Mecanica matriceală

Mecanica matriceală este o formulare a mecanicii cuantice creată de Werner Heisenberg, Max Born și Pascual Jordan în 1925.

Mecanica matriceală a fost prima formulare conceptuală autonomă și logic coerentă a mecanicii cuantice. Explicaţia sa a salturilor cuantice a înlocuit orbitele electronilor modelului Bohr. A făcut acest lucru prin interpretarea proprietăților fizice ale particulelor ca matrice care evoluează în timp. Ea este echivalentă cu formularea ondulatorie Schrödinger a mecanicii cuantice, așa cum se manifestă în notația bra-ket a lui Dirac.

În contrast cu formula rea ondulatorie, ea produce spectre ale operatorilor (în cea mai mare parte de energie) prin metode pur algebrice, de operator de scară. Bazându-se pe aceste metode, Pauli a derivat spectrul de atomi de hidrogen în 1926, înainte de dezvoltarea mecanicii ondulatorii.

În 1925, Werner Heisenberg, Max Born și Pascual Jordan au formulat reprezentarea mecanicii matriceale a mecanicii cuantice.

Epifanie la Helgoland

În 1925, Werner Heisenberg lucra la Göttingen la problema calculării liniilor spectrale ale hidrogenului. Prin mai 1925 a început să încerce să descrie sistemele atomice numai prin observabile. La 7 iunie, pentru a scăpa de efectele unui atac rău al febrei de fân, Heisenberg a plecat în insula Helgoland din Marea Nordului pentru a scăpa de polen. Cât timp a stat acolo, între cățărări și culegerea de poezii West-östlicher Diwan a lui Goethe, a continuat să reflecteze asupra problemei spectrale și, în cele din urmă, și-a dat seama că adoptarea observabilelor non-comutative ar putea rezolva problema, scriind mai târziu,

„Era cam la ora trei noaptea, cand rezultatul final al calculului era în faţa ochilor mei. La început am fost profund şocat, eram atât de entuziasmat încât nu mă gândeam la somn, aşa că am ieşit din casă şi aşteptam răsăritul soarelui pe vârful a unei stânci.”

Cele trei documente fundamentale

• W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [English translation in: B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Re-interpretarea cuantică a relațiilor cinematice și mecanice).]
• M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925 (received September 27, 1925). [English translation in: B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Despre mecanica cuantică).]
• M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926 (received November 16, 1925). [English translation in: B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Despre mecanica cuantică II).]

După ce s-a întors la Göttingen, Heisenberg i-a arătat lui Wolfgang Pauli calculele sale, comentând la un moment dat:

„Totul este încă vag și neclar pentru mine, dar se pare că electronii nu se vor mai mișca pe orbite”.

Pe 9 iulie, Heisenberg a dat aceeași lucrare a calculelor sale lui Max Born, spunând că: „… a scris o lucrare nebună și nu a îndrăznit să o trimită pentru publicare, şi că Born ar trebui să o citească și să-l sfătuiască…” înainte de publicare. Heisenberg a plecat apoi pentru o vreme, lăsându-l pe Born să analizeze lucrarea.

În lucrare, Heisenberg a formulat teoria cuantică fără orbite electronice. Hendrik Kramers a calculat anterior intensitățile relative ale liniilor spectrale în modelul Sommerfeld prin interpretarea coeficienților Fourier ai orbitelor ca intensități. Dar răspunsul său, ca toate celelalte calcule din vechea teorie cuantică, era corect doar pentru orbite mari.

Heisenberg, după o colaborare cu Kramers, a început să înțeleagă că probabilitățile de tranziție nu erau cantități destul de clasice, deoarece singurele frecvențe care apar în seria Fourier ar trebui să fie cele observate în salturi cuantice, nu cele ficționale care provin de la analiyarea Fourier a orbitelor clasice. El a înlocuit seria clasică Fourier cu o matrice de coeficienți, un analog cuantic al seriei Fourier. Clasic, coeficienții Fourier dau intensitatea radiației emise, deci în mecanica cuantică magnitudinea elementelor matriceale ale operatorului de poziție erau intensitatea radiației în spectrul de linii a luminii. Cantitățile din formularea lui Heisenberg erau poziția și impulsul clasic, dar acum nu mai erau clar definite. Fiecare cantitate a fost reprezentată de o colecție de coeficienți Fourier cu doi indici, corespunzând stărilor inițiale și finale.

Când Born a citit lucrarea, el a recunoscut formularea ca fiind una care ar putea fi transcrisă și extinsă la limbajul sistematic al matricelor, pe care el a învățat-o de la Jakob Rosanes de la Universitatea din Breslau. Born, cu ajutorul asistentului său și fostului student Pascual Jordan, a început imediat să efectueze transcrierea și extinderea și și-a prezentat rezultatele pentru publicare; lucrarea a fost primită pentru publicare la doar 60 de zile după lucrarea lui Heisenberg.

O lucrare ulterioară a fost prezentată spre publicare înainte de sfârșitul anului de către toți cei trei autori.

Până în acest moment, matricile erau rareori folosite de fizicieni; ele au fost considerate ca aparținând domeniului matematicii pure. Gustav Mie le-a folosit într-o lucrare despre electrodinamică în 1912 și Born le-a folosit în lucrarea sa asupra teoriei laturilor cristalelor în 1921. În timp ce matricele au fost folosite în aceste cazuri, algebra matriceală cu multiplicarea lor nu a intrat în u până la formularea matriceală a mecanicii cuantice.

Born a învățat algebra matriceală de la Rosanes,dar Born învățase, de asemenea, şi teoria lui Hilbert despre ecuațiile integrale și formele cuadratice pentru un număr infinit de variabile, așa cum reiese din citarea, de Born, a lucrării lui Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, publicată în 1912.

Și Jordan era bine pregătit pentru această sarcină. Timp de câțiva ani, a fost asistent al lui Richard Courant la Göttingen în pregătirea cărții lui Courant și David Hilbert, Methoden der mathematischen Physik I, care a fost publicată în 1924. Această carte conținea, din întâmplare, o mulțime de instrumente matematice necesare pentru dezvoltarea mecanicii cuantice.

În 1926, John von Neumann a devenit asistent al lui David Hilbert și el ar fi inventat termenul spațiu Hilbert pentru a descrie algebra și analiza care au fost folosite în dezvoltarea mecanicii cuantice.

Raționamentul lui Heisenberg

Înainte de mecanica matriceală, teoria cuantică veche descria mișcarea unei particule printr-o orbită clasică, cu o poziție și un impuls bine definit X(t), P(t), cu restricția că integrala de timp pe o perioadă T a impulsului să fie un multiplu pozitiv întreg al constantei lui Planck

∫₀^T PdX = nh.

În timp ce această restricție selectează corect orbitele cu valorile  mai mult sau mai puțin corecte de energie E_n, vechiul formalism al mecanicii cuantice nu descrie procese dependente de timp, cum ar fi emisia sau absorbția radiațiilor.

Atunci când o particulă clasică este cuplată slab la un câmp de radiație, astfel încât amortizarea radiativă poate fi neglijată, ea va emite radiații într-un model care se repetă în fiecare perioadă orbitală. Frecvențele care alcătuiesc unda de ieșire sunt apoi multiplii întregi ai frecvenței orbitale și aceasta este o reflectare a faptului că X(t) este periodic, astfel încât reprezentarea Fourier are doar frecvențe 2πn/T.

X(t) = Σ_n=-∞^∞e^2πint/TX_n.

Coeficienții X_n sunt numere complexe. Cele cu frecvențe negative trebuie să fie conjugatele complexe ale celor cu frecvențe pozitive, astfel încât X(t) va fi întotdeauna real,

X_n = X^*_-n

O particulă în mecanica cuantică, pe de altă parte, nu poate emite radiații în mod continuu, poate emite numai fotoni. Presupunând că particula cuantică a pornit pe orbita n, a emis un foton, apoi a ajuns pe orbita m, energia fotonului este E_n-E_m, ceea ce înseamnă că frecvența lui este (E_n – E_m)/h.

Pentru n și m mari, dar cu n-m relativ mici, acestea sunt frecvențele clasice prin principiul corespondenței lui Bohr

E_n – E_m ≈ h(n – m)/T.

În formula de mai sus, T este perioada clasică a orbitei n sau a orbitei m, deoarece diferența dintre ele este mai mare în h. Dar pentru n și m mici, sau dacă n – m este mare, frecvențele nu sunt multiplii întregi ai oricărei frecvențe singulare.

Deoarece frecvențele pe care le emit particulele sunt aceleași cu frecvențele din descrierea Fourier a mișcării sale, aceasta sugerează că ceva din descrierea dependentă de timp a particulei oscilează cu frecvența (En-Em)/h. Heisenberg a numit această cantitate X_nm și a cerut să se reducă la coeficienții clasici Fourier la limita clasică. Pentru valori mari ai lui n, m dar cu n – m relativ mic, X_nm este al (n – m) -lea coeficient Fourier  al mișcării clasice pe orbita n. Deoarece X_nm are o frecvență opusă lui X_mn, condiția că X este real devine

X_nm = X^*_mn.

Prin definiție, X_nm are numai frecvența (En-Em)/h, deci evoluția sa în timp este simplă:

X_nm(t) = e^{2πi(En – Em)t/h}X_nm(0).

Aceasta este forma originală a ecuației de mișcare a lui Heisenberg.

Având în vedere două matrice X_nm și P_nm care descriu două cantități fizice, Heisenberg ar putea forma o nouă matrice de același tip prin combinarea termenilor X_nkP_km, care oscilează și cu frecvența corectă. Deoarece coeficienții Fourier ai produsului a două cantități sunt convoluția coeficienților Fourier ai fiecăruia separat, corespondența cu seria Fourier a permis lui Heisenberg să deducă regula prin care ar trebui multiplicate matricele,

(XP)_mn = Σ_k=0^∞ X_mkP_kn.

