Analiza dimensională

Analiza dimensională este un instrument matematic de multe ori folosit în fizică, chimie și inginerie, pentru a simplifica o problemă prin reducerea numărului de variabile la cel mai mic număr de parametri „esențiali”. Sisteme care au în comun acești parametri se numesc similare și nu trebuie să fie studiate separat.

Dimensiunea unei cantități fizice este tipul de unitate necesară pentru a o exprima. De exemplu, dimensiunea vitezei este distanţa/timp, iar dimensiunea forţei este distanța×masă/timp². În mecanică, fiecare dimensiune poate fi exprimată în termeni de distanță (pe care fizicienii o numesc adesea „lungime”), timp, și masă, sau, alternativ, în termeni de forță, lungime și masă. În funcție de problemă, poate fi avantajos să se aleagă un set sau alt set de unități fundamentale. Fiecare unitate este un produs de puteri (eventual fracționate) ale unităților fundamentale.

În forma cea mai primitivă, analiza dimensională este folosit pentru a verifica corectitudinea derivaţiilor algebrice: în fiecare expresie cu sens fizic, numai cantitățile de aceeași dimensiune pot fi adăugate sau scăzute. Cele două părți ale oricărei ecuații trebuie să aibă aceleași dimensiuni. Mai mult decât atât, argumentele funcțiilor exponențiale, logaritmice și trigonometrice trebuie să fie numere adimensionale, care se realizează de multe ori prin înmulțirea uei anumite cantităţi fizice cu o constantă corespunzătoare a dimensiunii inverse.

Reducerea mai sus menţionată de variabile utilizează teorema π Buckingham ca instrument central. Această teoremă descrie modul în care fiecare ecuație cu sens fizic implicând n variabile poate fi rescrisă echivalent ca o ecuație de parametri adimensionali n-m, unde m este numărul de unități fundamentale utilizate. Mai mult, şi cel mai important, ea oferă o metodă de calcul pentru acești parametri adimensionali din variabilele menționate, chiar dacă forma ecuației este încă necunoscută.

Două sisteme pentru care acești parametri coincid se numesc similare; acestea sunt echivalente în sensul ecuației, și experimentatorul care vrea să stabilească forma ecuației poate alege pe cel mai convenabil.

Teorema π foloseşte algebra liniară: spațiul tuturor unităților fizice posibile poate fi văzut ca un spațiu vectorial peste numerele raționale, dacă reprezentăm o unitate ca setul de exponenți necesari pentru unitățile fundamentale (cu o putere de zero, în cazul în care unitatea fundamentală particulară nu este prezentă). Multiplicarea unităților fizice este apoi reprezentată de suma vectorială din spaţiul vectorial. Algoritmul teoremei π este, în esență, o eliminare Gauss-Jordan efectuate în acest spațiu vectorial.

O aplicație tipică de analiză dimensională este în dinamica fluidelor. Dacă un fluid în mișcare întâlnește un obiect, el exercită o forță asupra obiectului, în conformitate cu o lege complicată (și nu complet înțeleasă). Variabilele implicate sunt: viteza, densitatea și vâscozitatea fluidului, dimensiunea corpului, și forța. Folosind algoritmul teoremei π, se pot reduce aceste cinci variabile la doi parametri adimensionali: coeficientul de rezistență și numărul Reynolds. Legea originală este apoi redusă la o lege care implică numai aceste două numere. Pentru a determina empiric această lege, în loc de experimente pe corpuri uriașe cu fluide rapide (cum ar fi avioane de dimensiuni reale în vânturi tunelate), se poate experimenta la fel de bine pe modele mici cu fluide care curg lent, mai vâscoase, pentru că aceste două sisteme sunt similare.

Exemplu aplicat

Luați în considerare binecunoscuta ecuaţie a lui Einstein E = mc ². După cum s-a menționat mai sus, cele două părți ale oricărei ecuație trebuie să aibă aceleași dimensiuni. Putem verifica acest lucru, după cum urmează.

E este energia, care are unități de masă × lungime² / timp². (Acest lucru se datorează faptului că de energia = forța x lungimea, și forța = masa x accelerația, și acceleraţia = lungimea / timp².)
m este masa, care este o unitate de sine stătătoaare.
c este viteza, care are ca unități lungime / timp.

Partea stângă, E, prin urmare, are unități de masă × lungime² / timp².
În partea dreaptă, mc ², are unități de masă × (lungime / timp)² = masa × lungime² / timp².

Prin urmare, cele două părți au aceleași dimensiuni.