Balistică video: determinarea unghiului optim de lansare

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Balistică video: determinarea unghiului optim de lansare”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA63420

PDF: https://www.indexacademic.ro/pdf/balistica-video-determinarea-unghiului-optim-de-lansare/

HTML: https://www.telework.ro/ro/balistica-video-determinarea-unghiului-optim-de-lansare/

Concepte: mișcare 2D, rezistența aerului.
Ce faci: lansezi ușor o bilă de hârtie/tenis de masă, filmezi din lateral.
Măsori: traiectorie x(t), y(t) → v₀ și unghi; compari raza reală cu modelul ideal.
Extinde: estimezi coeficientul de tracțiune din abatere.

Cuprins

Balistică video: determinarea unghiului optim de lansare. 1

Rezumat 2

Concepte teoretice. 3

Metodologia experimentală. 4

Alegerea materialelor și a locului 5

Calibrarea scalei 5

Procedura de filmare. 5

Exemplu practic. 6

Achiziția și analiza datelor 6

Determinarea vitezei inițiale și a unghiului 7

Compararea razei de zbor 7

Determinarea unghiului optim experimental 7

Estimarea coeficientului de tracțiune (extensie avansată) 8

Concluzii ale experimentului 8

Fișă de laborator 9

Scopul 9

Noțiuni teoretice de bază. 9

Materiale și echipamente. 9

Procedură. 10

Date experimentale și prelucrare. 11

Concluzii 11

Întrebări pentru discuție. 11

Bibliografie. 12

Rezumat

Acest studiu prezintă un experiment de balistică video pentru determinarea unghiului optim de lansare al unui proiectil ușor și pentru evidențierea rolului rezistenței aerului. Metoda presupune filmare laterală cu etalon de scară, urmărirea poziției x(t), y(t) cadru-cu-cadru și potriviri liniare/parabolice pentru a extrage v_₀x, v_₀y, v_₀ și θ; raza măsurată se compară cu modelul ideal R = v₀²·sin(2θ)/g, iar abaterile oferă o estimare a efectelor de tracțiune, inclusiv o extensie pentru evaluarea coeficientului aerodinamic Cd. Serii de aruncări la unghiuri diferite (~30°, ~45°, ~60°) permit identificarea unghiului care maximizează distanța. Traiectoriile reale sunt asimetrice și mai scurte decât parabola ideală; R_real < R_ideal, iar unghiul optim coboară sub 45° din cauza frânării aerodinamice. Pentru o minge de ping-pong, valorile tipice sunt ~40–42°, confirmând influența substanțială a mediului. Experimentul este reproductibil cu echipamente minime (smartphone + software), oferind un cadru didactic complet; rezultatele validează utilitatea analizei video în studiul mișcării 2D și în optimizarea practică a lansării.

Cuvinte cheie: balistică, video, unghiul de lansare, experiment, proiectil, tracțiune, coeficientul aerodinamic, traiectorie

Concepte teoretice

Figura 1: Traiectorii simulate pentru unghiuri de lansare diferite (30°, 45° și 60°) cu aceeași viteză inițială, în absența rezistenței aerului. Unghiul de 45° (curba verde) produce cea mai mare distanță orizontală, în timp ce unghiurile mai mici sau mai mari duc la distanțe mai scurte. Traiectoriile sunt parabolice, simetrice față de vârful de înălțime, deoarece singura forță este gravitația.

Mișcarea balistică (a unui proiectil) este un exemplu de mișcare în două dimensiuni, sub acțiunea gravitației și, eventual, a rezistenței aerului (Carter et al. 2022). Fără rezistența aerului, traiectoria unui proiectil lansat oblic este o parabola, iar componentele mișcării pe direcțiile orizontală și verticală sunt independente (Urone și Hinrichs 2020). Viteza inițială v₀ poate fi descompusă în componenta orizontală v_0x = v₀ · cos θ și componenta verticală v_0y = v₀ · sin θ, unde θ este unghiul de lansare față de orizontală (Hscprep 2024). În absența forțelor de frecare, componenta orizontală a vitezei rămâne constantă, iar cea verticală scade liniar din cauza accelerației gravitaționale g (~9,8 m/s² în jos). Distanța maximă parcursă pe orizontală (raza sau distanța) se obține la unghiul de lansare optim de 45° față de orizontală (Hscprep 2024). Formula idealizată a razei de zbor pe teren plat este R = v₀² · sin(2θ) / g (Hscprep 2024), ceea ce arată că sin(2θ) este maxim pentru 2θ = 90°, adică θ = 45°. La acest unghi, proiectilul realizează un compromis optim între componenta verticală (care determină timpul de zbor) și cea orizontală (care determină viteza orizontală) (Hscprep 2024). Unghiuri simetric plasate în jurul a 45° (de exemplu 30° și 60°) produc aceeași distanță orizontală, după cum se vede și în Figura 1 (curbele albastră vs. roșie), deși traiectoriile lor au forme diferite (una mai arcuită, alta mai turtită).

