Baza de măsurare în crearea superpoziției cuantice cu aparatul Stern-Gerlach

Spinul în direcție verticală poate fi reprezentat ca o suprapunere de spini în direcție orizontală. După cum se arată în simulare, un electron cu spin vertical are o șansă de 50% de a fi măsurat ca fiind drept sau stâng:

|↑⟩ = 1/√2 |→⟩ + 1√2 |←⟩,   (4.1)

|↓⟩ = 1/√2 |←⟩ – 1√2 |→⟩,   (4.2)

În notația tradițională a qubitului, spinul pe axele +z și -z este scris ca |0⟩ și |1⟩, în timp ce spinul pe axele +x și -x este |+⟩ și |-⟩:

|0⟩ = 1/√2 |+⟩ + 1√2 |-⟩,   (4.3)

|1⟩ = 1/√2 |+⟩ – 1√2 |-⟩,   (4.4)

Acest lucru nu este clasic deoarece nu puteți aduna sau scădea vectori de câmp magnetic orizontali pentru a obține un vector de câmp magnetic vertical. O analogie ar putea fi să ne gândim la o persoană care privește o monedă vertical pentru a-i determina starea. Dacă vede cap sau pajură, cineva care privește din lateral ar vedea o suprapunere. Dacă este forțat să facă o alegere prin măsurare, ar spune cap sau pajură cu o probabilitate de 50% (Fig. 4.4).

Fig. 4.4 Analogie pentru modul în care o rotație verticală definită este văzută ca o suprapunere în direcția orizontală.

Exemplu Scrieți starea |+⟩ în funcție de |0⟩ și |1⟩.

Soluție Adunând ecuațiile (4.3) și (4.4) găsim

|0⟩ + |1⟩ = 2/√2 |+⟩.   (4.5)

Rearanjând, obținem

|+⟩ = 1/√2 |0⟩ + 1/√2 |1⟩. (4.6)

În mod similar, scăzând ecuațiile (4.3) și (4.4), găsim

|−⟩ = 1/√2 |0⟩ − 1/√2 |1⟩. (4.7)

Aceste ecuații arată că un spin orizontal este o suprapunere a spinului ascendent și a spinului descendent. După cum am văzut în exemplul divizorului de fascicul, semnul minus codifică informații despre starea originală a particulei înainte de a fi pusă în suprapunere. Așa cum este descris și prezentat vizual în Sect. 2.3, este posibil să se aleagă alte amplitudini complexe care oferă aceeași probabilitate, dar detaliile sunt matematic dincolo de scopul nostru.

Am ajuns la concluzia că spinii într-o direcție pot fi scriși ca o suprapunere a spinilor în altă direcție. În domeniul calculului cuantic, „baza z” este compusă din |0⟩ și |1⟩, în timp ce |+⟩ și |-⟩ compun „baza x”. O bază este analogă unui sistem de coordonate pentru stările cuantice. Orice stare poate fi scrisă în termeni de o bază diferită, similar modului în care orice vector poate fi descompus în componente de-a lungul unei axe diferite.

Fig. 4.5 Rescrierea stărilor cuantice în termeni de bază diferită este similară cu descompunerea unui vector clasic într-o altă alegere de sistem de coordonate.

În Fig. 4.5, o cutie pe o rampă este supusă unei forțe. Descompunerea vectorială a lui F este prezentată pentru trei sisteme de coordonate diferite. Toate cele trei sisteme de coordonate sunt valide pentru descrierea forței, dar numai primele două sunt convenabile de utilizat în calculele reale. Alegând x-y ca fiind perpendicular, ați făcut ca componentele să se excludă reciproc: dacă un vector este orizontal, știți că cu siguranță nu este vertical. Direcțiile x și y pot fi tratate ca două probleme independente. Termenul matematic pentru a exprima faptul că axele sunt independente este „ortogonal”. În mecanica cuantică, există un număr infinit de opțiuni posibile pentru o bază. Cu toate acestea, baza ar trebui să aibă două proprietăți[1]:

1. Baza trebuie să descrie toate stările cuantice posibile pentru sistem.
2. Baza trebuie să fie ortogonală.

Să verificăm aceste condiții pentru baza z, care constă din stările |0⟩ și |1⟩:

1. Deoarece experimentul Stern-Gerlach arată că un electron are fie spin ascendent, fie spin descendent, starea cea mai generală a electronului ar fi o suprapunere a spinului ascendent și descendent:

|electron⟩ = α|0⟩ + β|1⟩.   (4.8)

O combinație liniară între |0⟩ și |1⟩ descrie complet starea electronului.

2. Dacă măsurați spinul ca |0⟩, acesta cu siguranță nu este |1⟩, prin urmare |0⟩ și |1⟩ sunt ortogonale.

Același argument poate fi folosit și pentru baza x sau pentru orice alt unghi al SGA (Fig. 4.5).

Nota

[1] Aceste două proprietăți pot fi folosite și pentru a forma o bază într-un sistem clasic, unde stările ar trebui înlocuite cu vectori.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu