Oscilatorul cuantic armonic este analogul din mecanica cuantică al oscilatorului armonic clasic. Deoarece un potențial arbitrar poate fi aproximat ca potențial armonic în vecinătatea unui punct de echilibru stabil, acesta este unul dintre cele mai importante sisteme model din mecanica cuantică. Mai mult, este unul dintre puținele sisteme mecanice cuantice pentru care este cunoscută o soluție exactă, analitică.
(Unele traiectorii ale unui oscilator armonic în conformitate cu legile lui Newton de mecanică clasică (A-B), și conform ecuației Schrödinger din mecanica cuantică (C-H). În A-B, particula (reprezentată ca o minge atașată la un arc) oscilează înainte și înapoi. În C-H, sunt prezentate câteva soluții la ecuația Schrödinger, unde axa orizontală este poziția, iar axa verticală este partea reală (albastră) sau imaginară (roșie) a funcției de undă. C , D, E, F, dar nu și G, H, sunt stări proprii energetice. H este o stare coerentă – o stare cuantică care aproximează traiectoria clasică.)
Oscilator armonic unidimensional
Hamiltonianul și stările proprii ale energiei
(Reprezentări ale funcțiilor de undă pentru primele opt stări proprii legate, n = 0 până la 7. Axa orizontală indică poziția x. Notă: Graficele nu sunt normalizate, iar semnele unor funcții diferă de cele indicate în text. )
(Densități de probabilitate corespunzătoare.)
Hamiltonianul particulei este:
Ĥ = p̂2/2m + kx̂2/2 = p̂2/2m + mω2x̂2/2 ,
unde m este masa particulei, k este constanta de forță, ω = √(k/m) este frecventa unghiulara a oscilatorului, x̂ este operatorul de pozitie (dat de x) și p̂ este operatorul impulsului (dat de p̂ = – iℏ∂/∂x). Primul termen din hamiltonian reprezintă energia cinetică a particulei, iar al doilea termen reprezintă energia sa potențială.
Se poate scrie ecuația Schrödinger independentă de timp,
Ĥ |ψ> = E |ψ>,
unde E denotă un număr real care urmează să fie determinat, care va specifica un nivel de energie independent de timp sau valoare proprie, iar soluția |ψ> denotă starea proprie energetică a acestui nivel.
Se poate rezolva ecuația diferențială reprezentând această problemă de stări proprii în baza coordonatelor, pentru funcția de undă <x|ψ> = ψ(x), folosind o metodă spectrală. Se pare că există o familie de soluții. Pe această bază, se ajunge la
Funcțiile Hn sunt polinoamele Hermite. Nivelurile corespunzătoare de energie sunt
En = ℏω(n + 1/2) = (2n + 1)ℏω/2.
Acest spectru de energie este demn de remarcat din trei motive. În primul rând, energiile sunt cuantizate, ceea ce înseamnă că sunt posibile numai valori de energie discrete (multiplii întregi plus jumătate de ħω); aceasta este o caracteristică generală a sistemelor mecanice cuantice atunci când o particulă este limitată. În al doilea rând, aceste nivele discrete de energie sunt la fel de distanțate, spre deosebire de modelul lui Bohr al atomului sau de particula într-o cutie. În al treilea rând, cea mai mică energie realizabilă (energia lui n = 0, numită starea de bază) nu este egală cu minimul puțului de potențial, ci cu ħω/2 deasupra lui; aceasta se numește energie de punct zero. Din cauza energiei punctului zero, poziția și impulsul oscilatorului în starea de bază nu sunt fixate (așa cum ar fi într-un oscilator clasic), ci au un mic interval de variație, în conformitate cu principiul incertitudinii lui Heisenberg.
