Caracteristicile mișcării armonice simple

Un tip foarte comun de mișcare periodică se numește mișcare armonică simplă (MAS). Un sistem care oscilează cu MAS se numește un oscilator armonic simplu.

Mișcare armonică simplă

În mișcare armonică simplă, accelerația sistemului și, prin urmare, forța netă, este proporțională cu deplasarea și acționează în direcția opusă deplasării.

Un bun exemplu de MAS este un obiect cu masa m atașat la un arc pe o suprafață fără frecare, așa cum se arată în Figura 15.3. Obiectul oscilează în jurul poziției de echilibru, iar forța netă asupra obiectului este egală cu forța furnizată de arc. Această forță respectă legea lui Hooke F_s = −kx, așa cum s-a discutat într-un capitol anterior.

Dacă forța netă poate fi descrisă de legea lui Hooke și nu există amortizare (încetinire din cauza fricțiunii sau a altor forțe neconservative), atunci un oscilator armonic simplu oscilează cu deplasare egală pe ambele părți ale poziției de echilibru, așa cum se arată pentru un obiect pe un arc din Figura 15.3. Deplasarea maximă de la echilibru se numește amplitudine (A). Unitățile pentru amplitudine și deplasare sunt aceleași, dar depind de tipul de oscilație. Pentru obiectul de pe arc, unitățile de amplitudine și deplasare sunt metri.

(Un obiect atașat la un arc care alunecă pe o suprafață fără frecare este un oscilator armonic simplu necomplicat. În setul de figuri de mai sus, un corp este atașat la un arc și plasat pe o masă fără frecare. Celălalt capăt al arcului este atașat de perete. Poziția corpului, atunci când arcul nu este nici întins, nici comprimat, este marcată ca x = 0 și este poziția de echilibru. (a) Corpul este deplasat într-o poziție x = A și eliberat din repaus. (b) Corpul accelerează pe măsură ce se deplasează în direcția x negativă, atingând o viteză negativă maximă la x = 0. (c) Corpul continuă să se deplaseze în direcția x negativă, încetinind până când se oprește la x = −A. (d) Corpul începe apoi să accelereze în direcția x pozitivă, atingând o viteză maximă pozitivă la x = 0. (e) Corpul continuă apoi să se deplaseze în direcția pozitivă până când se oprește la x = A. Corpul continuă în MAS care are o amplitudine A și o perioadă T. Viteza maximă a obiectului apare când trece prin echilibru. Cu cât este mai rigid arcul, cu atât este mai mică perioada T. Cu cât este mai mare masa corpului, cu atât este mai mare perioada T.)

Ce este atât de semnificativ la MAS? În primul rând, perioada T și frecvența f ale unui oscilator armonic simplu sunt independente de amplitudine. Coarda unei chitare, de exemplu, oscilează cu aceeași frecvență, indiferent dacă este ciupită ușor sau tare.

Doi factori importanți afectează perioada unui oscilator armonic simplu. Perioada este legată de cât de rigid este sistemul. Un obiect foarte rigid are o constantă elastică mare (k), ceea ce face ca sistemul să aibă o perioadă mai mică. De exemplu, puteți regla rigiditatea plăcii de scufundări – cu cât este mai rigidă, cu atât vibrează mai repede și cu atât perioada este mai scurtă. Perioada depinde și de masa sistemului oscilant. Cu cât sistemul este mai masiv, cu atât perioada este mai lungă. De exemplu, o persoană grea de pe o scândură sare în sus și în jos mai încet decât una mai ușoară. De fapt, masa m și constanta elastică k sunt singurii factori care afectează perioada și frecvența MAS. Pentru a obține o ecuație pentru perioadă și frecvență, trebuie mai întâi să definim și să analizăm ecuațiile mișcării. Rețineți că constanta elastică este uneori denumită și constanta arcului.

Ecuațiile MAS

Luați în considerare un bloc atașat la un arc pe o masă fără frecare (Figura 15.4). Poziția de echilibru (poziția în care arcul nu este nici întins, nici comprimat) este marcată ca x = 0. În poziția de echilibru, forța netă este zero.

