Până acum, am analizat momentul cinetic unghiular al sistemelor constând din particule punctuale și corpuri rigide. De asemenea, am analizat cuplurile implicate, folosind expresia care leagă cuplul net extern de schimbarea momentului cinetic unghiular, Ecuația 11.8. Exemple de sisteme care respectă această ecuație includ o anvelopă de bicicletă care se rotește liber și care încetinește în timp din cauza cuplului care rezultă din frecare, sau încetinirea rotației Pământului de-a lungul a milioane de ani din cauza forțelor de frecare exercitate asupra deformărilor mareice.
Totuși, să presupunem că nu există un cuplu extern net asupra sistemului, ∑τ⃗ = 0. În acest caz, Ecuația 11.8 devine legea conservării momentului cinetic unghiular.
| LEGEA CONSERVĂRII MOMENTULUI CINETIC UNGHIULAR
Momentul cinetic unghiular al unui sistem de particule în jurul unui punct dintr-un sistem de referință inerțial fix este conservat dacă nu există un cuplu extern net în jurul acelui punct: dL⃗/dt=0 (11.10) sau L⃗ = l⃗1 + l⃗2 + ⋯ + l⃗N = constant. (11.11) |
Rețineți că momentul cinetic unghiular total L⃗ este conservat. Oricare dintre momentele cinetice individuale se poate schimba atâta timp cât suma lor rămâne constantă. Această lege este analoagă cu conservarea impulsului atunci când forța externă asupra unui sistem este zero.
Ca exemplu de conservare a momentului cinetic unghiular, Figura 11.14 prezintă o patinatoare pe gheață care execută o piruetă. Cuplul net asupra ei este foarte aproape de zero deoarece există relativ puțină frecare între patinele ei și gheață. De asemenea, frecarea este exercitată foarte aproape de punctul de pivotare. Atât ∣F⃗∣ cât și |r⃗| sunt mici, deci |τ⃗| este neglijabil. Prin urmare, ea se poate roti o perioadă destul de lungă. De asemenea, își poate crește viteza de rotație trăgându-și brațele și picioarele spre interior. De ce tragerea brațelor și picioarelor spre interior îi crește viteza de rotație? Răspunsul este că momentul ei cinetic este constant, astfel încât
L′ = L
sau
I′ω′ = Iω,
unde mărimile prime se referă la condițiile de după ce și-a retras brațele și și-a redus momentul de inerție. Deoarece I′ este mai mic, viteza unghiulară ω′ trebuie să crească pentru a menține momentul cinetic constant.
Figura 11.14 (a) O patinatoare se învârte pe vârful patinei sale cu brațele extinse. Momentul ei cinetic unghiular se conservă deoarece cuplul net asupra ei este neglijabil de mic. (b) Viteza ei de rotație crește considerabil atunci când își trage brațele spre interior, reducându-și momentul de inerție. Lucrul mecanic pe care îl depune pentru a-și trage brațele spre interior duce la o creștere a energiei cinetice de rotație.
Este interesant de observat cum se schimbă energia cinetică de rotație a patinatoarei atunci când își trage brațele spre interior. Energia ei de rotație inițială este
KRot = ½ Iω2,
în timp ce energia ei de rotație finală este
K′Rot = ½ I′ω′2.
Deoarece I′ω′ = Iω, putem înlocui cu ω′ și găsi
K′Rot = ½ I′ω′2 = ½ I′(I/I′ ω)2 = ½ Iω2(I/I′)=KRot (I/I′).
Deoarece momentul ei de inerție a scăzut, I′ < I, energia ei cinetică de rotație finală a crescut. Sursa acestei energii cinetice de rotație suplimentare este lucrul mecanic necesar pentru a-și trage brațele spre interior. Rețineți că brațele patinatoarei nu se mișcă într-un cerc perfect – ele sunt în spirală spre interior. Acest lucru mecanic provoacă o creștere a energiei cinetice de rotație, în timp ce momentul ei cinetic unghiular rămâne constant. Deoarece se află într-un mediu fără frecare, nicio energie nu scapă din sistem. Astfel, dacă și-ar extinde brațele în pozițiile lor inițiale, s-ar roti la viteza sa cinetică inițială, iar energia sa cinetică ar reveni la valoarea inițială.
