Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Mișcarea de rulare fără alunecare

Mișcarea de rulare fără alunecare

postat în: Mecanica 0

Elicopter
(Un elicopter are elicele sale principale de ridicare rotindu-se pentru a menține aeronava în aer. Datorită conservării momentului unghiular, corpul elicopterului ar dori să se rotească în sens opus palelor, dacă nu ar fi micul rotor de pe coada aeronavei, care oferă forță pentru a-l stabiliza.)

Momentul unghiular este omologul de rotație al impulsului liniar. Orice obiect masiv care se rotește în jurul unei axe poartă moment unghiular, inclusiv volante rotative, planete, stele, uragane, tornade, vârtejuri și așa mai departe. Elicopterul prezentat în imaginea de deschidere a capitolului poate fi folosit pentru a ilustra conceptul de moment unghiular. Elicele de ridicare se rotesc în jurul unei axe verticale prin corpul principal și poartă moment unghiular. Corpul elicopterului tinde să se rotească în sens opus pentru a conserva momentul unghiular. Rotoarele mici de la coada aeronavei oferă o contraîmpingere împotriva corpului pentru a preveni acest lucru, iar elicopterul se stabilizează. Conceptul de conservare a momentului unghiular este discutat mai târziu în acest capitol. În partea principală a acestui capitol, explorăm complexitățile momentului unghiular al corpurilor rigide, cum ar fi un titirez, precum și ale particulelor punctiforme și ale sistemelor de particule. Dar pentru a fi complet, începem cu o discuție despre mișcarea de rulare, care se bazează pe conceptele din capitolul anterior.

Mișcarea de rulare

Mișcarea de rulare este acea combinație comună de mișcare de rotație și translație pe care o vedem peste tot, în fiecare zi. Gândiți-vă la diferitele situații în care roțile se mișcă la o mașină de-a lungul unei autostrăzi, sau roțile unui avion care aterizează pe o pistă, sau roțile unui explorator robot pe o altă planetă. Înțelegerea forțelor și a cuplurilor implicate în mișcarea de rulare este un factor crucial în multe tipuri diferite de situații.

Pentru analiza mișcării de rulare în acest capitol, consultați Figura 10.20 din Rotația cu axă fixă pentru a găsi momentele de inerție ale unor obiecte geometrice comune. De asemenea, îl puteți găsi util în alte calcule care implică rotația.

Mișcarea de rulare fără alunecare

Oamenii au observat mișcarea de rulare fără alunecare încă de inventarea roții. De exemplu, ne putem uita la interacțiunea dintre anvelopele unei mașini și suprafața drumului. Dacă șoferul apasă accelerația repede și mult astfel încât anvelopele se învârt fără ca mașina să se deplaseze înainte, există o frecare cinetică între roți și suprafața drumului. Dacă șoferul apasă încet accelerația, determinând mașina să avanseze, atunci anvelopele rulează fără să alunece. Este surprinzător pentru majoritatea oamenilor că, de fapt, partea inferioară a roții este în repaus față de sol, ceea ce indică faptul că trebuie să existe o frecare statică între anvelope și suprafața drumului. În Figura 11.2, bicicleta este în mișcare cu biciclistul în poziție verticală. Anvelopele au contact cu suprafața drumului și, deși rulează, fundul anvelopelor se deformează ușor, nu alunecă și sunt în repaus față de suprafața drumului pentru o perioadă de timp măsurabilă. Pentru ca acest lucru să fie așa, trebuie să existe o frecare statică între anvelopă și suprafața drumului.

Bicicleta
(Bicicleta se deplasează înainte și anvelopele nu alunecă. Partea inferioară a anvelopei ușor deformate este în repaus în raport cu suprafața drumului pentru o perioadă de timp măsurabilă. (b) Această imagine arată că partea superioară a unei roți care rulează pare neclară din cauza mișcării sale, dar partea inferioară a roții este instantaneu în repaus.)