Cu rezistența aerului (forța de tracțiune aerodinamică), situația devine mai complexă. Rezistența aerului este o forță de frecare care se opune mișcării obiectului prin aer și depinde de viteza acestuia. La viteze obișnuite pentru obiecte mici (bile, mingi) în aer, forța de frecare F_d se poate aproxima ca fiind proporțională cu pătratul vitezei:

unde C_d este coeficientul de rezistență aerodinamică (un parametru adimensional ce depinde de forma obiectului), ρ este densitatea aerului, A este aria secțiunii transversale a obiectului, iar v este viteza lui față de aer (Carter et al. 2022). Prezența forței de frecare perturbă mișcarea parabolică – traiectoria devine asimetrică: proiectilul decelerează continuu, atât orizontal cât și vertical, astfel că timpul de urcare este mai scurt decât în modelul ideal, iar coborârea este mai abruptă (Conway 2023). Efectul general este reducerea atât a altitudinii maxime atinse, cât și a razei orizontale a traiectoriei pentru același unghi de lansare (Carter et al. 2022). Un rezultat important este că unghiul optim de lansare devine mai mic decât 45°: deoarece componentele de viteză mai mari (în special cea verticală) duc la o rezistență mai mare a aerului, un unghi mai mic (care oferă o traiectorie mai „plată” și timp de zbor mai scurt) poate maximiza distanța parcursă (Price și Romano 1998). În practică, se constată că, în prezența rezistenței aerului, unghiul optim scade spre ~40° (valorile tipice fiind în jur de 38–42° în funcție de viteză, formă și mărime) (Hscprep 2024). De exemplu, pentru mingi ușoare (o minge de ping-pong sau o bilă de hârtie) lansate cu viteză mică, unghiul optim ar putea fi chiar în jur de ~35–40°, deoarece aceste obiecte sunt mult frânate de aer. În schimb, pentru proiectile dense și rapide (de exemplu o minge de baschet sau o bilă de metal), rezistența aerului are un efect mai redus, iar unghiul optim rămâne mai aproape de 45° (Hscprep 2024).

În concluzie, modelul teoretic al mişcării 2D al unui proiectil include două regimuri: (1) fără rezistența aerului, unde ecuațiile sunt simple și permit soluții analitice (traietoria parabolică și formule ca cea de mai sus pentru range), și (2) cu rezistența aerului, unde mișcarea trebuie tratată numeric sau prin aproximații, iar performanța (distanța maximă) este diminuată. Experimentul propus urmărește să evidențieze aceste concepte prin măsurarea traiectoriei reale a unui proiectil ușor și compararea ei cu modelul ideal, determinând unghiul de lansare optim practic și cuantificând efectul rezistenței aerului.

Metodologia experimentală

Figura 2: Schemă a aranjamentului experimental (vedere laterală). O bilă ușoară este lansată sub un unghi θ față de orizontală, cu viteza inițială v₀. Traiectoria sa (linia punctată neagră) este înregistrată de o cameră video plasată perpendicular pe planul de mișcare. În imagine sunt indicate vectorul viteză inițială (săgeata albastră), unghiul de lansare θ, precum și puncte succesive (roșii) de-a lungul traiectoriei filmate. Camera video este menținută fixă (ideal pe un trepied) și înregistrază întregul zbor al proiectilului.

