unghiular este omologul de rotație al impulsului liniar. Orice obiect masiv care se rotește în jurul unei axe poartă moment unghiular, inclusiv volante rotative, planete, stele, uragane, tornade, vârtejuri și așa mai departe. Elicopterul prezentat în imaginea de deschidere a capitolului poate fi folosit pentru a ilustra conceptul de moment unghiular. Elicele de ridicare se rotesc în jurul unei axe verticale prin corpul principal și poartă moment unghiular. Corpul elicopterului tinde să se rotească în sens opus pentru a conserva momentul unghiular. Rotoarele mici de la coada aeronavei oferă o contraîmpingere împotriva corpului pentru a preveni acest lucru, iar elicopterul se stabilizează. Conceptul de conservare a momentului unghiular este discutat mai târziu în acest capitol. În partea principală a acestui capitol, explorăm complexitățile momentului unghiular al corpurilor rigide, cum ar fi un titirez, precum și ale particulelor punctiforme și ale sistemelor de particule. Dar pentru a fi complet, începem cu o discuție despre mișcarea de rulare, care se bazează pe conceptele din capitolul anterior.
Mișcarea de rulare
Mișcarea de rulare este acea combinație comună de mișcare de rotație și translație pe care o vedem peste tot, în fiecare zi. Gândiți-vă la diferitele situații în care roțile se mișcă la o mașină de-a lungul unei autostrăzi, sau roțile unui avion care aterizează pe o pistă, sau roțile unui explorator robot pe o altă planetă. Înțelegerea forțelor și a cuplurilor implicate în mișcarea de rulare este un factor crucial în multe tipuri diferite de situații.
Pentru analiza mișcării de rulare în acest capitol, consultați Figura 10.20 din Rotația cu axă fixă pentru a găsi momentele de inerție ale unor obiecte geometrice comune. De asemenea, îl puteți găsi util în alte calcule care implică rotația.
Mișcarea de rulare fără alunecare
Oamenii au observat mișcarea de rulare fără alunecare încă de inventarea roții. De exemplu, ne putem uita la interacțiunea dintre anvelopele unei mașini și suprafața drumului. Dacă șoferul apasă accelerația repede și mult astfel încât anvelopele se învârt fără ca mașina să se deplaseze înainte, există o frecare cinetică între roți și suprafața drumului. Dacă șoferul apasă încet accelerația, determinând mașina să avanseze, atunci anvelopele rulează fără să alunece. Este surprinzător pentru majoritatea oamenilor că, de fapt, partea inferioară a roții este în repaus față de sol, ceea ce indică faptul că trebuie să existe o frecare statică între anvelope și suprafața drumului. În Figura 11.2, bicicleta este în mișcare cu biciclistul în poziție verticală. Anvelopele au contact cu suprafața drumului și, deși rulează, fundul anvelopelor se deformează ușor, nu alunecă și sunt în repaus față de suprafața drumului pentru o perioadă de timp măsurabilă. Pentru ca acest lucru să fie așa, trebuie să existe o frecare statică între anvelopă și suprafața drumului.
(Bicicleta se deplasează înainte și anvelopele nu alunecă. Partea inferioară a anvelopei ușor deformate este în repaus în raport cu suprafața drumului pentru o perioadă de timp măsurabilă. (b) Această imagine arată că partea superioară a unei roți care rulează pare neclară din cauza mișcării sale, dar partea inferioară a roții este instantaneu în repaus.)
Pentru a analiza rularea fără alunecare, mai întâi derivăm variabilele liniare ale vitezei și accelerației centrului de masă al roții în termeni de variabilele unghiulare care descriu mișcarea roții. Situația este prezentată în Figura de mai jos.
((a) O roată este trasă pe o suprafață orizontală de o forță F⃗. Forța de frecare statică f⃗s, ∣f⃗s∣ ≤ μsN este suficient de mare pentru a o împiedica să alunece. (b) Vectorii viteza liniară și accelerație ai centrului de masă și expresiile relevante pentru ω și α. Punctul P este în repaus în raport cu suprafața. (c) Raportat la cadrul centrului de masă (CM), punctul P are viteza liniară −Rωiˆ.)
Din Figura (a), vedem vectorii forță implicați în prevenirea alunecării roții. În (b), punctul P care atinge suprafața este în repaus în raport cu suprafața. Raportat la centrul de masă, punctul P are viteza −Rωiˆ, unde R este raza roții și ω este viteza unghiulară a roții în jurul axei sale. Deoarece roata rulează, viteza lui P față de suprafață este viteza sa față de centrul de masă plus viteza centrului de masă față de suprafață:
v⃗P = −Rωiˆ + vCMiˆ
Deoarece viteza lui P în raport cu suprafața este zero, vP = 0, aceasta spune că
(11.1) vCM = Rω. |
Astfel, viteza centrului de masă al roții este raza acestuia înmulțită cu viteza unghiulară în jurul axei sale. Arătăm corespondența variabilei liniare din partea stângă a ecuației cu variabila unghiulară din partea dreaptă a ecuației. Acest lucru se face mai jos pentru accelerația liniară.
Dacă diferențiem ecuația 11.1 din partea stângă a ecuației, obținem o expresie pentru accelerația liniară a centrului de masă. În partea dreaptă a ecuației, R este o constantă și deoarece α = dω/dt, avem
(11.2) aCM = Rα |
Mai mult, putem afla distanța pe care o parcurge roata în termeni de variabile unghiulare, făcând referire la Figura 11.4. Pe măsură ce roata se rostogolește de la punctul A la punctul B, suprafața sa exterioară se mapează pe sol exact după distanța parcursă, care este dCM. Din figura 11.4 vedem că lungimea suprafeței exterioare care se mapează pe sol este lungimea arcului Rθ. Echivalând cele două distanțe, obținem
(11.3) dCM = Rθ |
(Pe măsură ce roata se rostogolește pe suprafață, lungimea arcului Rθ de la A la B se mapează pe suprafață, corespunzătoare distanței dCM pe care s-a deplasat centrul de masă.)
PROBLEMA 11.1
Un cilindru gol se află pe o înclinare la un unghi de 60°. Coeficientul de frecare statică pe suprafață este μs = 0,6. (a) Rulează cilindrul fără să alunece? (b) Va rula un cilindru solid fără alunecare? |
Merită să repetați ecuația derivată în acest exemplu pentru accelerarea unui obiect care rulează fără alunecare:
(11.4) aCM = mgsinθ/(m+(ICM/r2)). |
Aceasta este o ecuație foarte utilă pentru rezolvarea problemelor care implică rularea fără alunecare. Rețineți că accelerația este mai mică decât cea a unui obiect care alunecă într-un plan fără frecare și fără rotație. Accelerația va fi diferită și pentru două obiecte care se rotesc cu inerții de rotație diferite.
Lasă un răspuns