Pentru a analiza rularea fără alunecare, mai întâi derivăm variabilele liniare ale vitezei și accelerației centrului de masă al roții în termeni de variabilele unghiulare care descriu mișcarea roții. Situația este prezentată în Figura de mai jos.


((a) O roată este trasă pe o suprafață orizontală de o forță F. Forța de frecare statică fs, ∣fs∣ ≤ μsN este suficient de mare pentru a o împiedica să alunece. (b) Vectorii viteza liniară și accelerație ai centrului de masă și expresiile relevante pentru ω și α. Punctul P este în repaus în raport cu suprafața. (c) Raportat la cadrul centrului de masă (CM), punctul P are viteza liniară −Rω.)

Din Figura (a), vedem vectorii forță implicați în prevenirea alunecării roții. În (b), punctul P care atinge suprafața este în repaus în raport cu suprafața. Raportat la centrul de masă, punctul P are viteza −Rω, unde R este raza roții și ω este viteza unghiulară a roții în jurul axei sale. Deoarece roata rulează, viteza lui P față de suprafață este viteza sa față de centrul de masă plus viteza centrului de masă față de suprafață:

vP = −Rωiˆ + vCM

Deoarece viteza lui P în raport cu suprafața este zero, vP = 0, aceasta spune că

(11.1)  vCM = Rω.

 

Astfel, viteza centrului de masă al roții este raza acestuia înmulțită cu viteza unghiulară în jurul axei sale. Arătăm corespondența variabilei liniare din partea stângă a ecuației cu variabila unghiulară din partea dreaptă a ecuației. Acest lucru se face mai jos pentru accelerația liniară.

Dacă diferențiem ecuația 11.1 din partea stângă a ecuației, obținem o expresie pentru accelerația liniară a centrului de masă. În partea dreaptă a ecuației, R este o constantă și deoarece α = dω/dt, avem

(11.2)  aCM = Rα

 

Mai mult, putem afla distanța pe care o parcurge roata în termeni de variabile unghiulare, făcând referire la Figura 11.4. Pe măsură ce roata se rostogolește de la punctul A la punctul B, suprafața sa exterioară se mapează pe sol exact după distanța parcursă, care este dCM. Din figura 11.4 vedem că lungimea suprafeței exterioare care se mapează pe sol este lungimea arcului Rθ. Echivalând cele două distanțe, obținem

(11.3)  dCM = Rθ

 


(Pe măsură ce roata se rostogolește pe suprafață, lungimea arcului Rθ de la A la B se mapează pe suprafață, corespunzătoare distanței dCM pe care s-a deplasat centrul de masă.)

EXEMPLUL 11.1

Rularea în jos pe un plan înclinat

Un cilindru solid se rostogolește pe un plan înclinat fără alunecare, pornind din repaus. Are masa m și raza r. (a) Care este accelerația sa? (b) Ce condiție trebuie să îndeplinească coeficientul de frecare statică μs pentru ca cilindrul să nu alunece?

Strategie

Desenați o schiță și o diagramă cu corp liber și alegeți un sistem de coordonate. Punem x în direcția în jos în plan și y în sus perpendicular pe plan. Identificați forțele implicate. Acestea sunt forța normală, forța gravitațională și forța datorată frecării. Scrieți legile lui Newton în direcțiile x și y și legea lui Newton pentru rotație și apoi rezolvați accelerația și forța datorate frecării.

Soluţie

a. Diagrama corpului liber și schița sunt prezentate în Figura 11.5, incluzând forța normală, componentele greutății și forța de frecare statică. Abia există suficientă frecare pentru a menține cilindrul să ruleze fără să alunece. Deoarece nu există alunecare, mărimea forței de frecare este mai mică sau egală cu μsN. Notând legile lui Newton în direcțiile x și y, avem

∑Fx = max; ∑Fy = may


(Un cilindru solid se rostogolește pe un plan înclinat fără să alunece pornind din repaus. Sistemul de coordonate are x în direcția în jos pe planul înclinat și y perpendicular pe plan. Diagrama corpului liber este prezentată cu forța normală, forța de frecare statică și componentele greutății mg. Frecarea face ca cilindrul să se rostogolească în jos în plan, mai degrabă decât să alunece.)

