Dilema artileristului

de Nicolae Sfetcu | postat în: Amuzamente matematice | 0

„Toate ghiulelele de tun trebuie să fie aranjate în piramidele pătrate”, a fost ordinul emis regimentului. Acest lucru s-a rezolvat. Apoi a venit un alt ordin: „Toate piramidele trebuie să conțină un număr pătrat de ghiulele”. De aici a apărut necazul. „Nu se poate face”, a spus plutonierul. „Uită-te la această piramidă, de exemplu; există șaisprezece ghiulele la bază, apoi nouă, apoi patru, apoi una în vârf, făcând treizeci de ghiulele în total. Dar trebuie să fie încă șase ghiulele , sau cinci mai puține, pentru a face un număr pătrat.” „Trebuie făcut”, a insistat generalul. „Tot ce trebuie să faci este să pui numărul potrivit de ghiulele în piramidele tale.” „Am inteles!” a răspuns un locotenent, geniul matematic al regimentului. „Lăsați doar ghiulele din exterior.” „Prostii!” a exclamat generalul. „Nu poți să bagi o ghiulea într-o piramidă!” Este cu adevărat posibil să se supună ambelor ordine?

Ni s-a cerut să găsim cel mai mic număr de ghiulele de tun pe care le puteam așeza pe pământ pentru a forma un pătrat perfect și le-am putea aranja într-o piramidă pătrată. Voi încerca să fac problema cât mai clară posibil.

1 2   3   4   5   6     7
1 3   6 10 15 21   28
1 4 10 20 35 56   84
1 5 14 30 55 91 140

Aici, în primul rând, plasăm în ordine regulată numerele naturale. Fiecare număr din cel de-al doilea rând reprezintă suma numerelor din rândul de mai sus, de la început până la numărul de deasupra lui. Astfel, 1, 2, 3, 4, aunate împreună, dau 10. Al treilea rând este format exact în același mod ca al doilea. În al patrulea rând, fiecare număr este format prin adăugarea împreună a numărului de deasupra acestuia și a numărului precedent. Astfel, 4 și 10 fac 14, 20 și 35 fac 55. Acum, toate numerele din al doilea rând sunt numere triunghiulare, ceea ce înseamnă că aceste numere de ghiulele pot fi așezate pe sol, astfel încât să formeze triunghiuri echilaterale. Numerele din al treilea rând vor forma piramidele noastre triunghiulare, în timp ce numerele din al patrulea rând vor forma piramidele pătrate.

Astfel, însăși procesul de formare a numerelor de mai sus ne arată că fiecare piramidă pătrată este suma a două piramide triunghiulare, una dintre ele având același număr de ghiulele în lateral la bază, iar cealaltă o ghiulea mai puțin. Dacă continuăm tabelul de mai sus până la douăzeci și patru de locuri, vom ajunge la numărul 4.900 în rândul al patrulea.

Deoarece acest număr este pătratul lui 70, putem așeza ghiulelele într-un pătrat și putem forma o piramidă pătrată cu ele. Acest mod de scriere a seriei până când ajungem la un număr pătrat nu apelează la mintea matematică, dar servește pentru a arăta cum se poate ajunge cu ușurință răspunsul la un anumit puzzle. De fapt, mărturisesc eșecul meu de a descoperi alt număr decât 4.900 care îndeplinește condițiile, și nici nu am găsit nicio dovadă clară că acesta este singurul răspuns. Problema este una dificilă, iar cel de-al doilea răspuns, dacă există (ceea ce nu cred), se rezolvă cu cifre mari.

În beneficiul matematicienilor mai avansați, voi adăuga că expresia generală pentru numerele piramidelor pătrate este (2n³ + 3n² + n)/6. Pentru ca această expresie să fie, de asemenea, un număr pătrat (cazul special de1 fiind exceptat) este necesar ca n = p² – 1 = 6t², unde 2p² – 1 = q² („Ecuația Pelliană”). În cazul soluției noastre de mai sus, n = 24, p = 5, t = 2, q = 7.