Mișcarea proiectilelor – Proiectile lansate sub un anumit unghi

Intervalul unui proiectil

(Calea acestui proiectil lansat de la o înălțime y₀ are un interval d.)

În fizică, presupunând un Pământ plat cu un câmp de gravitație uniform și fără rezistență la aer, un proiectil lansat cu condiții inițiale specifice va avea un interval previzibil.

Următoarele se aplică pentru intervalele mici, comparativ cu dimensiunile Pământului. Pentru intervale mai mari, se ține cont de zborul sub-orbital. Distanța orizontală maximă parcursă de proiectil, neglijând rezistența la aer, poate fi calculată după cum urmează:

d = (v²/2g) (1 + √(1 + 2gy₀/v²sin²θ) sin2θ

unde d este distanța orizontală totală parcursă de proiectil, v este viteza la care este lansat proiectilul, g este accelerația gravitațională – de obicei considerată a fi de 9,81 m/s² (32 f/s²) în apropierea suprafeței Pământului, θ este unghiul la care este lansat proiectilul, y₀ este înălțimea inițială a proiectilului

Dacă y₀ este considerat zero, ceea ce înseamnă că obiectul este lansat pe teren plat, intervalul proiectilului se va simplifica la:

d = (v2/g) sin2θ

Mișcarea proiectilului

(Componente ale vitezei inițiale a aruncării parabolice.)

Viteza inițială

Lansați proiectilul cu o viteză inițială v(0) ≡ v₀, care poate fi exprimată ca suma elementelor orizontale și verticale după cum urmează:

v_0x = v₀ cosθ,

v_0y = v₀ sinθ.

Valori cinematice

În mișcarea proiectilului, mișcarea orizontală și mișcarea verticală sunt independente unele de altele; adică, niciuna din mișcări nu o afectează pe cealaltă. Acesta este principiul mișcării compuse stabilit de Galileo în 1638.

Accelerația

Mișcarea verticală a proiectilului este mișcarea unei particule în timpul căderii libere. Aici accelerația este constantă, fiind egală cu g. Componentele accelerației sunt:

a_x = 0,

a_y = – g.

Viteza

Componenta orizontală a vitezei obiectului rămâne neschimbată pe tot parcursul mișcării. Componenta verticală descendentă a vitezei crește liniar, deoarece accelerația datorată gravitației este constantă. Accelerațiile în direcțiile x și y pot fi integrate pentru a rezolva componentele de viteză în orice moment t, după cum urmează:

v_x = v₀ cos(θ),

v_y = v₀ sin(θ) – g t.

Mărimea vitezei:

v = v_x² + v_y².

Deplasarea

(Deplasarea și coordonatele aruncării parabolice.)

În orice moment t, deplasarea orizontală și verticală a proiectilului este următoarea:

x = v₀t cos(θ),

y = v₀t sin(θ) – gt²/2.

Timpul de zbor sau timpul total al întregii deplasări

Timpul total t pentru care proiectilul rămâne în aer se numește timpul de zbor.

t = 2v₀sin(θ)/g

Rețineți că am neglijat rezistența la aer a proiectilului.

Dacă punctul de plecare este la înălțimea y₀ față de punctul de impact, timpul de zbor este:

t = d/vcosθ = (vsin ⁡ θ + √((vsinθ)² + 2gy₀)/g

Ca mai sus, această expresie poate fi redusă la

t =  √2·v/g

dacă θ este 45° și y₀ este 0.

Înălțimea maximă a proiectilului

(Înălțimea maximă a proiectilului. )

Timpul pentru a atinge înălțimea maximă:

t_h = v₀sin(θ)/g

Cea mai mare înălțime pe care obiectul o va atinge este cunoscută ca vârful mișcării obiectului.

h = v₀²sin²(θ)/2g.

Relația dintre deplasarea orizontală și înălțimea maximă

Relația dintre intervalul R pe plan orizontal și înălțimea maximă h atinsă la t_d/2 este:

h = R tanθ/4

Distanța maximă a proiectilului

(Distanța maximă a proiectilului. )

d = v₀²sin(2θ)/2.

d este maxim când

sin(2θ) = 1, respectiv θ este 45°.

Rezultă

d = v²sin(2θ)/g, respectiv d = v²/g pentru θ este 45°

Aplicarea teoremei lucrului mecanic

Conform teoremei lucrului mecanic, componenta verticală a vitezei este:

v_y² = (v₀sinθ)² – 2gy

Aceste formule ignoră frecarea aerodinamică și presupun, de asemenea, că suprafața de aterizare este la o înălțime uniformă 0.

Unghiul de acoperire

„Unghiul de acoperire” este unghiul (θ) la care un proiectil trebuie să fie lansat pentru a străbate o distanță d, având în vedere viteza inițială v.

sin(2θ) = gd/v²

Există două soluții:

θ = arcsin(gd/v²)/2

și

θ = 90° – arcsin(gd/v²)/2

Unghiul θ necesar să se atingă coordonatele (x, y)

Pentru a atinge o țintă în intervalul x și altitudinea y când este trasă de la (0,0) și cu viteza inițială v unghiul (limitele) de lansare θ sunt:

θ = arctan((v² ± √(v⁴ – g(gx² + 2yv²)))/gx)

Cele două rădăcini ale ecuației corespund celor două posibile unghiuri de lansare, atâta timp cât ele nu sunt imaginare, caz în care viteza inițială nu este suficient de mare pentru a ajunge la punctul (x, y) selectat. Această formulă permite să se găsească unghiul de lansare necesar fără restricția y = 0

Se poate întreba și ce unghi de lansare permite cea mai mică viteză posibilă de lansare.

θ = arctan ⁡ (y/x + √(y²/x² + 1).

Dacă notăm unghiul a cărui tangentă este y/x prin α, atunci

π/2 – θ = (π/2 – α)/2.

Cu alte cuvinte, lansarea trebuie să se situeze la jumătatea unghiului dintre țintă și zenit.