Conservarea energiei – Sisteme cu o singură particulă sau obiect (2)

EXEMPLUL 8.8

Rezistența aerului asupra unui obiect în cădere

Un elicopter plutește la o altitudine de 1 km când un panou din partea inferioară se desprinde și se prăbușește la sol (Figura 8.9). Masa panoului este de 15 kg și lovește solul cu o viteză de 45 m/s. Câtă energie mecanică a fost disipată de rezistența aerului în timpul coborârii panoului?

Figura 8.9 Un elicopter pierde un panou care cade până când atinge viteza terminală de 45 m/s. Cât de mult a contribuit rezistența aerului la disiparea energiei în această problemă?

Strategie

Pasul 1: Aici este investigat un singur corp.

Pasul 2: Asupra panoului acționează forța gravitațională, precum și rezistența aerului, care este menționată în problemă.

Pasul 3: Forța gravitațională este conservativă; totuși, forța neconservativă a rezistenței aerului efectuează un lucru mecanic negativ asupra panoului în cădere, așa că putem folosi conservarea energiei mecanice, în forma exprimată prin ecuația 8.12, pentru a găsi energia disipată. Această energie este mărimea lucrului mecanic:

ΔE_dis = |W_nc,if| = |Δ(K+U)_if|.

Pasul 4: Energia cinetică inițială, la y_i = 1km, este zero. Din comoditate, am stabilit energia potențială gravitațională la zero la nivelul solului.

Pasul 5: Lucrul mecanic neconservativ este stabilit egal cu energiile de rezolvat pentru munca disipată de rezistența aerului.

Soluție

Energia mecanică disipată de rezistența aerului este suma algebrică a câștigului în energia cinetică și a pierderii în energie potențială. Prin urmare, calculul acestei energii este

ΔE_dis = |K_f – K_i + U_f − U_i| = ∣½ (15 kg)(45 m/s)² – 0 + 0 − (15 kg)(9.8 m/s²)(1000 m)∣ = 130 kJ.

Semnificație

Cea mai mare parte a energiei mecanice inițiale a panoului (U_i), 147 kJ, a fost pierdută din cauza rezistenței aerului. Observați că am putut calcula energia disipată fără să știm care este forța de rezistență a aerului, doar că era disipativă.

EXERCIȚIUL 8.8

Probabil vă amintiți că, neglijând rezistența aerului, dacă aruncați un proiectil drept în sus, timpul necesar pentru a atinge înălțimea maximă este egal cu timpul necesar pentru a cădea de la înălțimea maximă înapoi la înălțimea de pornire. Să presupunem că nu puteți neglija rezistența aerului, ca în Exemplul 8.8. Este timpul necesar proiectilului pentru a urca (a) mai mare decât, (b) mai mic, sau (c) egal cu timpul necesar pentru a coborî? Explicați.

În aceste exemple, am putut folosi conservarea energiei pentru a calcula viteza unei particule doar în anumite puncte ale mișcării sale. Dar metoda de analiză a mișcării particulelor, pornind de la conservarea energiei, este mai puternică decât atât. Tratamentele mai avansate ale teoriei mecanicii vă permit să calculați dependența de timp total a mișcării unei particule, pentru o anumită energie potențială. De fapt, este adesea cazul că un model mai bun pentru mișcarea particulelor este oferit de forma energiilor sale cinetice și potențiale, mai degrabă decât de o ecuație pentru forța care acționează asupra acesteia. (Acest lucru este valabil mai ales pentru descrierea din mecanica cuantică a particulelor precum electronii sau atomii.)

Putem ilustra unele dintre cele mai simple caracteristici ale acestei abordări bazate pe energie, luând în considerare o particulă în mișcare unidimensională, cu energia potențială U(x) și fără interacțiuni non-conservative prezente. Ecuația 8.12 și definiția vitezei necesită

K = ½ mv² = E − U(x).

v = dx/dt = √(2(E − U(x))/m)

Separați variabilele x și t și integrați, de la un timp inițial t = 0 la un timp arbitrar, pentru a obține

(8.14) t = ∫₀^tdt = ∫_x0^x1/√(2 [E−U(x)]/m) dx.

Dacă puteți calcula integrala din ecuația 8.14, atunci puteți rezolva pentru x în funcție de t.

EXEMPLUL 8.9

Accelerație constantă

Utilizați energia potențială U(x) = −E(x/x₀), pentru E > 0, în ecuația 8.14 pentru a găsi poziția x a unei particule în funcție de timpul t.

Strategie

Deoarece știm cum se modifică energia potențială în funcție de x, putem înlocui U(x) în ecuația 8.14, integram și apoi rezolvăm pentru x. Rezultă o expresie a lui x în funcție de timp cu constante de energie E, masa m și poziția inițială x₀.

Soluție

Urmând primii doi pași sugerați în strategia de mai sus,

t = ∫_x0^x1/√((2E/mx₀)(x₀ − x)) dx = 1/√(2E/mx₀) ∣− 2√(x₀ − x)∣^x_x0 = − 2√(x₀ − x)/√(2E/mx₀).

Rezolvând pentru poziție, obținem x(t) = x₀ – ½(E/mx₀)t².

Semnificație

Poziția în funcție de timp, pentru acest potențial, reprezintă mișcare unidimensională cu accelerație constantă, a = (–E/mx₀), începând în repaus din poziția x₀. Acest lucru nu este atât de surprinzător, deoarece aceasta este o energie potențială pentru o forță constantă, F = − dU/dx = – E/x₀ și a = F/m.

EXERCIȚIUL 8.9

Cu ce energie potențială U(x) puteți înlocui în ecuația 8.13 care va avea ca rezultat mișcare cu viteză constantă de 2 m/s pentru o particulă cu masa de 1 kg și energie mecanică 1 J?

Vom privi un alt exemplu mai adecvat din punct de vedere fizic al utilizării ecuației 8.13 după ce am explorat câteva implicații suplimentare care pot fi extrase din forma funcțională a energiei potențiale a unei particule.

Sisteme cu mai multe particule sau obiecte

Sistemele constau în general din mai mult de o particulă sau un obiect. Cu toate acestea, conservarea energiei mecanice, sub una dintre formele din ecuația 8.12 sau din ecuația 8.13, este o lege fundamentală a fizicii și se aplică oricărui sistem. Trebuie doar să includeți energiile cinetice și potențiale ale tuturor particulelor și lucrul mecanic efectuat de toate forțele neconservative care acționează asupra lor. Până când veți afla mai multe despre dinamica sistemelor compuse din multe particule, în Momentul liniar și coliziuni, Rotația cu axă fixă și Momentul unghiular, este mai bine să amânăm discutarea despre aplicarea conservării energiei până atunci.

Răspunsuri:

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS