Martorii inseparabilității cuantice

În teoria informației cuantice, un martor al inseparabilității este o funcțională care distinge o stare specifică inseparabilă de cele separabile. Martorii inseparabilității pot fi funcționale liniare sau neliniare ale matricei densității. Dacă sunt liniare, atunci pot fi considerate și observabile pentru care valoarea așteptată a stării inseparabile este strict în afara intervalului de valori așteptate posibile ale oricărei stări separabile.

Fie un sistem cuantic compozit cu spațiul de stări H_A ⊗ H_B. O stare mixtă ρ este atunci un operator pozitiv de clasă de urme pe spațiul de stări care are urma 1. Putem considera familia de stări ca un subset al spațiului real Banach generat de operatorii de clasă de urmă hermitieni, cu norma de urmă. O stare mixtă ρ este separabilă dacă poate fi aproximată, în norma de urmă, prin stări de forma

ξ = ∑_i=1^k p_i ρ_i^A ⊗ ρ_i^B,

unde ρ_i^A și ρ_i^B sunt stări pure pe subsistemele A și respectiv B. Deci, familia de stări separabile este învelișul convex închis al stărilor pure de produs. Vom folosi următoarea variantă a teoremei Hahn-Banach:

Teoremă Fie S₁ și S₂ mulțimi închise convexe disjuncte într-un spațiu real Banach și una dintre ele este compactă, atunci există o funcțională f mărginită care separă cele două mulțimi.

Aceasta este o generalizare a faptului că, în spațiul euclidian real, având în vedere o mulțime convexă și un punct exterior, există întotdeauna un subspațiu afin care separă cele două. Subspațiul afin se manifestă ca funcționala f. În contextul actual, familia de stări separabile este o mulțime convexă în spațiul operatorilor de clasă de urme. Dacă ρ este o stare inseparată (deci situată în afara mulțimii convexe), atunci conform teoremei de mai sus, există o funcțională f care separă ρ de stările separabile. Această funcțională f, sau identificarea sa ca operator, o numim martor de inseparabilitate. Există mai mult de un hiperplan care separă o mulțime convexă închisă de un punct situat în afara acesteia, deci pentru o stare inseparată există mai mult de un martor al inseparabilității. Reamintim faptul că spațiul dual al spațiului Banach al operatorilor de clasă de urme este izomorf cu mulțimea operatorilor mărginiți. Prin urmare, putem identifica f cu un operator hermitian A. Prin urmare, modulo câteva detalii, am demonstrat existența unui martor al inseparabilității dată de o stare inseparată:

Teoremă Pentru fiecare stare inseparată ρ, există un operator hermitian A astfel încât Tr(Aρ) < 0 și Tr(Aσ) ≥ 0 pentru toate stările separabile σ.

Când atât H_A, cât și H_B au dimensiune finită, nu există nicio diferență între operatorii de clasă de urme și cei Hilbert-Schmidt. Deci, în acest caz, A poate fi dat de teorema reprezentării Riesz. Ca și corolar imediat, avem:

Teorema: O stare mixtă σ este separabilă dacă și numai dacă

Tr(Aσ) ≥ 0

pentru orice operator mărginit A care satisface Tr(A⋅P⊗Q) ≥ 0, pentru toate stările pure ale produsului P ⊗ Q.

Dacă o stare este separabilă, este clar că implicația dorită din teoremă trebuie să fie valabilă. Pe de altă parte, având în vedere o stare inseparată, unul dintre martorii săi de inseparabilitate va încălca condiția dată.

Astfel, dacă o funcțională mărginită f a spațiului Banach de clasă de urme și f este pozitivă asupra stărilor pure ale produsului, atunci f, sau identificarea sa ca operator hermitian, este un martor de inseparabilitate. Un astfel de f indică inseparabilitatea unei stări.

Folosind izomorfismul dintre martorii de inseparabilitate și aplicațiile necomplet pozitive, s-a demonstrat (de către Horodeckis) că

Teorema Presupunem că H_A , H_B sunt finit-dimensionale. O stare mixtă σ ∈ L(H_A) ⊗ L(H_B) este separabilă dacă pentru fiecare aplicație pozitivă Λ de la operatori mărginiți pe H_B la operatori mărginiți pe H_A, operatorul (I_A ⊗ Λ)(σ) este pozitiv, unde I_A este maparea identității pe L(H_A), operatorii mărginiți pe H_A.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)