Înlocuind din diagrama cu corp liber,

mgsinθ – fs = m(aCM)x,

N – mgcosθ = 0

apoi putem rezolva accelerația liniară a centrului de masă din aceste ecuații:

aCM = gsinθ – fs/m

Cu toate acestea, este util să exprimăm accelerația liniară în termeni de momentul de inerție. Pentru aceasta, notăm a doua lege a lui Newton pentru rotație,

∑τCM = ICMα.

Cuplurile sunt calculate în jurul axei care trece prin centrul de masă al cilindrului. Singurul cuplu diferit de zero este furnizat de forța de frecare. Avem

fsr = ICMα.

În cele din urmă, accelerația liniară este legată de accelerația unghiulară prin

(aCM)x = rα.

Aceste ecuații pot fi folosite pentru a rezolva pentru aCM, α, și fs în ceea ce privește momentul de inerție, unde am scăpat de indicele x. Rescriem aCM în ceea ce privește componenta verticală a gravitației și forța de frecare și facem următoarele înlocuiri.

fs = ICMα/r = ICMaCM/r2

Din aceasta obținem

aCM = gsinθ − ICMaCMmr2 = mgsinθ/(m + (ICM/r2)).

Rețineți că acest rezultat este independent de coeficientul de frecare statică, μs.

Deoarece avem un cilindru solid, din Figura 10.20, avem ICM = mr2/2 și

aCM = mgsinθ/(m + (mr2/2r2)) = (2/3)gsinθ.

Prin urmare, avem

α = aCM/r = (2/3r)gsinθ.

b. Deoarece rularea nu are loc, fs ≤ μsN. Rezolvând forța de frecare,

fs = ICMα/r = ICM(aCM)/r2 = (ICM/r2)(mgsinθ/(m + (ICM/r2)) = mgICMsinθ/(mr2 + ICM).

Înlocuind această expresie în condiția fără alunecare și notând că N = mgcosθ, avem

mgICMsinθ/(mr2+ICM) ≤ μsmgcosθ

sau

μs ≥ tanθ/(1 + (mr2/ICM)).

Pentru cilindrul solid, aceasta devine

μs ≥ tanθ/(1+(2mr2/mr2)) = (1/3)tanθ.

Semnificaţie

a. Accelerația liniară este liniar proporțională cu sinθ. Astfel, cu cât unghiul de înclinare este mai mare, cu atât accelerația liniară este mai mare, așa cum ar fi de așteptat. Totuși, accelerația unghiulară este liniar proporțională cu sinθ și invers proporțională cu raza cilindrului. Astfel, cu cât raza este mai mare, cu atât accelerația unghiulară este mai mică.

b. Pentru ca alunecarea să nu apară, coeficientul de frecare statică trebuie să fie mai mare sau egal cu (1/3)tanθ. Astfel, cu cât unghiul de înclinare este mai mare, cu atât trebuie să fie mai mare coeficientul de frecare statică pentru a preveni alunecarea cilindrului.

 

PROBLEMA 11.1

Un cilindru gol se află pe o înclinare la un unghi de 60°. Coeficientul de frecare statică pe suprafață este μs = 0,6. (a) Rulează cilindrul fără să alunece? (b) Va rula un cilindru solid fără alunecare?

 

Merită să repetați ecuația derivată în acest exemplu pentru accelerarea unui obiect care rulează fără alunecare:

(11.4)  aCM = mgsinθ/(m+(ICM/r2)).

 

Aceasta este o ecuație foarte utilă pentru rezolvarea problemelor care implică rularea fără alunecare. Rețineți că accelerația este mai mică decât cea a unui obiect care alunecă într-un plan fără frecare și fără rotație. Accelerația va fi diferită și pentru două obiecte care se rotesc cu inerții de rotație diferite.

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4,99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.

%d blogeri au apreciat: