Probleme în gravitația cuantică generate de argumentul găurii lui Einstein

Primele lucrări tehnice privind gravitatea cuantică au fost scrise de Rosenfeld în 1930. Lista cercetătorilor care au lucrat la această problemă de atunci se citește ca un almanah al celebritățlor din fizica modernă, inclusiv zece laureați ai Premiului Nobel – Einstein, Bohr, Heisenberg, Dirac, Pauli, Schwinger, Feynman, Veltman, Hooft și Weinberg. Într-un sens, munca a fost foarte reușită, ceea ce a dus la multe lucruri pe care noi le considerăm acum: fixarea ecartamentului și fantomele lui Faddev-Popov, metoda câmpului de fundal și acțiunea efectivă și multe din ceea ce știm despre dinamica constrânsă. Ceea ce nu s-a obținut încă este o teorie cuantică a gravitației.

Gravitația cuantică este, fără îndoială, dificilă din punct de vedere tehnic, dar acest eșec are rădăcini mai profunde în lipsa noastră de înțelegere a ceea ce ar putea însemna „spațiu-timpul cuantificat”.

Într-o teorie obișnuită a câmpului pe un spațiu fix M, punctele din M sunt semnificative din punct de vedere fizic. Are sens, de exemplu, să se vorbească despre „valoarea câmpului electromagnetic în punctul x”. Relativitatea generală este, dimpotrivă, invariantă sub difeomorfisme, transformări de coordonate „active” care mută punctele în M, iar punctele nu mai au nicio semnificație independentă.

În teoria generală a relativității, dezbaterea tradițională dintre absolutism și relaționalism a fost schimbată în sensul că spațiu-timpul este o substanță, deoarece teoria generală a relativității exclude în mare măsură existența, de exemplu, a pozițiilor absolute. Un argument puternic împotriva substantivismului spațial, oferit de John Earman, este cunoscut ca „argumentul găurii”.

Acesta este un argument tehnic matematic, dar poate fi parafrazat după cum urmează:

Definiți o funcție d ca funcție de identitate peste toate elementele de pe varietatea topologică M, cu excepția unei mici vecinătăți H care aparține lui M. Peste H, d vine să difere ca identitate printr-o funcție netedă.

Cu ajutorul acestei funcții d putem construi două modele matematice, unde a doua este generată prin aplicarea d la elementele corespunzătoare ale primei, astfel încât cele două modele sunt identice înainte de timpul t = 0, unde t este o funcție de timp creată printr-o foliere a spațiutimpului, dar diferă după t = 0.

Aceste considerații arată că, din moment ce substantivismul permite construcția de găuri, universul trebuie, din această perspectivă, să fie indeterminist. Ceea ce, spune Earman, este un caz împotriva substantivismului, deoarece cazul dintre determinism sau indeterminism ar trebui să fie o chestiune de fizică, nu de angajamentul nostru față de substantivism.

Argumentul „găurii” al lui Einstein a fost unul dintre motivele pentru respingerea inițială a covarianței generale. Pentru noi, semnificația este că nu putem vedea metrica drept doar o superstructură așezată deasupra unui set fizic semnificativ de puncte care constituie spațiu. Distribuția și geometria sunt fundamental inseparabile, iar cuantificarea geometriei înseamnă într-adevăr cuantificarea spațiului în sine.

Această problemă apare într-o serie de motive:

1. Co-covarianță generală vs. localitate: Simetria fundamentală a relativității generale este covarianța generală (strict vorbind, invarianța difeomorfismului), lipsa dependenței de cantitățile fizice a alegerii coordonatelor. Observatorii în gravitația cuantică ar trebui să respecte probabil această simetrie. Dar observațiile difeomorfism-invariant în relativitatea generală sunt în mod necesar nelocale în esență.

2. Problema timpului: Timpul joacă două roluri vitale în teoria cuantică: determină alegerea pozițiilor canonice și fixează normalizarea funcției de undă. În relativitatea generală, totuși, nu există o „perioadă de tăiere a timpului” preferată a spațiu-timpului în suprafețe spațio-temporale. Aceasta are multe consecințe.

În mod similar, dacă impunem cerința naturală ca observabilele să meargă cu constrângeri, atunci toate observabilele trebuie să fie constante ale mișcării.

