Rezolvarea problemelor de impuls a sistemelor mecanice

Conservarea impulsului

Utilizarea conservării impulsului necesită patru pași de bază. Primul pas este crucial:

1.       Identificați un sistem închis (masa totală este constantă, nicio forță externă netă nu acționează asupra sistemului).

2.       Notați o expresie care să reprezinte impulsul total al sistemului înainte de „eveniment” (explozie sau coliziune).

3.       Scrieți o expresie care reprezintă impulsul total al sistemului după „eveniment”.

4.       Setați aceste două expresii egale una cu cealaltă și rezolvați această ecuație pentru cantitatea dorită.

Cărucioare în coliziune

Două cărucioare dintr-un laborator de fizică se rostogolesc pe o pistă plană, cu frecare neglijabilă. Aceste cărucioare au magneți mici la capete, astfel încât atunci când se ciocnesc, rămân lipite împreună (Figura 9.16). Primul cărucior are o masă de 675 de grame și rulează cu 0,75 m/s la dreapta; al doilea are o masă de 500 de grame și rulează cu 1,33 m/s, tot în dreapta. După ciocnire, care este viteza celor două cărucioare unite?

Figura 9.16 Două cărucioare de laborator se ciocnesc și rămân lipite împreună după ciocnire.

Strategie

Avem o coliziune. Ni se dau mase și viteze inițiale; ni se cere viteza finală. Toate acestea sugerează utilizarea conservării impulsului ca metodă de soluție. Cu toate acestea, îl putem folosi doar dacă avem un sistem închis. Așadar, trebuie să ne asigurăm că sistemul pe care îl alegem nu are nicio forță externă netă asupra sa și că masa lui nu este modificată de ciocnire.

Definirea sistemului ca fiind cele două cărucioare îndeplinește cerințele pentru un sistem închis: masa combinată a celor două cărucioare cu siguranță nu se modifică și, în timp ce cărucioarele exercită forțe unul asupra celuilalt, acele forțe sunt interne sistemului, deci ele. nu schimbă impulsul sistemului ca întreg. În direcția verticală, greutățile cărucioarelor sunt anulate de forțele normale asupra cărucioarelor de pe pistă.

Soluție

Conservarea impulsului este

p⃗_f = p⃗_i.

Definiți direcția vectorilor lor de viteză inițială ca fiind direcția +x. Impulsul inițial este atunci

p⃗_i = m₁v₁iˆ + m₂v₂iˆ.

Impulsul final al cărucioarelor acum lipite este

p⃗_f = (m₁ + m₂)v⃗_f.

Echivalarea:

(m₁ + m₂)v⃗_f = m₁v₁iˆ + m₂v₂iˆ

v⃗_f =  ((m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂))iˆ.

Înlocuind numerele date:

v⃗_f = [((0,675 kg)(0,75 m/s) + (0,5 kg)(1,33 m/s))/1,175 kg]iˆ = (0,997 m/s)iˆ.

Semnificație

Principiile care se aplică aici pentru două cărucioare de laborator se aplică în mod identic tuturor obiectelor de orice tip sau dimensiune. Chiar și pentru fotoni, conceptele de impuls și conservarea impulsului sunt încă extrem de importante chiar și la această scară. (Deoarece sunt fără masă, impulsul unui foton este definit foarte diferit de impulsul obiectelor obișnuite. Veți afla despre acest lucru când studiați fizica cuantică.)

Să presupunem că al doilea cărucior, mai mic, s-a deplasat inițial spre stânga. Care ar fi fost semnul vitezei finale în acest caz?

O superminge care sare

O superminge cu masa de 0,25 kg este lăsată să cadă în jos din repaus de la o înălțime de h = 1,50 m deasupra podelei. Se ridică fără pierderi de energie și revine la înălțimea inițială (Figura 9.17).

o. Care este schimbarea de impuls a supermingii în timpul săriturii pe podea?

b. Care a fost schimbarea de impuls a Pământului din cauza ciocnirii mingii cu podeaua?

c. Care a fost schimbarea vitezei Pământului ca urmare a acestei coliziuni?

(Acest exemplu arată că trebuie să fii atent la definirea sistemului.)

Figura 9.17 O superminge este aruncată pe podea (t₀), lovește podeaua (t₁), sare (t₂) și revine la înălțimea sa inițială (t₃).

Strategie

Deoarece suntem întrebați doar despre schimbarea impulsului mingii, definim sistemul nostru ca fiind mingea. Dar acesta nu este clar un sistem închis; gravitația aplică o forță în jos asupra mingii în timp ce aceasta cade, iar forța normală de la podea aplică o forță în timpul săriturii. Astfel, nu putem folosi conservarea impulsului ca strategie. În schimb, determinăm pur și simplu impulsul mingii chiar înainte de a se ciocni cu podeaua și imediat după, și calculăm diferența. Avem masa mingii, așa că avem nevoie de vitezele acesteia.