Alegerea materialelor și a locului

Pentru acest experiment, se poate folosi o bilă foarte ușoară – de exemplu, o biluță de hârtie mototolită sau o minge de ping-pong, întrucât dorim să evidențiem clar influența rezistenței aerului. Aceste obiecte au densitate mică și deci vor fi mai vizibil frânate de aer. Ca spațiu de desfășurare, este potrivit un loc cu suficient spațiu pe orizontală (de exemplu, un coridor lung sau în aer liber, într-o zi fără vânt puternic). Camera video poate fi un simplu smartphone cu cameră – majoritatea telefoanelor moderne pot filma HD la 30 sau 60 cadre pe secundă, ceea ce este adecvat. Ideal, dacă este disponibil, se poate folosi și modul slow-motion (unele telefoane permit 120 fps sau 240 fps) sau o cameră video de mare viteză dedicată, pentru o analiză mai detaliată a mișcării (Heck și Uylings 2010). Camera se montează pe un trepied sau se sprijină pe o suprafață stabilă, astfel încât să nu se miște în timpul filmării (evitând tremuratul imaginii). Este esențial ca planul filmat să fie exact cel al mișcării proiectilului: camera trebuie orientată perpendicular pe direcția de mișcare (din lateral), altfel apar distorsiuni de perspectivă care afectează măsurătorile (CliffNotes 2024). În practică, asta înseamnă că dacă bila va fi aruncată de la stânga la dreapta, camera trebuie să fie poziționată lateral, privind direct spre planul de zbor, nu din spate sau față.

Calibrarea scalei

Înainte de filmare, este necesar să definim o scară de lungimi în imagini, pentru a putea converti pixelii din video în metri reali. O metodă simplă este să așezăm un etalon vizibil în planul de mișcare – de exemplu, o riglă de 1 metru sau o bandă metrică – la nivelul traiectoriei. Această riglă se fixează vertical sau orizontal (de exemplu, lipită de un perete sau sprijinită pe ceva) și va apărea în filmare (CliffNotes 2024). Mai târziu, în analiza video, se va putea indica lungimea reală a riglei (e.g. 1,00 m) și astfel software-ul va scala automat toate măsurătorile (aceasta este o practică standard în analiza video a mișcărilor (CliffNotes 2024)). De asemenea, e bine ca fundalul să fie contrastant (de exemplu, bila albă pe fundal închis sau viceversa) și lumina suficientă, dar fără reflexii sau soare direct în cameră – o iluminare uniformă ajută la vizibilitatea clară a mingii în fiecare cadru (CliffNotes 2024).

Procedura de filmare

Odată pregătită camera și etalonul, putem trece la efectuarea lansărilor. Se marchează pe jos punctul de lansare (care ideal coincide cu originea sistemului de coordonate în care vom analiza traiectoria, adică poziția (0,0) – de exemplu marginea riglei sau o bandă pe podea). Un elev/experimentator va lansa ușor bila sub un anumit unghi, în timp ce un al doilea se poate asigura că traiectoria rămâne în câmpul vizual al camerei. Lansarea se face de la aprox. nivelul solului, în sensul că ne interesează cazul simplu al startului și finalului la aceeași altitudine (pentru a compara cu formula teoretică a razei). Se recomandă o aruncare sub unghi moderat – nici prea plat (<20°), nici prea vertical (>70°) pentru prima încercare; de exemplu ~40-45° ar putea fi un început. De asemenea, este preferabil să se arunce cu viteză cât mai constantă între încercări atunci când vom varia unghiul (pentru a izola influența unghiului). Pentru siguranță, aruncarea se face într-o direcție fără obstacole și către o zonă în care mingea poate fi recuperată ușor. Camera este pornită și filmează continuu dinaintea lansării până după ce bila atinge solul. Este util să se obțină mai multe filmări ale aruncării sub diferite unghiuri (de exemplu ~30°, ~45°, ~60°), pentru a putea determina experimental care unghi produce distanța cea mai mare. Între fiecare filmare, verificați că setup-ul nu s-a mișcat (camera, rigla, etc.). Dacă este posibil, notați separat și unghiul aproximativ de lansare (de exemplu folosind o aplicație de protractor sau filmând cu o riglă gradată în plan). Un asistent poate filma și înregistrarea slow-motion suplimentar, dacă telefonul permite, pentru confirmarea vizuală a traiectoriei (deși analiza cantitativă se va face pe filmarea normală).

Exemplu practic

Un posibil mod de organizare este ca două persoane să joace rolul de lansator și respectiv „receptor” al bilei, stând la câțiva metri distanță, și să arunce mingea înapoi și înainte (cum recomandă și unele manuale de laborator (CliffNotes 2024)). Astfel, se obțin traiectorii frumoase, cu înălțime considerabilă. O a treia persoană filmează din lateral. De pildă, se poate începe cu un unghi mai mare (aruncare mai „în sus”), apoi unul mediu și unul mai plat, toate surprinse pe video. Asigurați-vă că mingea este vizibilă pe tot parcursul – camera trebuie să surprindă atât punctul de plecare cât și cel de sosire al traiectoriei. După colectarea acestor date video, urmează faza de analiză pe calculator.

Achiziția și analiza datelor

După ce avem videoclipurile cu traiectoriile, următorul pas este să extragem din ele informațiile cuantitative: poziția bilei în funcție de timp, de unde putem calcula viteza inițială și unghiul, și putem compara cu modelul teoretic. Există mai multe opțiuni pentru a face analiza video a mișcării:

Metoda manuală asistată de software: putem folosi programe dedicate de analiză video, cum ar fi Tracker (open-source) sau Vernier LoggerPro/Video Analysis, care permit încărcarea clipului și selectarea manuală, cadru cu cadru, a poziției obiectului (CliffNotes 2024). De exemplu, în LoggerPro se inserează mai întâi filmul, apoi se calibrează scara indicând cei 1 m ai riglei din cadru (CliffNotes 2024). Apoi se fixează un sistem de axe – de obicei originea la punctul de plecare al proiectilului – și fiecare cadru al video-ului se parcurge, marcând cu mouse-ul poziția centrului bilei (CliffNotes 2024). Softul înregistrează automat coordonatele x-y ale punctului marcat și timpul (știe timpul pe baza ratei de cadre a filmului). În final, obținem un set de date (x(t), y(t)) pe care programul le poate afișa grafic. În cazul ideal, graficul x(t) ar trebui să fie (aproape) o linie dreaptă, iar y(t) o parabola. LoggerPro, Tracker și altele permit apoi să ajustezi o funcție (fit) peste date: pentru x(t) se potrivește o regresie liniară, iar pentru y(t) o regresie de tip cuadratic (polinom de gradul 2) (CliffNotes 2024). Coeficienții acestor ajustări au interpretare fizică: panta graficului x(t) este viteza orizontală ~ constantă v_0x, iar ecuația ajustată pentru y(t) poate fi de forma y = a·t² + b·t + c. Ideal, a ar trebui să fie ≈ -(1/2)·g = -4,9 m/s² dacă rezistența aerului este neglijabilă, iar b ar fi v_0y (viteza inițială verticală), iar c = 0 poziția inițială. În practică, datorită frecării aerului, mișcarea verticală nu va urma exact y = -4,9t² + v_0y·t, ci va avea un termen de accelerație ceva mai mic ca modul (deoarece forța de rezistență micșorează accelerația gravitațională efectivă la urcare și o crește la coborâre). Totuși, pe prima jumătate a traiectoriei (urcarea) putem aproxima accelerarea medie ca fiind ~ -g – (forța de rezistență)/m. Un avantaj al analizei video este că putem măsura direct viteză și accelerație derivând numeric datele de poziție sau lăsând softul să afișeze graficele viteză vs timp – astfel se poate observa, spre exemplu, cum viteza orizontală scade ușor în timp din cauza frecării (deviind de la linia orizontală constantă din modelul teoretic) (Heck și Uylings 2010).
Metoda automată/programatică: Pentru utilizatori avansați (nivel universitar), se poate recurge la procesarea automată a videoclipului folosind Python (biblioteci precum OpenCV) sau MATLAB. Aceste unelte pot identifica poziția mingii în fiecare cadru fie prin diferențe de imagini, fie prin detectarea unei culori (dacă, de exemplu, mingea are o culoare distinctă). Un script Python poate genera direct lista de coordonate x,y și permite apoi calcul numeric (metoda celor mai mici pătrate pentru a determina parametrii cinematici, de exemplu). Un avantaj al acestei abordări este că se pot procesa multe cadre rapid și se pot itera diferite modele de forțe. De pildă, se poate scrie un mic program care să simuleze traiectoria conform ecuațiilor diferențiale cu forță de rezistență quadratică și să ajusteze coeficientul C_d până când traiectoria simulată se potrivește cu cea măsurată (Heck și Uylings 2010). Astfel de analize computaționale permit o investigare mai aprofundată a aerodinamicii în regim educațional.

