Izomorfismul Choi-Jamiołkowski în teoria informației cuantice și teleportarea cuantică

În teoria informației cuantice și teoria operatorilor, izomorfismul Choi-Jamiołkowski se referă la corespondența dintre canalele cuantice (descrise prin hărți complet pozitive) și stările cuantice (descrise prin matrice de densitate), aceasta este introdusă de Man-Duen Choi[1] și Andrzej. Jamiołkowski.[2] Este, de asemenea, numită dualitate canal-stare de către unii autori din zona informației cuantice,[3] dar din punct de vedere matematic, aceasta este o corespondență mai generală între operatorii pozitivi și superoperatorii pozitivi compleți.

Pentru a studia un canal cuantic E de la sistemul S la S’, care este o hartă complet pozitivă care păstrează urmele de la spațiile operatorilor L(H_S) la L(H_S’), introducem un sistem auxiliar A cu aceeași dimensiune ca și sistemul S. Să luăm în considerare starea de inseparabilitate maximă:

|Φ⁺⟩ = 1/√d ∑_i=0^d−1|i⟩ ⊗ |i⟩ = 1/√d (|0⟩ ⊗ |0⟩ + ⋯ + |d−1⟩ ⊗ |d−1⟩)

in spațiul lui H_A ⊗ H_S. Deoarece E este complet pozitiv, (I_A ⊗ E)(|Φ⁺⟩⟨Φ⁺|)

este un operator nenegativ. În schimb, pentru orice operator nenegativ pe H_A ⊗ H_S, putem asocia o hartă complet pozitivă de la L(H_S) la L(H_S’). Acest tip de corespondență se numește izomorfism Choi-Jamiołkowski.

Compoziția stărilor Choi

Izomorfismul Choi-Jamiołkowski este un concept matematic care conectează porțile sau operațiile cuantice de stări cuantice numite stări Choi. Ne permite să reprezentăm proprietățile și comportamentul unei porți ca stare Choi.

În schema generalizată de teleportare a porții, putem teleporta o poartă cuantică dintr-o locație în alta folosind stări inseparate și operații locale. Iată cum funcționează:

1. Expeditorul dorește să aplice o anumită poartă unei stări cuantice de intrare.
2. În loc să aplice direct poarta, emițătorul creează o stare inseparată cu receptorul.
3. Expeditorul efectuează măsurători asupra stării lor de intrare și a părții lor din starea inseparată.
4. Rezultatele măsurătorii sunt comunicate receptorului prin comunicare clasică.
5. Pe baza rezultatelor măsurătorilor, receptorul efectuează operații locale pe cota lor din starea inseparată.
6. Aceste operații locale reconstituie efectul porții din partea receptorului.

Prin combinarea puterilor de inseparabilitate, măsurători și operații locale, efectul porții este transferat efectiv în locația receptorului.

Acest proces permite teleportarea informațiilor despre poartă sau aplicarea porții în sine, făcându-l o metodă fascinantă de a manipula porțile cuantice într-o manieră distribuită.

Referințe

• Choi, Man-Duen (1975). „Completely positive linear maps on complex matrices”. Linear Algebra and Its Applications. 10 (3): 285–290. doi:10.1016/0024-3795(75)90075-0.
• Jamiołkowski, Andrzej (1972). „Linear transformations which preserve trace and positive semidefiniteness of operators”. Reports on Mathematical Physics. 3 (4): 275–278. Bibcode:1972RpMP….3..275J. doi:10.1016/0034-4877(72)90011-0.
• Jiang, Min; Luo, Shunlong; Fu, Shuangshuang (2013). „Channel-state duality”. Physical Review A. 87 (2): 022310. Bibcode:2013PhRvA..87b2310J. doi:10.1103/PhysRevA.87.022310.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)