Poarta Hadamard în calculul cuantic

Poarta Hadamard este foarte importantă în calculul cuantic. Dacă qubitul pornește într-o stare definită |0⟩ sau |1⟩, poarta Hadamard pune fiecare într-o suprapunere de stări |0⟩ și |1⟩. În Fig. 6.3, aplicăm o poartă Hadamard qubitului de stare |0⟩ pe simulatorul IBM Q și măsurăm ieșirea.

Fig. 6.3 Aplicarea unei porți Hadamard și măsurarea pe mașina IBMQ

Rezultatul rulării circuitului de 100 de ori este o histogramă prezentată în Fig. 6.4. Rețineți că fiecare rulare este independentă: înainte de fiecare măsurare, qubitul trebuie resetat la starea |0⟩ și trecut prin poartă, iar apoi are loc măsurarea. Repetăm acest proces de 1024 de ori. Fiecare interval din histogramă arată frecvența/probabilitatea măsurării lui |0⟩ sau |1⟩. Puteți vedea clar că aplicarea porții Hadamard la un singur qubit creează o stare de suprapunere atât pentru |0⟩, cât și pentru |1⟩. Probabilitățile nu sunt exact 50/50 din cauza erorii statistice. Cu cât colectați mai multe date, cu atât rezultatul converge mai aproape de 50/50. Acest lucru este similar cu aruncarea unei monede și numărarea numărului de cap sau pajură; cu cât numărul de aruncări este mai mare, cu atât este mai probabil să observați o probabilitate de 50/50 de a vedea cap/pajură.

Fig. 6.4 Histograma măsurătorilor după rularea circuitului porții Hadamard din Fig. 6.3 de 1024 de ori. Retipărire oferită de International Business Machines Corporation, ©International Business Machines Corporation

Rețineți că măsurarea colapsează superpoziția. Se poate observa o singură stare clasică, iar toate celelalte informații cuantice se pierd. Colapsul măsurătorii este motivul pentru care starea unui qubit nu poate fi duplicată, cunoscut sub numele de teorema non-clonării din calculul cuantic. Odată ce o stare de superpoziție este măsurată, aceasta se transformă fundamental într-una dintre stările de bază și, prin urmare, nu poate fi duplicată. Totuși, nu se știe cum sau dacă se produce colapsul măsurătorii[1].

Fig. 6.5 Aplicarea a două porți Hadamard la starea |0⟩ sau |1⟩

Întrebarea 1 Creați un qubit în starea |1⟩ și treceți-l printr-o poartă Hadamard. Din histograma măsurării, puteți spune dacă qubitul a început într-o stare inițială |0⟩ sau |1⟩?

Histograma măsurării ar trebui să arate identică indiferent dacă |0⟩ sau |1⟩ a fost starea inițială. Atunci, cum putem spune care a fost starea inițială după o operație Hadamard? În divizorul de fascicul, am determinat de unde provine fotonul adăugând un al doilea divizor de fascicul pentru a crea interferență. Modul de a le măsura și de a le distinge este de a adăuga o a doua poartă Hadamard.

Întrebarea 2 Construiți un circuit care aplică două porți Hadamard unui qubit în starea inițială |0⟩, așa cum se arată în Fig. 6.5. Care este rezultatul? Repetați acest experiment pentru starea inițială |1⟩.

Matematica porții Hadamard

Poarta Hadamard are următoarea reprezentare matricială:

H = 1/√2 (1 1 / 1 −1).   (6.3)

Folosind înmulțirea matriceală, putem demonstra că aplicarea porții Hadamard la o stare inițială |0⟩ pune qubitul în starea (1/√2)(|0⟩ + |1⟩), numită și starea |+⟩:

.   (6.4)

Dacă starea inițială este |1⟩, poarta Hadamard va crea starea de superpoziție (1/√2)(|0⟩ – |1⟩), numită |-⟩:

.   (6.5)

În experimentul Stern-Gerlach, ați aflat că stările |0⟩ și |1⟩ alcătuiesc baza z și sunt asociate cu spinul up și spinul down. Stările |+⟩ și |-⟩ alcătuiesc baza x și sunt asociate cu spinul right și spinul left. În timp ce Stern-Gerlach ar putea fi rotit pentru a măsura în orice unghi, un computer cuantic este construit fizic pentru a măsura doar în baza z. Prin urmare, spinul right 1/√2(|0⟩ + |1⟩) și spinul left 1/√2(|0⟩ – |1⟩) arată la fel atunci când sunt măsurate de un computer cuantic. Cu toate acestea, cele două stări au informații ascunse care pot fi recuperate folosind o a doua poartă Hadamard pentru a reveni la baza z.

Exemple

1. Un spin right 1/√2(|0⟩ + |1⟩) este trimis printr-o poartă Hadamard, creând o suprapunere a lui |+⟩ și |-⟩ dată de 1/√2(|+⟩ + |-⟩). Prin efectuarea unei schimbări de bază, demonstrați că acest lucru este echivalent cu producerea unei stări |0⟩.

1/√2 (|+⟩ + |-⟩) = 1/√2 (1/√2 |0⟩ + 1/√2 |1⟩) + 1/√2 (1/√2 |0⟩ – 1/√2 |1⟩)   (6.6)

= ½ |0⟩ + ½ |1⟩ + ½ |0⟩ – ½ |1⟩),   (6.7)

= |0⟩.   (6.8)

2. Folosiți multiplicarea matriceală pentru a arăta cum aplicarea porții Hadamard de două ori la un qubit în starea |0⟩ îi recuperează starea inițială.

H|0⟩ = 1/√2 (1 1 / 1 −1) (1 / 0) = 1/√2 (1 / 1),   (6.9)

HH|0⟩ = 1/2 (1 1 / 1 −1) (1 / 1) = (1 / 0),   (6.10)

În fapt, toate porțile cuantice sunt reversibile ca o consecință a condiției matricei unitare. Reamintim că porțile trebuie să fie unitare, astfel încât probabilitățile să se adune întotdeauna la 1. Înmulțirea oricărei matrice unitare cu transpunerea sa conjugată va returna matricea identitate, adică inversează poarta pentru a obține starea inițială cu UU^† = U^†U = 1. Matricea Hadamard este auto-unitară, adică este propria sa transpunere conjugată, U = U^†.

Nota

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Measurement_problem.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu