Coduri convoluționale cuantice

Codurile bloc cuantice sunt utile în calculul cuantic și în comunicațiile cuantice. Circuitul de codificare pentru un cod bloc mare are de obicei o complexitate ridicată, deși cele pentru codurile moderne au o complexitate mai mică.

Teoria codării convoluționale cuantice oferă o paradigmă diferită pentru codificarea informațiilor cuantice. Structura convoluțională este utilă pentru un scenariu de comunicare cuantică în care un emițător posedă un flux de qubiți de trimis către un receptor. Circuitul de codificare pentru un cod convoluțional cuantic are o complexitate mult mai mică decât un circuit de codificare necesar pentru un cod bloc mare. De asemenea, are un model repetitiv, astfel încât aceleași dispozitive fizice sau aceleași rutine pot manipula fluxul de informații cuantice.

Codurile stabilizatoare convoluționale cuantice se inspiră în mare măsură din structura omologilor lor clasici. Codurile convoluționale cuantice sunt similare deoarece unii dintre qubiți se alimentează într-o codificare unitară repetată și conferă codului o structură de memorie similară cu cea a unui cod convoluțional clasic. Codurile cuantice prezintă codificarea și decodificarea online a qubiților. Această caracteristică conferă codurilor convoluționale cuantice atât complexitatea redusă de codificare și decodificare, cât și capacitatea lor de a corecta un set mai mare de erori decât un cod bloc cu parametri similari.

Definiție

Un cod stabilizator convoluțional cuantic acționează asupra unui spațiu Hilbert H, care este un produs tensorial numărabil infinit al spațiilor Hilbert bidimensionale de tip qubit indexate peste numere întregi ≥ 0 {H_i}_i_∈Z+:

H = ⨂_i=0^∞ H_i.

O secvență A de matrici Pauli {A_i}_i_∈Z+, unde

A = ⨂_i=0^∞ A_i,

poate acționa asupra stărilor din H. Fie Π^Z+ mulțimea tuturor șirurilor Pauli. Suportul supp(A) al unui șir Pauli A este mulțimea indicilor elementelor din A care nu sunt egale cu identitatea. Ponderarea unui șir A este dimensiunea |supp(A)| a suportului său. Gradul de întârziere del(A) al unei secvențe A este cel mai mic indice pentru o intrare care nu este egală cu identitatea. Gradul deg(A) al unei secvențe A este cel mai mare indice pentru o intrare care nu este egală cu identitatea. De exemplu, următoarea secvență Pauli

I X I Y Z I I ⋯,

are suport {1, 3, 4}, pondere trei, întârziere unu și gradul patru. O secvență are suport finit dacă ponderea sa este finită. Fie F(Π^Z+) mulțimea de secvențe Pauli cu suport finit. Următoarea definiție pentru un cod convoluțional cuantic utilizează mulțimea F(Π^Z+) în descrierea sa.

Un cod stabilizator convoluțional de rată k/n cu 0 ≤ k ≤ n este o mulțime de comutare G a tuturor deplasărilor n-qubiți ale unei mulțimi de generatoare de bază G₀. Mulțimea de generatoare de bază G₀ are n – k secvențe Pauli cu suport finit:

G₀ = {Gi ∈ F(Π^Z+) : 1 ≤ i ≤ n − k}.

Lungimea constrângerii ν a codului este gradul maxim al generatoarelor din G₀. Un cadru al codului este format din n qubiți.

Un cod convoluțional cuantic admite o definiție echivalentă în termenii transformării de întârziere sau a transformării D. Transformarea D capturează deplasările setului de generatoare de bază G₀. Să definim operatorul de întârziere n-qubit D acționând asupra oricărei secvențe Pauli A ∈ Π^Z+ după cum urmează:

D(A) = I^⊗n ⊗ A.

Putem scrie j aplicații repetate ale lui D ca o putere a lui D:

D^j(A) = I^⊗jn ⊗ A.

Fie D^j(G₀) mulțimea deplasărilor elementelor lui G₀ cu j. Atunci stabilizatorul complet G pentru codul stabilizator convoluțional este

G = ⋃_j_∈Z+ D^j(G₀).