Sistemul solar este un alt exemplu al modului în care funcționează conservarea momentului cinetic unghiular în universul nostru. Sistemul nostru solar s-a născut dintr-un nor imens de gaz și praf care inițial avea energie de rotație. Forțele gravitaționale au determinat contracția norului, iar rata de rotație a crescut ca urmare a conservării momentului cinetic unghiular (Figura 11.15).
Figura 11.15 Sistemul solar s-a format dintr-un nor de gaz și praf care se rotea inițial. Mișcările orbitale și rotațiile planetelor sunt în aceeași direcție ca rotația originală și conservă momentul unghiular al norului părinte. (Credit: modificarea lucrării de către NASA)
Continuăm discuția noastră cu un exemplu care are aplicații în inginerie.
| EXEMPLUL 11.7
Volante cuplate O volantă se rotește fără frecare la o viteză unghiulară ω0 = 600 rot/min pe un arbore vertical, fără frecare, cu inerție de rotație neglijabilă. O a doua volantă, care este în repaus și are un moment de inerție de trei ori mai mare decât cel al volantei în rotație, este lăsată să cadă pe ea (Figura 11.16). Deoarece există frecare între suprafețe, volantele ating foarte repede aceeași viteză de rotație, după care se rotesc împreună. (a) Folosiți legea conservării momentului cinetic unghiular pentru a determina viteza unghiulară ω a combinației. (b) Ce fracțiune din energia cinetică inițială se pierde la cuplarea volantelor?
Figura 11.16 Două volante sunt cuplate și se rotesc împreună. Strategie Partea (a) este ușor de rezolvat pentru viteza unghiulară a sistemului cuplat. Folosim rezultatul de la (a) pentru a compara energiile cinetice inițiale și finale ale sistemului din partea (b). Soluție a. Niciun cuplu extern nu acționează asupra sistemului. Forța datorată frecării produce un cuplu intern, care nu afectează momentul cinetic unghiular al sistemului. Prin urmare, conservarea momentului cinetic unghiular dă I0ω0 = (I0 + 3I0)ω, ω = ¼ ω0 = 150 rot/min = 15,7 rad/s. b. Înainte de contact, doar o volantă se rotește. Energia cinetică de rotație a acestei volante este energia cinetică de rotație inițială a sistemului, ½ I0ω20. Energia cinetică finală este ½ (4I0)ω2 = ½ (4I0)(ω0/4)2 = 1/8 I0ω20. Prin urmare, raportul dintre energia cinetică finală și energia cinetică inițială este (1/8 I0ω20)/(1/2 I0ω20) = 1/4. Astfel, 3/4 din energia cinetică inițială se pierde la cuplarea celor două volante. Semnificație Deoarece inerția de rotație a sistemului a crescut, viteza unghiulară a scăzut, așa cum era de așteptat din legea conservării momentului unghiular. În acest exemplu, vedem că energia cinetică finală a sistemului a scăzut, deoarece energia se pierde la cuplarea volantelor. Comparați acest lucru cu exemplul patinatoarei din Figura 11.14 care face un lucru mecanic pentru a-și aduce brațele spre interior și a adăuga energie cinetică de rotație. |
| EXERCIȚIUL 11.4
Un carusel la un loc de joacă se rotește cu 4,0 rot/min. Trei copii sar și cresc momentul de inerție al sistemului de rotație carusel/copii cu 25%. Care este noua viteză de rotație? |
I(4,0 rot/min) = 1,25 Iωf, ωf = 1,0/1,25 (4,0 rot/min) = 3,2 rot/min
| EXEMPLUL 11.8
Coborâre de pe o bară înaltă Un gimnast de 80,0 kg coboară de pe o bară înaltă. El începe coborârea la extensie completă, apoi se rabatează pentru a completa un număr de rotații înainte de aterizare. Momentul său de inerție atunci când este complet extins poate fi aproximat ca o tijă de lungime 1,8 m, iar atunci când este în rabatare, o tijă de jumătate din această lungime. Dacă viteza sa de rotație la extensie completă este de 1,0 rotații/s și intră în rabatare când centrul său de masă este la 3,0 m înălțime, deplasându-se orizontal spre podea, câte rotații poate executa dacă iese din rabatare la 1,8 m înălțime? Vezi Figura 11.17.