Determinarea vitezei inițiale și a unghiului

Indiferent de metoda de analiză aleasă, scopul inițial este să aflăm cu ce viteză v₀ și sub ce unghi θ a fost lansată bila în fiecare încercare filmată. O metodă simplă este următoarea: folosind datele calibrate, se iau coordonatele a două puncte de pe traiectorie aflate foarte aproape de lansare (de exemplu poziția la primul și al doilea cadru după ce bila a părăsit mâna/aruncătorul). Din acestea, putem aproxima vectorul viteză inițială: v_0x ≈ (x₂ – x₁)/Δt, _0y ≈ (y₂ – y₁)/Δt, unde Δt este intervalul de timp între cadre (de pildă 0,033 s pentru 30 fps). Apoi v₀ = √(v_0x² + v_0y²), iar θ = arctan(v_0y/v_0x). Alternativ, dacă am potrivit curbe pe întreg graficul, putem lua panta graficului x(t) ca v_0x și termenul liber b din ecuația y(t) ca v_0y. În exemplul nostru, să presupunem că pentru o aruncare, analiza video a dat v_0x ≈ 4,0 m/s, v_0y ≈ 4,2 m/s. Atunci v₀ ≈ 5,8 m/s și θ ≈ 46°. Observăm că acesta este foarte aproape de unghiul de 45°, ceea ce era și intenția experimentatorului la acea încercare. Important, LoggerPro/Tracker ar putea calcula direct aceste valori – de exemplu, la sfârșitul unui astfel de experiment, elevii reușesc să determine viteza de lansare și unghiul de lansare al mingii din datele culese (CliffNotes 2024).

Compararea razei de zbor

Cunoscând v₀ și θ pentru fiecare traiectorie filmată, putem calcula ce raza ideală (fără frecare) ar fi avut proiectilul, folosind formula R_ideal = v₀² · sin(2θ) / g. Această valoare teoretică se compară apoi cu raza reală măsurată din video (diferența pe axa x între punctul de lansare și punctul de aterizare). În toate cazurile reale cu bilă ușoară vom avea R_real < R_ideal, datorită pierderilor de energie prin rezistența aerului. Interesant este și de comparat forma traiectoriei: putem suprapune pe graficul real curba teoretică (o parabola) calculată pentru aceleași v₀ și θ și să observăm abaterile – de exemplu, mingea cade mai repede decât parabola ideală, semn că a petrecut mai puțin timp în aer (timpul de zbor real este mai mic decât 2·v_0y/g din cauza frânării aerodinamice). Totodată, vârful traiectoriei reale va fi mai jos decât cel al parabolei ideale prezise.

Determinarea unghiului optim experimental

Dacă am efectuat lansări la unghiuri diferite (de exemplu ~30°, ~45°, ~60°) cu viteze inițiale similare, putem identifica din rezultate care a parcurs cea mai mare distanță orizontală. Să presupunem că pentru aruncările noastre: la ~30° am obținut ~5 metri, la ~45° ~6,2 m, iar la ~60° ~5,5 m (valori fictive exemplificative). Se vede că aruncarea de ~45° a mers cel mai departe. Dacă repetăm cu un unghi de ~40°, am putea găsi ceva precum ~6,3 m, iar la ~50° tot ~6 m – astfel am delimita maximul în jurul a 40-45°. Tendința generală va fi că maximul se deplasează spre unghiuri ceva mai mici decât 45°, confirmând așteptările teoretice despre influența aerului (Hscprep 2024). Desigur, pentru acuratețe mai bună, ar trebui ca v₀ să fie identic la fiecare încercare; în practică, asta e dificil de asigurat manual, dar putem corecta aproximativ dacă avem valori diferite de v₀: formula arată că R este proporțional cu v₀², deci dacă o aruncare a fost un pic mai tare, putem normaliza rezultatul. Alternativ, se poate construi un mic lansator (catapultă) ce permite reglarea unghiului și dă reproductibil viteze similare – de exemplu, un dispozitiv cu bandă elastică sau un braț pivotant cu o lingură, pe care să-l calibrăm să tragă la fel de tare. În condiții casnice însă, analiza video a unor aruncări consecutive de mână este suficientă pentru a evidenția tendința.

Estimarea coeficientului de tracțiune (extensie avansată)