Funcționare

Funcționarea unui cod stabilizator convoluțional este următoarea. Protocolul începe cu emițătorul care codifică un flux de qubiți cu un circuit de codificare online, cum ar fi cel dat în (Grassl și Roetteler 2006). Circuitul de codificare este online dacă acționează asupra câtorva blocuri de qubiți simultan. Emițătorul transmite un set de qubiți imediat ce primul unitar termină de procesat. Receptorul măsoară toți generatorii din G și corectează erorile pe măsură ce primește qubiții codificați online. În final, decodează qubiții codificați cu un circuit de decodificare. Qubiții decodificați din această procedură convoluțională ar trebui să fie fără erori și gata pentru calcul cuantic la capătul receptor.

Un circuit cu adâncime finită mapează o secvență Pauli cu greutate finită la una cu greutate finită (Ollivier și Tillich 2004). Nu mapează o secvență Pauli cu greutate finită la una cu greutate infinită. Această proprietate este importantă deoarece nu dorim ca circuitul de decodificare să propage erori necorectate în fluxul de qubiți de informații (Johannesson și Zigangirov 1999). Un circuit de decodificare cu adâncime finită corespunzător stabilizatorului G există prin algoritmul dat în (Grassl și Roetteler 2006).

Referințe

Ollivier, Harold; Tillich, Jean-Pierre (2003). „Description of a Quantum Convolutional Code”. Physical Review Letters. 91 (17) 177902. arXiv:quant-ph/0304189. Bibcode:2003PhRvL..91q7902O. doi:10.1103/PhysRevLett.91.177902. PMID 14611378. S2CID 17261900.
Ollivier, H.; Tillich, J. -P. (2004). „Quantum convolutional codes: Fundamentals”. arXiv:quant-ph/0401134. Bibcode:2004quant.ph..1134O. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Forney, G. David (2005). „Simple rate-1/3 convolutional and tail-biting quantum error-correcting codes”. Proceedings. International Symposium on Information Theory, 2005. ISIT 2005. pp. 1028–1032. arXiv:quant-ph/0501099. doi:10.1109/ISIT.2005.1523495. ISBN 0-7803-9151-9. S2CID 14484674.
David Forney, G. David; Grassl, Markus; Guha, Saikat (2007). „Convolutional and Tail-Biting Quantum Error-Correcting Codes”. IEEE Transactions on Information Theory. 53 (3): 865–880. arXiv:quant-ph/0511016. Bibcode:2007ITIT…53..865F. doi:10.1109/TIT.2006.890698. S2CID 546490.
Grassl and M. Roetteler, „Quantum convolutional codes: Encoders and structural properties,” in Forty-Fourth Annual Allerton Conference, 2006. Available at http://www.csl.illinois.edu/allerton/archives/allerton06/PDFs/papers/0285.pdf[permanent dead link]
Grassl, Markus; Rotteler, Martin (2006). „Non-catastrophic Encoders and Encoder Inverses for Quantum Convolutional Codes”. 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. pp. 1109–1113. arXiv:quant-ph/0602129. doi:10.1109/ISIT.2006.261956. ISBN 1-4244-0505-X. S2CID 1442.
Johannesson and K. S. Zigangirov, Fundamentals of Convolutional Coding. Wiley-IEEE Press, 1999.
Wilde, Mark M.; Krovi, Hari; Brun, Todd A. (2010). „Convolutional entanglement distillation”. 2010 IEEE International Symposium on Information Theory. pp. 2657–2661. arXiv:0708.3699. doi:10.1109/ISIT.2010.5513666. ISBN 978-1-4244-7892-7. S2CID 2409176.
Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2010). „Entanglement-assisted quantum convolutional coding”. Physical Review A. 81 (4) 042333. arXiv:0712.2223. Bibcode:2010PhRvA..81d2333W. doi:10.1103/PhysRevA.81.042333. S2CID 8410654.
Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2010). „Quantum convolutional coding with shared entanglement: General structure”. Quantum Information Processing. 9 (5): 509–540. arXiv:0807.3803. Bibcode:2010QuIP….9..509W. doi:10.1007/s11128-010-0179-9. S2CID 18185704.
Wilde, Mark M. (2008). „Quantum Coding with Entanglement”. arXiv:0806.4214. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2009). „Extra shared entanglement reduces memory demand in quantum convolutional coding”. Physical Review A. 79 (3) 032313. arXiv:0812.4449. Bibcode:2009PhRvA..79c2313W. doi:10.1103/PhysRevA.79.032313. S2CID 67826844.
Wilde, Mark M. (2009). „Quantum-shift-register circuits”. Physical Review A. 79 (6) 062325. arXiv:0903.3894. Bibcode:2009PhRvA..79f2325W. doi:10.1103/PhysRevA.79.062325. S2CID 56351003.