(Un bloc este atașat la un arc și așezat pe o masă fără frecare. Poziția de echilibru, în care arcul nu este nici extins, nici comprimat, este marcată ca x = 0.)

Acțiunea se face pe bloc pentru a-l trage într-o poziție de x = +A și apoi este eliberat din repaus. Poziția maximă a lui x (A) se numește amplitudinea mișcării. Blocul începe să oscileze în MAS între x = +A și x = −A, unde A este amplitudinea mișcării și T este perioada oscilației. Perioada este timpul pentru o oscilație. Figura 15.5 arată mișcarea blocului pe măsură ce finalizează o oscilație și jumătate după eliberare. Figura 15.6 prezintă un grafic al poziției blocului în funcție de timp. Când poziția este reprezentată grafic în funcție de timp, este clar că datele pot fi modelate de o funcție cosinus cu o amplitudine A și o perioadă T. Funcția cosinus cosθ repetă fiecare multiplu de 2π, în timp ce mișcarea blocului se repetă fiecare perioadă T Cu toate acestea, funcția cos((2π/T)t) repetă fiecare multiplu întreg al perioadei. Maximul funcției cosinusului este unu, deci este necesar să multiplicați funcția cosinusului cu amplitudinea A.

x(t) = Acos((2π/T)t) = Acos(ωt)   (15.2)

 

Amintiți-vă din capitolul despre rotație că frecvența unghiulară este egală cu ω = dθ/dt. În acest caz, perioada este constantă, deci frecvența unghiulară este definită ca 2π împărțit la perioadă, ω = 2π/T.

(Un bloc este atașat la un capăt al arcului și plasat pe o masă fără frecare. Celălalt capăt al arcului este ancorat de perete. Poziția de echilibru, unde forța netă este egală cu zero, este marcată ca x = 0 m. Se acționează asupra blocului, trăgându-l la x = +A, iar blocul este eliberat din repaus. Blocul oscilează între x = +A și x = −A. Forța este prezentată și ca vector.)

(Un grafic al poziției blocului prezentat în Figura 15.5 în funcție de timp. Poziția poate fi modelată ca o funcție periodică, cum ar fi o funcție cosinus sau sinus.)

Ecuația pentru poziția în funcție de timp x(t) = Acos(ωt) este bună pentru modelarea datelor, unde poziția blocului la timpul inițial t = 0,00 s este la amplitudinea A și viteza inițială este zero. Adesea, când se iau date experimentale, poziția corpului la timpul inițial t = 0,00 s nu este egală cu amplitudinea și viteza inițială nu este zero. Luați în considerare 10 secunde de date colectate de un student în laborator, prezentate în Figura 15.7.

(Datele colectate de un student în laborator indică poziția unui bloc atașat la un arc, măsurat cu un telemetru sonor. Datele sunt colectate începând cu momentul t = 0,00 s, dar poziția inițială este aproape de poziția x ≈ − 0,80 cm ≠ 3,00cm, deci poziția inițială nu este egală cu amplitudinea x₀ = +A. Viteza este derivata în timp a poziției, care este panta într-un punct de pe graficul poziției față de timp. Viteza nu este v = 0,00 m/s la momentul t = 0,00 s, așa cum se evidențiază prin panta graficului poziției în funcție de timp, care nu este zero la momentul inițial.)

Datele din Figura 15.7 pot fi modelate în continuare cu o funcție periodică, ca o funcție cosinus, dar funcția este deplasată spre dreapta. Această schimbare este cunoscută sub numele de defazare și este de obicei reprezentată de litera greacă phi (ϕ). Ecuația poziției în funcție de timp pentru un bloc pe un arc devine

x(t) = Acos (ωt + ϕ).

Aceasta este ecuația generalizată pentru MAS unde t este timpul măsurat în secunde, ω este frecvența unghiulară, A este amplitudinea măsurată în metri sau centimetri și ϕ este defazarea măsurată în radiani (Figura 15.8) . Trebuie remarcat faptul că, deoarece funcțiile sinus și cosinus diferă doar printr-o deplasare de fază, această mișcare ar putea fi modelată folosind fie funcția cosinus, fie sinus.