Born a arătat că aceasta este legea multiplicării matricelor, astfel încât poziția, impulsul, energia, toate cantitățile observabile din teorie sunt interpretate ca matrici. Sub această regulă de multiplicare, produsul depinde de ordin: XP este diferit de PX.

Matricea X este o descriere completă a mișcării unei particule în mecanica cuantică. Deoarece frecvențele în mișcarea cuantică nu sunt multipli de frecvență comuni, elementele matricei nu pot fi interpretate ca fiind coeficienții Fourier ai unei traiectorii clasice. Cu toate acestea, ca matrice, X(t) și P(t) satisfac ecuațiile clasice de mișcare; vedeți și teorema lui Ehrenfest.

Bazele mecanicii matriceale

Când a fost introdusă de Werner Heisenberg, Max Born și Pascual Jordan în 1925, mecanica matriceală nu a fost acceptată imediat și a fost o sursă de controversă la început. Prezentarea ulterioară de către Schrödinger a mecanicii ondulatorii a fost favorizată.

O parte din motive a fost că formularea lui Heisenberg era într-un limbaj matematic ciudat, pentru acel timp, în timp ce formula lui Schrödinger se baza pe ecuații familiare. Dar a existat și un motiv sociologic mai profund. Mecanica cuantică se dezvolta pe două căi, una sub conducerea lui Einstein, iar cealaltă sub conducerea lui Bohr. Einstein a subliniat dualitatea undă-particulă, în timp ce Bohr a subliniat stările energice discrete și salturile cuantice. De Broglie a arătat cum să se reproducă stările energiei discrete în contextul lui Einstein – condiția cuantică este starea de undă staţionară și acest lucru a dat speranță celor din școala lui Einstein că toate aspectele discrete ale mecanicii cuantice vor fi subsumate într-o mecanică ondulatorie continuă.

Mecanica matriceală, pe de altă parte, a venit din școala Bohr, care se ocupa de stări de energie discrete și de salturi cuantice. Discipolii lui Bohr nu au apreciat modelele fizice care au reprezentat electronii ca unde sau ca orice altceva. Ei au preferat să se concentreze asupra cantităților care au fost direct legate de experimente.

În fizica atomică, spectroscopia a obţinut date observaționale despre tranzițiile atomice care rezultă din interacțiunile atomilor cu cuanta luminii. Școala Bohr a cerut ca doar acele cantităţi care erau în principiu măsurabile prin spectroscopie trebuie să apară în teorie. Aceste cantități includ nivelurile de energie și intensitățile lor, dar nu includ locația exactă a unei particule în orbita sa Bohr. Este foarte greu să ne imaginăm un experiment care ar putea determina dacă un electron în starea de bază a unui atom de hidrogen este la dreapta sau la stânga nucleului. A fost o convingere profundă că astfel de întrebări nu au un răspuns.

Formularea matriceală a fost construită pe baza faptului că toate observabilele fizice sunt reprezentate de matrice, ale căror elemente sunt indexate de două niveluri diferite de energie. Setul de valori proprii ale matricei a fost în cele din urmă înțeles a fi setul tuturor valorilor posibile pe care le poate avea observabila. Deoarece matricele lui Heisenberg sunt hermitiene, valorile proprii sunt reale.

Dacă se măsoară o observabilă și rezultatul este o anumită valoare proprie, vectorul propriu corespunzător este starea sistemului imediat după măsurare. Actul de măsurare din mecanica matriceală „colapsează” starea sistemului. Dacă se măsoară două observabile simultan, starea sistemului colapseayă la un vector propriu obișnuit al celor două observabile. Deoarece cele mai multe matrici nu au în comun niciun vector propriu, cele mai multe observabile nu pot fi măsurate exact în același timp. Acesta este principiul incertitudinii.

Dacă două matrice își partajeayă vectorii proprii, pot fi simultan diagonalizate. În baza în care ambele sunt diagonalizate, este clar că produsul lor nu depinde de ordinea lor deoarece multiplicarea matricelor diagonale este doar o multiplicare a numerelor. Principiul incertitudinii, prin contrast, este o expresie a faptului că adesea două matrici A și B nu comută întotdeauna, adică AB – BA nu este neapărat egal cu 0. Relația de comutare fundamentală a mecanicii matricei,

Σ_k(X_nkP_km – P_nkX_km) = ih/2π∙δ_nm

implică faptul că nu există nicio state care să aibă simultan o poziție și un impuls definite.

Acest principiu de incertitudine este valabil și pentru multe alte perechi de observabile. De exemplu, energia nu comută nici cu poziția, deci este imposibil să se determine cu precizie poziția și energia unui electron într-un atom.