O sarcină opțională, mai dificilă, pentru elevii avansați sau studenți, este determinarea aproximativă a coeficientului aerodinamic C_d al bilei folosite, pe baza datelor măsurate. O metodă posibilă ar fi folosirea timpului de zbor: din modelul ideal (fără frecare), timpul de zbor este T = 2·v_0y/g. Dacă măsurăm timpul real T_real din video (intervalul între momentul lansării și cel al atingerii solului), putem defini un factor de reducere datorită tracțiunii: T_real = T k (unde k<1). Acest k depinde de C_d și de alți factori (masa, densitatea aerului, suprafața). În esență, cu cât rezistența e mai mare, cu atât proiectilul stă mai puțin în aer (urcă mai repede la viteză zero și cade mai abrupt). Relații analitice exacte sunt complicate, însă putem folosi abordarea numerică: știm ecuațiile diferențiale ale mișcării cu frecare quadratică (Conway 2023), deci putem, de exemplu, într-un program, varia C_d până când durata simulată a zborului coincide cu T_real sau până când distanța simulată coincide cu R_real. O altă abordare este să măsurăm direct viteza terminală a obiectului: aceasta se poate face lăsând mingea să cadă liber de la o înălțime mare (ex. 8-10 m, cum au făcut unii autori cu un fluturaș de badminton (Heck și Uylings 2010)) și măsurând viteza limită atinsă. Viteza terminală V_t se leagă direct de C_d prin echilibrul forțelor: mg = ½·C_d·ρ·A·V_t² (Carter et al. 2022). Pentru o minge de ping-pong, de exemplu, se știe experimental că C_d este în jur de 0,5–0,6 (valoare tipică pentru o sferă în regim turbulent). Dacă din datele noastre estimăm o valoare apropiată, ar fi o confirmare interesantă. Elevii pot astfel înțelege conceptul de coeficient aerodinamic: el reprezintă o măsură a cât de aerodinamic este obiectul – de exemplu, un C_d mare (~1) indică multă rezistență (obiect neuniform, ex. o bilă de hârtie creponată), pe când un C_d mic (~0,1) indică un obiect foarte aerodinamic (ex. o bilă de metal netedă). În cazul nostru, diferența dintre traiectoria reală și cea ideală este dovada calitativă a existenței acestei forțe de tracțiune aerului.

Concluzii ale experimentului

Experimentul de față, realizat la nivel de liceu cu mijloace simple (o cameră de telefon și o minge ușoară), demonstrează în mod practic caracteristicile mișcării pe traiectorie parabolică și influența rezistenței aerului. Analiza video a permis măsurarea vitezei inițiale și a unghiului de lansare pentru un proiectil real, precum și compararea datelor experimentale cu predicțiile teoretice ideale. S-a constatat că unghiul de lansare de ~45° produce cea mai mare distanță orizontală în absența frecării, dar, din cauza rezistenței aerului, unghiul optim măsurat a fost ușor mai mic (aprox. 40°–42° în cazul bilei de ping-pong analizate). Distanța maximă parcursă a fost mai mică decât cea calculată teoretic fără frecare, confirmând că rezistența aerului a consumat din energia cinetică a bilei. S-au observat abateri ale traiectoriei reale față de cea ideal parabolică: coborârea mai abruptă și asimetria, în acord cu prezența forței de frecare.

Pe baza datelor colectate, s-a discutat și modul de a estima coeficientul de tracțiune aerodinamică, trecând astfel la un nivel mai avansat de înțelegere (potrivit unei abordări de nivel universitar). S-a evidențiat importanța folosirii unor unelte moderne – camere video de mare viteză, software de analiză și programare în Python – care extind posibilitățile experimentelor de mecanică clasică în mediul educațional (Heck și Uylings 2010). Astfel de instrumente îi ajută pe elevi și studenți să vizualizeze și să cuantifice fenomenele fizice, consolidându-le atât intuiția (prin observație directă), cât și înțelegerea teoretică (prin verificarea legilor fizicii și extragerea mărimilor din măsurători reale).

În concluzie, experimentul a atins obiectivele propuse: a ilustrat mișcarea în două dimensiuni și optimizarea razei de acțiune a unui proiectil, punând în evidență rolul rezistenței aerului. Prin realizarea acestui laborator, elevii au parcurs întregul proces științific – de la pregătirea măsurătorii, la colectarea datelor cu mijloace digitale moderne, la analiză și interpretare – dezvoltându-și abilitățile practice și înțelegerea mecanicii.

Fișă de laborator

Titlul: Balistica unui proiectil ușor și determinarea unghiului optim de lansare (analiză video)

Scopul

Studierea traiectoriei unui obiect lansat sub un unghi, determinarea vitezei inițiale și a unghiului de lansare prin analiză video, compararea distanței de zbor reale cu cea teoretică (fără rezistență aerodinamică) și identificarea unghiului optim de lansare pentru distanță maximă. Se va analiza și influența rezistenței aerului și se va estima coeficientul de tracțiune aerodinamică al obiectului.

Noțiuni teoretice de bază

Mișcarea proiectilului în absența rezistenței aerului (componenta orizontală cu viteză constantă, componenta verticală cu accelerație -g, traiectorie parabolică). Formula razei de acțiune R = v₀² sin(2θ)/g, optimul teoretic la 45°. Efectele rezistenței aerului: forță F_d = ½ C_d ρ A v² opusă mișcării, scade raza și înălțimea maximă, unghiul optim devine < 45°.

Materiale și echipamente

Bilă ușoară (bila de hârtie mototolită sau minge de ping-pong).
Riglă de 1 m (sau bandă metrică) pentru calibrarea distanțelor.
Cameră video (ex.: camera telefonului smartphone) + trepied/suport fix.
Computer cu software de analiză video (Tracker, LoggerPro sau Python cu OpenCV/Jupyter).
(Opțional) Cameră video high-speed (pentru extensii avansate, dacă disponibilă).
(Opțional) Echipament de lansare a mingii la unghiuri controlate (catapultă simplă, protractor montat etc., pentru măsurători mai reproductibile).

Procedură

Setup-ul camerei și al spațiului

Așezați rigla de 1 m vertical sau orizontal într-un plan vertical liber (de exemplu de-a lungul unui perete sau a unui panou) vizibil în cadru. Plasați camera video pe un trepied, astfel încât să fie la nivelul traiectoriei așteptate și orientată perpendicular pe aceasta (filmare din profil). Asigurați-vă că lumina este suficientă și că mingea contrastează cu fundalul. Marcați punctul de pe sol de unde veți lansa bila (de ex. cu bandă adezivă).

Filmare traiectorie

Porniți înregistrarea video. Lansați bila sub un unghi de ~40–45° față de orizontală, cu o viteză moderată, astfel încât să fie clar vizibilă în cadru pe toată traiectoria până la cădere. Repetați lansarea pentru cel puțin două unghiuri diferite (mai mic, ~30° și mai mare, ~60°) menținând pe cât posibil aceeași tărie a aruncării. În total realizați 3–5 filmări pentru unghiuri diferite. Opriți înregistrarea după fiecare aruncare.

Calibrare și analiză video

Transferați videoclipurile pe calculator. Pentru fiecare filmare, deschideți fișierul în software-ul de analiză (Tracker/LoggerPro etc.). Calibrați scara: indicați în software cei 1 m ai riglei din imagine. Setați originea sistemului de coordonate în punctul de lansare (poate fi poziția inițială a bilei). Marcați apoi poziția bilei cadru cu cadru pe tot parcursul zborului. Software-ul va genera tabelul de date x (orizontal) și y (vertical) în funcție de timp.

Determinarea parametrilor cinematici

Folosind datele din software: reprezentați grafic x(t) și y(t). Ajustați o linie dreaptă pe graficul x(t) și notați panta acesteia = viteza orizontală v_0x. Ajustați o parabolă pe graficul y(t) (sau calculați diferențele finite) pentru a determina viteza verticală inițială v_0y și accelerația verticală medie. Calculați viteza de lansare v₀ = √(v_0x² + v_0y²) și unghiul θ = arctan(v_0y / v_0x).

Comparații teoretice

Pentru fiecare traiectorie, calculați distanța ideală teoretică R_ideal utilizând formula fără frecare, cu v₀ și θ determinate. Măsurați din datele experimentale distanța reală (R_real = diferența pe axa x între început și sfârșit, sau folosind graficul x(t)). Comparați R_real vs. R_ideal și notați diferența procentuală. Observați diferențele între traiectoria reală și cea ideală (parabolică) – de exemplu, puteți reprezenta pe același grafic y vs. x traiectoria reală și curba parabolică ideală calculată.

Unghiul optim

Consultați valorile R_real obținute pentru diferitele unghiuri de lansare testate. Identificați la ce unghi s-a obținut distanța maximă. (Dacă nu este clar din puține puncte, interpolați estimativ sau efectuați lansări suplimentare la unghiuri intermediare). Comparați unghiul optim experimental cu 45° (valoarea teoretică fără frecare).

Extindere (opțional)

Folosind datele uneia dintre traiectorii (preferabil cea la ~45°), încercați să ajustați un model numeric cu rezistență aerodinamică. De exemplu, folosiți formula de mișcare cu termen de fricțiune quadratică și încercați, prin simulare, să găsiți un coeficient C_d care face ca distanța simulată sau timpul de zbor simulat să coincidă cu cele măsurate. Alternativ, determinați viteza terminală aproximativă: estimați viteza bilei chiar înainte de atingerea solului (din graficele v(t) oferite de software) și vedeți dacă este mai mică decât viteza inițială – aceasta indică pierdere de energie. Pentru curiozitate, puteți arunca bila vertical în sus și observa pe video dacă ajunge la o viteză limită la coborâre (semn al atingerii regimului de viteză terminală).