((a) O funcție cosinus. (b) O funcție cosinus deplasată spre stânga cu un unghi ϕ. Unghiul ϕ este cunoscut sub numele de defazare a funcției.)

Viteza corpului pe un arc, oscilând în MAS, poate fi găsită luând derivata ecuației poziției:

v(t) = dx/dt = (d/dt)(Acos(ωt + ϕ)) = –Aωsin(ωt + ω) = – v_maxsin(ωt + ϕ).

Deoarece funcția sinus oscilează între –1 și +1, viteza maximă este amplitudinea ori frecvența unghiulară, v_max = Aω. Viteza maximă apare la poziția de echilibru (x = 0) când masa se deplasează spre x = +A. Viteza maximă în direcția negativă este atinsă în poziția de echilibru (x = 0) atunci când masa se deplasează spre x = −A și este egală cu −v_max.

Accelerația corpului pe arc poate fi găsită luând derivata în timp a vitezei:

a(t) = dv/dt = (d/dt)(−Aωsin(ωt + ϕ)) = –Aω²cos(ωt + φ) = –a_maxcos(ωt + ϕ).

Accelerația maximă este a_max = Aω². Accelerația maximă are loc la poziția (x = −A), și accelerația la poziția (x = −A) este egală cu −a_max.

Rezumatul ecuațiilor de mișcare pentru SHM

În rezumat, mișcarea oscilatorie a unui bloc pe un arc poate fi modelată cu următoarele ecuații de mișcare:

x(t) = Acos(ωt + ϕ)   (15.3) v(t) = – vmaxsin(ωt + ϕ)   (15.4) a(t) = – amaxcos(ωt + ϕ)   (15.5) xmax = A   (15.6) vmax = Aω   (15.7) amax = Aω2   (15.8)

 

Aici, A este amplitudinea mișcării, T este perioada, ϕ este defazarea și ω = 2π/T = 2πf este frecvența unghiulară a mișcării blocului.

Exemplul 15.2 Determinarea ecuațiilor de mișcare pentru un bloc și un arc Un bloc de 2,00 kg este plasat pe o suprafață fără frecare. Un arc cu o constantă elastică k = 32,00 N/m este atașat la bloc, iar capătul opus al arcului este atașat la perete. Arcul poate fi comprimat sau extins. Poziția de echilibru este marcată ca x = 0,00 m. Se acționează asupra blocului, trăgându-l la x = +0,02 m. Blocul este eliberat din repaus și oscilează între x = +0,02 m și x = -0,02 m. Perioada mișcării este de 1,57 s. Determinați ecuațiile mișcării. Strategie Mai întâi găsim frecvența unghiulară. Defazarea este zero, ϕ = 0,00 rad, deoarece blocul este eliberat din repaus la x = A = + 0,02 m. Odată ce frecvența unghiulară este găsită, putem determina viteza maximă și accelerația maximă. Soluţie Frecvența unghiulară poate fi găsită și utilizată pentru a găsi viteza maximă și accelerația maximă: ω = 2π/1,57s = 4,00 s−1; vmax = Aω = 0,02 m (4,00 s−1) = 0,08 m/s; amax = Aω2 = 0,02 m (4,00 s−1) 2 = 0,32 m/s2. Rămâne doar să completați ecuațiile mișcării: x(t) = Acos(ωt + ϕ) = (0,02 m) cos(4,00 s−1t); v(t) = –vmaxsin(ωt + ϕ) = (- 0,08 m/s) sin(4,00 s−1t); a(t) = –amaxcos(ωt + ϕ) = (- 0,32 m/s2) cos (4,00 s−1t). Semnificaţie Poziția, viteza și accelerația pot fi găsite în orice moment. Este important să ne amintim că atunci când utilizați aceste ecuații, calculatorul dvs. trebuie să fie în modul radiani.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1