Conjugate complexe ale funcțiilor de undă în mecanica cuantică

Mai târziu în această secțiune, veți vedea cum să utilizați funcția de undă pentru a descrie particulele care sunt „libere” sau legate prin forțe de alte particule. Forma specifică a funcției de undă depinde de detaliile sistemului fizic. O particularitate a teoriei cuantice este că aceste funcții sunt de obicei funcții complexe. O funcție complexă este una care conține unul sau mai multe numere imaginare (i = ). Măsurătorile experimentale produc numai numere reale (neimaginare), așa că procedura de mai sus pentru utilizarea funcției de undă trebuie să fie ușor modificată. În general, probabilitatea ca o particulă să se găsească în intervalul îngust (x, x + dx) la momentul t este dată de

(7.5) P(x,x+dx) = |Ψ(x,t)|²dx = Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)dx,

unde Ψ^∗(x,t) este conjugatul complex al funcției de undă. Conjugatul complex al unei funcții se obține prin înlocuirea fiecărei apariții a lui i = ) în acea funcție cu −i. Această procedură elimină numerele complexe din toate predicțiile deoarece produsul Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t) este întotdeauna un număr real.

EXERCIȚIUL 7.1

Dacă a = 3 + 4i, care este produsul a^∗a?

Luați în considerare mișcarea unei particule libere care se mișcă de-a lungul direcției x. După cum sugerează și numele, o particulă liberă nu suferă forțe și astfel se mișcă cu o viteză constantă. După cum vom vedea într-o secțiune ulterioară a acestui capitol, un tratament mecanic cuantic formal al unei particule libere indică faptul că funcția sa de undă are părți reale și complexe. În special, funcția de undă este dată de

Ψ(x,t) = Acos(kx − ωt) + iAsin(kx − ωt),

unde A este amplitudinea, k este numărul de undă și ω este frecvența unghiulară. Folosind formula lui Euler, e^iϕ = cos(ϕ) + isin(ϕ), această ecuație poate fi scrisă sub forma

Ψ(x,t) = Ae^{i(kx − ωt)} = Ae^iϕ,

unde ϕ este unghiul de fază. Dacă funcția de undă variază lent pe intervalul Δx, probabilitatea de a găsi particula în acel interval este

P(x,x + Δx) ≈ Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)Δx = (Ae^iϕ)(A^∗e^−iϕ)Δx = (A^∗A)Δx.

Dacă A are părți reale și complexe (a + ib, unde a și b sunt constante reale), atunci

A^∗A = (a + ib)(a − ib) = a² + b².

Observați că numerele complexe au dispărut. Astfel,

P(x,x + Δx) ≈ |A|²Δx

este o cantitate reală. Interpretarea lui Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t) ca densitate de probabilitate asigură că predicțiile mecanicii cuantice pot fi verificate în „lumea reală”.

EXERCIȚIUL 7.2

Să presupunem că o particulă cu energia E se mișcă de-a lungul axei x și este limitată în regiunea dintre 0 și L. O posibilă funcție de undă este

ψ(x,t) =

Determinați constanta de normalizare.

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat €9.59 – €27.84 Selectează opțiunile

Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Nu a fost votat €9.59 – €33.62 Selectează opțiunile

Mecanica cuantică fenomenologică

O introducere la nivel fenomenologic, cu un aparat matematic minimal, în mecanica cuantică. Un ghid pentru cine dorește să înțeleagă cea mai modernă, mai complexă și mai neconformă disciplină fizică, un domeniu care a schimbat fundamental percepțiile oamenilor de știință … Citeşte mai mult

Nu a fost votat €4.79 – €21.05 Selectează opțiunile