Densitatea probabilității stării de bază este concentrată în origine, ceea ce înseamnă că particulă își petrece cea mai mare parte a timpului în fundul puțului de potențial, așa cum s-ar aștepta pentru o stare cu puțină energie. Pe măsură ce crește energia, densitatea de probabilitate atinge punctul culminant la “punctele de cotitură” clasice, unde energia stării coincide cu energia potențială. Acest lucru este în concordanță cu oscilatorul armonic clasic, în care particula își petrece mai mult timp (și, prin urmare, este mai probabil să se găsească) în apropierea punctelor de cotitură, unde mișcarea sa este cea mai lentă. Prin urmare, principiul corespondenței este îndeplinit. Mai mult decât atât, pachetele speciale de undă nedispersivă, cu o incertitudine minimă, numite stări coerente, oscilează foarte asemănător cu obiectele clasice, așa cum este ilustrat în figură; ele nu sunt stări proprii ale hamiltonianului.
Scale naturale pentru lungimi și energie
Oscilatorul cuantic armonic dispune de scări naturale pentru lungime și energie, care pot fi folosite pentru a simplifica problema. Acestea pot fi găsite prin non-dimensionalizare.
Rezultatul este că, dacă măsuram energia în unități de ħω și distanța în unități de √√ħ/(mω), atunci hamiltonianul se simplifică la
H = – (1/2)d2/dx + (1/2)x2,
în timp ce funcțiile proprii energetice și valorile proprii se simplifică la
ψn(x) ≡ <x|n> = (1/√2nn!)π−1/4exp(−x2/2)Hn(x) ,
En = n + 1/2,
unde Hn(x) sunt polinoamele Hermite.
Stări foarte excitate
(Starea excitată cu n = 30, cu liniile verticale care indică punctele de cotitură. )
Când n este mare, stările proprii sunt foarte localizate în regiunea clasică permisă, adică în regiunea în care se poate mișca o particulă clasică cu energie En. Stările proprii sunt punctate în apropierea punctelor de cotitură, adică punctele de la capetele regiunii admise clasic în care particula clasică schimbă direcția. Acest fenomen poate fi verificat folosind asimptoticele polinoamelor Hermite, dar poate fi de asemenea înțeles ca fiind un exemplu al aproximării WKB. Frecvența oscilației la x este proporțională cu impulsul p(x) al unei particule clasice cu energia En și poziția x. Între timp, pătratul amplitudinii (determinând densitatea de probabilitate) este invers proporțional cu p(x), reflectând timpul în care particula clasică îl petrece aproape de x. Comportamentul într-un vecinătate mică a punctului de cotitură nu are o explicație clasică simplă, dar poate fi modelat utilizând o funcție Airy.
Soluții pentru spațiul de fază
În formularea spațiului de fază a mecanicii cuantice, soluțiile la oscilatorul cuantic armonic în mai multe reprezentări diferite ale distribuției quasiprobabilității pot fi scrise în formă închisă. Cele mai utilizate pe scară largă sunt distribuția quasiprobabilității Wigner, care are soluția
Fn(u) = ((-1)n/πℏ)Ln(4u/ℏω)e-2u/ℏω,
unde
u = mω2x2/2 + p2/2m,
și Ln sunt polinoamele Laguerre.
Acest exemplu ilustrează modul în care polinoamele Hermite și Laguerre sunt legate prin transformarea Wigner.
Între timp, funcția Husimi Q a stărilor proprii ale oscilatorului armonic are o formă chiar mai simplă. Dacă lucrăm în unitățile naturale descrise mai sus, avem
Q(ψn)(x,p) = ((x2 + p2)n/n!)e-(x2 + p2)/π
Această afirmație poate fi verificată utilizând transformarea Segal-Bargmann. În mod specific, deoarece operatorul de creștere în reprezentarea Segal-Bargmann este pur și simplu multiplicat cu z = x + ip și starea de bază este funcția constantă 1, stările normalizate ale oscilatorului armonic în această reprezentare sunt pur și simplu zn/√n!. În acest moment, putem face apel la formula pentru funcția Husimi Q în termenii transformării Segal-Bargmann.
Lasă un răspuns