Soluție

a. Deoarece aceasta este o problemă unidimensională, folosim forma scalară a ecuațiilor. Considerăm:

o p₀ = mărimea impulsului mingii la momentul t₀, momentul în care a fost eliberată; deoarece a fost aruncată din repaus, acesta este zero.

o p₁ = mărimea impulsului mingii la momentul t₁, imediat înainte ca aceasta să lovească podeaua.

o p₂ = mărimea impulsului mingii la momentul t₂, imediat după ce aceasta pierde contactul cu podeaua după săritură.

Schimbarea de impuls a mingii este

Δp⃗ = p⃗₂ − p⃗₁ = p₂jˆ − (−p₁jˆ) = (p₂ + p₁)jˆ.

Viteza sa chiar înainte de a atinge podeaua poate fi determinată fie din conservarea energiei, fie din cinematică. Aici folosim cinematica; ar trebui să-l re-rezolvați folosind conservarea energiei și să confirmați că obțineți același rezultat.

Vrem viteza chiar înainte de a atinge solul (la momentul t₁). Cunoaștem viteza sa inițială v₀ = 0 (la momentul t₀), înălțimea la care cade și accelerația sa; nu știm timpul de cădere. Am putea calcula asta, dar în schimb folosim

v⃗₁ = −jˆ√(2gy) = −5,4 m/s jˆ.

Astfel mingea are un impuls de

p⃗₁ = −(0,25 kg)(−5,4 m/s jˆ) = −(1,4 kg⋅m/s)jˆ.

Nu avem o modalitate ușoară de a calcula impulsul după săritură. În schimb, raționăm din simetria situației.

Înainte de săritură, mingea începe cu viteză zero și cade de la 1,50 m sub influența gravitației, obținând o anumită cantitate de impuls chiar înainte de a atinge solul. În călătoria de întoarcere (după săritură), începe cu o anumită cantitate de impuls, se ridică la aceeași înălțime de 1,50 m din care a căzut și se termină cu viteza zero. Astfel, mișcarea după săritură a fost imaginea în oglindă a mișcării dinaintea săriturii. Din această simetrie, trebuie să fie adevărat că impulsul mingii după săritură trebuie să fie egal și opus impulsului său înainte de săritură. (Acesta este un argument subtil, dar crucial; asigurați-vă că îl înțelegeți înainte de a continua.)

Prin urmare,

p⃗₂ = −p⃗₁ = +(1,4 kg⋅m/s)jˆ.

Astfel, schimbarea de impuls a mingii în timpul săriturii este

Δp⃗ = p⃗₂ − p⃗₁ = (1,4 kg⋅m/s)jˆ − (−1,4 kg⋅m/s)jˆ = +(2,8 kg⋅m/s)jˆ.

b. Care a fost schimbarea de impuls a Pământului din cauza ciocnirii mingii cu podeaua?

Răspunsul tău instinctiv s-ar putea să fi fost fie „zero; Pământul este prea masiv pentru ca acea minge să-l fi afectat” sau, eventual, „mai mult decât zero, dar total neglijabil”. Dar nu, dacă redefinim sistemul nostru ca fiind Supermingea + Pământ, atunci acest sistem este închis (neglijând atracțiile gravitaționale ale Soarelui, Lunii și ale celorlalte planete din sistemul solar) și, prin urmare, schimbarea totală a impulsului acestui nou sistem trebuie să fie zero. Prin urmare, modificarea impulsului Pământului este exact de aceeași magnitudine:

Δp⃗_Pământ = −2,8 kg⋅m/s jˆ.

c. Care a fost schimbarea vitezei Pământului ca urmare a acestei coliziuni?

Acesta este locul în care sentimentul tău instinctiv este probabil corect:

Δv⃗_Pământ = Δp⃗_Pământ/M_Pământ = (−2,8 kg⋅m/s)/(5,97 × 10²⁴ kg) jˆ = −(4,7 × 10⁻²⁵ m/s)jˆ.

Această schimbare a vitezei Pământului este absolut neglijabilă.

Semnificație

Este important să ne dăm seama că răspunsul la partea (c) nu este o viteză; este o schimbare de viteză, care este un lucru foarte diferit. Cu toate acestea, pentru a vă da o idee despre cât de mică este această schimbare de viteză, să presupunem că vă deplasați cu o viteză de 4,7×10⁻²⁵ m/s. La această viteză, ți-ar lua aproximativ 7 milioane de ani pentru a parcurge o distanță egală cu diametrul unui atom de hidrogen.

Schimbarea de impuls a mingii ar fi fost mai mare, mai mică sau aceeași, dacă s-ar fi ciocnit cu podeaua și s-ar fi oprit (fără să sară)?