Postulatul ”spațiul stărilor” în mecanica cuantică

În stadiul actual al cunoștințelor științifice, mecanica cuantică este teoria utilizată pentru a descrie fenomene care apar la scară foarte mică[1].

Interacțiunea gravitațională este dificil de descris cu instrumentele mecanicii cuantice. Einstein, chiar dacă a jucat un rol important în construcția mecanicii cuantice, a fost nemulțumit de această teorie. Faimoasa sa afirmație „Dumnezeu nu joacă zaruri” rezumă punctul său de vedere. Interacțiunea electromagnetică poate fi descrisă folosind dinamica cuantică: acesta este obiectul electrodinamicii cuantice (QED). Acest lucru nu va fi prezentat în această carte, așa că cititorul ar trebui să consulte cărți de specialitate, de exemplu ([#Referințe|referințe]). (atomice sau subatomice). Scopul acestui capitol este de a prezenta formalismul matematic al mecanicii cuantice. Fizica cuantică se bazează pe o secvență de postulate pe care le prezentăm acum

Primul postulat se ocupă de descrierea stării unui sistem.

Postulat: (Descrierea stării unui sistem) Fiecărui sistem fizic îi corespunde un spațiu Hilbert complex H cu bază enumerabilă.

 

Spațiul H trebuie precizat pentru fiecare sistem fizic considerat.

Exemplu: Pentru un sistem cu o particulă cu spin zero într-un cadru nerelativist, spațiul de stări adoptat H este L2(R3). Este spațiul funcțiilor complexe de însumare la pătrat (relativ la măsura Lebesgue) echipate cu produs scalar: ⟨ϕ|ψ⟩ = ∫ϕ(x)ψ¯(x)dx Acest spațiu se numește spațiu al stărilor orbitale.

 

Mecanica cuantică înlocuiește astfel noțiunii clasice de poziție și viteză o funcție ψ(x) de însumabile la pătrat. Un element ψ(x) al lui H se notează |ψ⟩ folosind notațiile Dirac.

Exemplu: Pentru un sistem constituit dintr-o particulă cu spin diferit de zero s, într-un cadru nerelativist, spațiul stărilor este produsul tensorial L2(R3) ⊗ Cn unde n = 2s + 1. Particulele cu spin complet se numesc bosoni. Particulele cu spin semi-complet se numesc fermioni.

 

Exemplu: Pentru un sistem constituit din N particule distincte, spațiul de stări este produsul tensorial al spațiilor Hilbert hi (i ∈ (1, …, N) unde hi este spațiul de stări asociat particulei i.

 

Exemplu: Pentru un sistem constituit din N particule identice, spațiul de stări este un subspațiu al lui ⊗_i=1^Nh_i unde h_i este spațiul de stări asociat particulei i. Fie ψ_α1,…,αN o funcție a acestui subspațiu. Se poate scrie:

ψ_α1,…,αN = ϕ_α1(1) ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_αN(N)

unde ϕα_i ∈ h_i. Fie P^π operatorul permutare din ⊗_i=1^Nh_i în ⊗_i=1^Nh_i definit de:

P^π(ψ_{α1, …, αN}) = ϕ_α1(π(1)) ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_αN(π(N))

Unde π este o permutare a lui (1, …, N). Un vector se numește simetric dacă poate fi scris:

ϕ^s = 1/k^s ∑_π P^π(ψ_{α1, …, αN})

Un vector se numește antisimetric dacă poate fi scris:

Φ^α = 1/k^α ∑_π(−1)^pπ P^π(ψ_{α1, …, αN})

unde (−1)^pπ este semnătura (sau paritatea) permutării π, p_π fiind numărul de transpoziții a căror permutare π este produsul. Coeficienții k^s și k^α permit normalizarea funcțiilor de undă. Suma este extinsă la toate permutările π ale lui (1, …, N). În funcție de particulă, ar trebui aleși vectori simetrici sau antisimetrici ca vectori de stare. Mai precis:

• Pentru bosoni, spațiul de stări este subspațiul lui ⊗_i=1^Nh_i realizat de vectori simetrici.
• Pentru fermioni, spațiul de stări este subspațiul lui ⊗_i=1^Nh_i realizat de vectori antisimetrici.

Nota

[1] Modul în care a fost obținută mecanica cuantică este foarte diferit de modul în care au fost obținute alte teorii, de exemplu relativitatea. Teoria relativității se bazează pe principii geometrice și de invarianță. Mecanica cuantică se bazează pe observație (operatorii sunt numiți observabili)

(Include texte din Wikibooks, traduse și adaptate de Nicolae Sfetcu)