Negativitatea inseparabilității în mecanica cuantică

În mecanica cuantică, negativitatea este o măsură a inseparabilității cuantice, ușor de calculat. Este o măsură derivată din criteriul Peres–Horodecki pentru transpunere parțială pozitivă (PPT) pentru separabilitate.[1] S-a demonstrat că este o inseparabilitate monotonă[2][3] și, prin urmare, o măsură adecvată a inseparabilității.

Definiție

Negativitatea unui subsistem A poate fi definită în termeni de matrice de densitate ρ ca:

N(ρ)  ≡ (||ρ^ΓA||₁ – 1)/2

unde:

• ρ^ΓA este transpunerea parțială a lui ρ în raport cu subsistemul A
• ||X||₁ = Tr |X| = Tr √(X^†X) este norma de urmă sau suma valorilor singulare ale operatorului X.

O definiție alternativă și echivalentă este suma absolută a valorilor proprii (eigenvalue) negative ale lui ρ^ΓA:

N(ρ) = |∑_λi<0 λ_i| = ∑_i (|λ_i| − λ_i)/2

unde

λ_i sunt toate valorile proprii.

Proprietăți

• Este o funcție convexă a lui ρ:

N(∑_i p _iρ_i) ≤ ∑_i p_i N(ρ_i)

• Este o inseparabilitate monotonă:

N(P(ρ)) ≤ N(ρ)

unde P(ρ) este o operație LOCC arbitrară peste ρ.

Negativitate logaritmică

Negativitatea logaritmică este o măsură a inseparabilității ușor de calculat și o limită superioară a inseparabilității distilabile.[4] Este definită ca

E_N(ρ) ≡ log₂||ρ^ΓA||₁

unde

ΓA este operația de transpunere parțială și ||⋅||₁ reprezintă norma urmei.

Se raportează la negativitate după cum urmează:[1]

E_N(ρ) := log₂(2N + 1)

Proprietăți

Negativitatea logaritmică

• poate fi zero chiar dacă starea este inseparată (dacă starea este inseparată PPT).
• nu se reduce la entropia de inseparabilitate pe stări pure, așa cum se întâmplă în majoritatea celorlalte măsuri de inseparabilitate.
• este aditivă la produsele tensoriale: E_N(ρ ⊗ σ) = E_N(ρ) + E_N(σ)
• nu este asimptotic continuu. Asta înseamnă că pentru o secvență de spații Hilbert bipartite H₁, H₂, … (de obicei cu dimensiune crescătoare) putem avea o secvență de stări cuantice ρ₁, ρ₂, … care converge la ρ^⊗n1, ρ^⊗n2, … (de obicei cu creșterea n_i) pe distanța de urmă, dar secvența E_N(ρ₁)/n₁, E_N(ρ₂)/n₂, …nu converge la E_N(ρ).
• este o limită superioară a inseparabilității distilabile

Referințe

Acest articol folosește material de la Quantiki licențiat sub GNU Free Documentation License 1.2, tradus și adaptat de Nicolae Sfetcu

1.  K. Zyczkowski; P. Horodecki; A. Sanpera; M. Lewenstein (1998). „Volume of the set of separable states”. Phys. Rev. A. 58 (2): 883–92. arXiv:quant-ph/9804024. Bibcode:1998PhRvA..58..883Z. doi:10.1103/PhysRevA.58.883. S2CID 119391103.
2.  J. Eisert (2001). Entanglement in quantum information theory (Thesis). University of Potsdam. arXiv:quant-ph/0610253. Bibcode:2006PhDT……..59E.
3.  G. Vidal; R. F. Werner (2002). „A computable measure of entanglement”. Phys. Rev. A. 65 (3) 032314. arXiv:quant-ph/0102117. Bibcode:2002PhRvA..65c2314V. doi:10.1103/PhysRevA.65.032314. S2CID 32356668.
4.  M. B. Plenio (2005). „The logarithmic negativity: A full entanglement monotone that is not convex”. Phys. Rev. Lett. 95 (9) 090503. arXiv:quant-ph/0505071. Bibcode:2005PhRvL..95i0503P. doi:10.1103/PhysRevLett.95.090503. PMID 16197196. S2CID 20691213.