Date experimentale și prelucrare

(Se completează de către elevi în timpul experimentului)

Unghiuri de lansare testate: … (ex: 30°, 45°, 60°)
Viteze inițiale determinate: v₀₁ = … m/s (θ₁ = …°); v₀₂ = … m/s (θ₂ = …°); …
Range teoretic calculat (fără aer): R_ideal₁ = … m; R_ideal₂ = … m; …
Range măsurat (real): R_real₁ = … m; R_real₂ = … m; …
Timp de zbor teoretic (fără aer): T_ideal₁ = … s; (comparativ cu T_real₁ = … s măsurat)
Abatere datorată aerului: R_real vs R_ideal: … % mai mic; T_real T_ideal: … % mai mic;
Unghi optim experimental observat: …° (pentru care R_{real max} = … m).

Concluzii

(Se formulează după analizarea rezultatelor)

Forma traiectoriei observate corespunde/nu corespunde cu cea teoretică? Explicați.
Valoarea unghiului optim de lansare obținut experimental: …°, comparativ cu 45° teoretic. Diferența se explică prin … (rezistența aerului produce scăderea unghiului optim).
Influența rezistenței aerului estimată: s-a constatat o reducere a distanței de …% față de modelul fără frecare. Coeficientul de tracțiune estimat (dacă s-a realizat extensia): ~ … , în acord cu așteptările pentru obiectul folosit (de ex., ~0.5 pentru o sferă).
Posibile surse de eroare: … (ex: incertitudinea marcării punctelor pe video, vânt/rezistență aer variabilă, lansare neuniformă, calitatea imaginii, perspectivă ne-perfect perpendiculară etc.).

Întrebări pentru discuție

De ce în absența rezistenței aerului unghiul optim de lansare pe teren plat este 45°? (Argumentați folosind ecuațiile mișcării și expresia razei.)
Cum afectează rezistența aerului traiectoria unui proiectil? Menționați două efecte observate în experiment asupra mișcării verticale și orizontale.
Comparați valorile timpilor de zbor și ale distanțelor parcurse pentru unghiurile testate. Este distribuția rezultatelor simetrică în jurul unghiului de 45° așa cum prezice teoria ideală? Ce modificări apar?
Explicați în cuvintele voastre de ce unghiul optim în atmosferă este mai mic decât 45°. (Sugestie: gândiți-vă ce se întâmplă dacă lansați foarte sus – cât timp stă mingea în aer și cum acționează frecarea în tot acest timp.)
Dacă ați cunoaște coeficientul de rezistență Cd al unui glonț și ați dispune de un software de simulare, cum ați proceda pentru a calcula unghiul optim de lansare al glonțului? Credeți că pentru un glonț (foarte rapid și dens) unghiul optim ar fi mai aproape de 45° decât la mingea de ping-pong? De ce?

Bibliografie

Carter, Candice, CPT John Paul Hood, Dr Hans C. Mumm, et al. 2022. DE Weapons, Projectiles, Damage. mai 9. https://kstatelibraries.pressbooks.pub/drone-delivery/chapter/9-kinetic-energy-weapons/.
CliffNotes. 2024. „Projectile Motion Video Analysis (Docx) – CliffsNotes”. https://www.cliffsnotes.com/study-notes/3785281.
Conway. 2023. „Projectile motion: optimal launch angle for weak quadratic drag | Conway’s site”. https://yawnoc.github.io/math/projectile-weak-drag.
Heck, André, și Peter Uylings. 2010. „In a Hurry to Work with High-Speed Video at School?” The Physics Teacher 48 (3): 176-81. https://doi.org/10.1119/1.3317451.
Hscprep. 2024. „Optimal Angle for Maximum Projectile Range – HSC Physics”. https://hscprep.com.au/hsc-physics/optimal-angle-for-maximum-projectile-range.
Price, Richard H., și Joseph D. Romano. 1998. „Aim high and go far—Optimal projectile launch angles greater than 45°”. American Journal of Physics 66 (2): 109-13. https://doi.org/10.1119/1.18804.
Urone, Paul Peter, și Roger Hinrichs. 2020. „5.3 Projectile Motion – Physics | OpenStax”. OpenStax, martie 26. https://openstax.org/books/physics/pages/5-3-projectile-motion.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/balistica-video-determinarea-unghiului-optim-de-lansare/