• Teoria câmpului cuantic include cauzalitatea ca o axiomă fundamentală. Valorile cantitative ale metricei pot schimba trecutul și viitorul. Acest lucru a dus la speculații că cerințele de cauzalitate ar putea impune schimbări drastice în punctul de plecare al cuantizării.

• În relativitatea generală clasică, evoluția unei configurații de la o hipersurfă spațio-temporală inițială la o suprafață finală este independentă de alegerea coordonatelor timpului. Deși acest lucru ar putea fi adevărat în ceea ce privește gravitația cuantică, cu o alegere corectă de ordonare a operatorilor, problema este departe de a fi rezolvată.

• Candidații evidenți pentru funcțiile de undă în gravitația cuantică, soluțiile ecuației Wheeler-DeWitt, nu sunt normalizabile. Acest lucru este de așteptat: din cauza covarianței generale, timpul intră în funcția de undă numai implicit prin metrică.

Este tentant să evităm aceste probleme prin definirea timpului drept „citirea unui ceas”. Dar un ceas măsoară doar timpul de-a lungul liniei sale de univers; pentru a defini timpul global, avem nevoie de un „fluid de referință” de umplere a spațiului, care are apoi o reacție înapoi pe câmpul gravitațional. Mai mult, un ceas fabricat din materie cuantică nu poate fi fiabil: orice ceas construit din materie cu un Hamiltonian pozitiv are o probabilitate finită de a rula uneori înapoi, și astfel nu poate fi folosit pentru a normaliza în mod consecvent funcțiile de undă.

3. Problema reconstrucției: Am văzut mai sus că observabilele în gravitația cuantică trebuie să fie constante nelocale ale mișcării. Chiar dacă găsim un set de observabile, trebuie să ne dăm seama încă cum să reconstruim descrierea locală standard ca limită clasică.

4. Structura pe scară mică: Computațiile în teoria câmpului cuantic standard sunt aproape întotdeauna perturbative, implicând expansiuni în jurul unei situații simple de vid. Cand vidul nu este simplu – de exemplu în cromodinamica cuantică cu energie scăzută – aceste metode nu reușesc adesea. Atunci când relativitatea generală este tratată ca o teorie obișnuită a câmpului cuantic, alegerea obișnuită pentru vid este spațiul plat Minkowski. Aceasta este o estimare rezonabilă, având în vedere teorema energiei pozitive, care afirmă că spațiul Minkowski este soluția asimptotică cea mai joasă din punct de vedere energetic cel mai redus a ecuațiilor câmpului clasic Einstein.

5. Structuri pe scară largă și stări de împrăștiere: Este foarte dificil să se descrie stările exacte într-o teorie a câmpului cuantic interactiv.

6. Funcția de undă a universului: O motivație-cheie pentru gravitația cuantică este nevoia de a înțelege cosmologia cuantică, mecanica cuantică a Universului ca întreg. Dar observatorul este o parte a Universului și nu se mai poate face divizarea convențională între observator și observată. Trebuie să ne punem astfel o întreagă serie de întrebări cu privire la semnificația mecanicii cuantice care poate fi ignorată de obicei: Când funcționează colapsul funcțiilor de undă? Ce înseamnă atribuirea unei probabilități unui sistem unic? Ce face un „observator” special în teoria cuantică?

Având în vedere aceste aspecte fundamentale, este posibil să fie remarcabil faptul că s-au făcut progrese în ceea ce privește cuantificarea gravitației. Abordările existente ale gravitației cuantice se încadrează în două mari categorii, „covariante” și „canonice”. Cuantificarea covariantă tratează invarianța difeomorfismului ca fiind fundamentală și încearcă să păstreze în mod evident această simetrie. Aceasta necesită de obicei o cuantificare perturbativă în jurul unui fond fix. Cuantificarea canonică tratează structura simplă a mecanicii cuantice ca fiind fundamentală și împarte variabilele clasice în poziții și momente de la început. Acest lucru permite un tratament nonperturbator, dar de obicei în detrimentul covarianței evidente. Există o lungă istorie de dezbateri între avocații acestor două filosofii, care au servit în principal pentru a clarifica slăbiciunile fiecăruia.

Sursa: S. Carlip, Quantum Gravity: a Progress Report