Figura 11.17 Un gimnast coboară de pe o bară înaltă și execută un număr de rotații în poziția strânsă înainte de a ateriza în poziție verticală. Strategie Folosind conservarea momentului cinetic unghiular, putem găsi viteza sa de rotație când este în poziția strânsă. Folosind ecuațiile cinematicii, putem găsi intervalul de timp de la o înălțime de 3,0 m la 1,8 m. Deoarece se mișcă orizontal față de sol, ecuațiile căderii libere se simplifică. Acest lucru va permite calcularea numărului de rotații care pot fi executate. Deoarece folosim un raport, putem păstra unitățile ca rot/s și nu este nevoie să le convertim în radiani/s. Soluție Momentul de inerție la extensie completă este I0 = 1/12 mL2 = 1/12 80,0 kg (1,8 m)2 = 21,6 kg⋅m2. Momentul de inerție în poziția strîns este If = 1/12 mL2f =1/12 80,0 kg (0,9 m)2 = 5,4 kg⋅m2. Conservarea momentului cinetic unghiular: Ifωf = I0ω0 ⇒ ωf = I0ω0/If = 21,6 kg⋅m2 (1,0 rot/s)/5,4 kg⋅m2 = 4,0 rot/s. Interval de timp în poziția strâns: t = √(2h/g) = √(2(3,0 – 1,8) m/9,8 m/s = 0,5 s. În 0,5 s, va putea executa două rotații la 4,0 rot/s. Semnificație Rețineți că numărul de rotații pe care le poate efectua va depinde de cât timp se află în aer. În această problemă, el iese de pe bara înaltă orizontal spre sol. De asemenea, ar putea ieși într-un unghi față de sol, ceea ce îi oferă mai mult sau mai puțin timp în aer, în funcție de unghiul, pozitiv sau negativ, față de sol. Gimnastele trebuie să țină cont de acest lucru atunci când își execută demonstrațiile. |
| EXEMPLUL 11.9
Conservarea momentului unghiular al unei coliziuni Un glonț cu masa m=2,0 g se mișcă orizontal cu o viteză de 500,0 m/s. Glonțul lovește și se încastrează în marginea unui disc solid cu masa M = 3,2 kg și raza R = 0,5 m. Cilindrul este liber să se rotească în jurul axei sale și este inițial în repaus (Figura 11.18). Care este viteza unghiulară a discului imediat după ce glonțul este încastrat?
Figura 11.18 Un glonț este tras orizontal și se încastrează în marginea unui disc care este liber să se rotească în jurul axei sale verticale. Strategie Pentru sistemul format din glonț și cilindru, niciun cuplu extern nu acționează de-a lungul axei verticale care trece prin centrul discului. Astfel, momentul cinetic unghiular de-a lungul acestei axe este conservat. Momentul cinetic unghiular inițial al glonțului este mvR, care este luat în jurul axei de rotație a discului în momentul dinaintea coliziunii. Momentul cinetic unghiular inițial al cilindrului este zero. Astfel, momentul cinetic unghiular net al sistemului este mvR. Deoarece momentul cinetic unghiular este conservat, momentul cinetic unghiular inițial al sistemului este egal cu momentul cinetic unghiular al glonțului încorporat în disc imediat după impact. Soluție Momentul cinetic unghiular inițial al sistemului este Li = mvR. Momentul de inerție al sistemului cu glonțul încorporat în disc este I = mR2 + ½ MR2 = (m+M/2)R2. Momentul cinetic unghiular final al sistemului este Lf = Iωf. Astfel, prin conservarea momentului cinetic unghiular, Li = Lf și mvR = (m + M/2)R2ωf. Rezolvând pentru ωf, ωf = mvR(m + M/2)R2 = (2,0 × 10−3 kg)(500,0 m/s)/((2,0 × 10−3 kg + 1,6 kg)(0,50 m)) = 1,2 rad/s. Semnificație Sistemul este compus atât dintr-o particulă punctuală, cât și dintr-un corp rigid. Trebuie acordată atenție la formularea momentului cinetic unghiular înainte și după coliziune. Chiar înainte de impact, momentul cinetic unghiular al glonțului este preluat în jurul axei de rotație a discului. |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2025 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Descoperă mai multe la MultiMedia
Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.
Lasă un răspuns