Postulatele mecanicii cuantice și semnificația măsurătorilor

Un sistem fizic este în general descris de trei ingrediente de bază: stări; observabile; și dinamica (sau legea evoluției timpului) sau, mai general, un grup de simetrii fizice. O descriere clasică poate fi dată într-un mod destul de direct de către un model de mecanică a spațiului de fază: stările sunt puncte într-un spațiu simplectic de fază, observabilele sunt funcții reale pe el, evoluția timpului este dată de un grup un parametru de transformări simplectice din spațiul fazei, și simetriile fizice sunt realizate prin transformări simplectice. O descriere cuantică constă, în mod obișnuit, dintr-un spațiu Hilbert al stărilor, observabilele sunt operatori independenți în spațiul stărilor, evoluția timpului este dată de un grup de transformări unitare pe spațiul Hilbert al stărilor, iar simetriile fizice sunt realizate de transformări unitare. (Este posibil să se facă o mapare a acestei imagini a spațiului Hilbert la o formulare a spațiului fazei, inversibil.

Postulate ale mecanicii cuantice

Următorul rezumat al cadrului matematic al mecanicii cuantice poate fi parțial urmărit înapoi la axiomele lui Dirac-von Neumann.

• Fiecare sistem fizic este asociat cu un spațiu Hilbert H complex separabil (topologic) cu produsul interior ‹φ|ψ›. Razele (adică subspațiile dimensionale complexe 1) din H sunt asociate cu stările cuantice ale sistemului. Cu alte cuvinte, stările cuantice pot fi identificate cu clase de echivalență ale vectorilor cu lungimea 1 în H, unde doi vectori reprezintă aceeași stare dacă diferă numai printr-un factor de fază. Separabilitatea este o ipoteză convenabilă din punct de vedere matematic, cu interpretarea fizică fiind, în mod conștient, suficientă pentru a determina în mod unic starea. „O stare mecanică cuantică este o rază în spațiul proiectiv Hilbert, nu un vector. Multe manuale nu reușesc să facă această distincție, ceea ce ar putea fi parțial rezultatul faptului că ecuația lui Schrödinger implică „vectori” în spațiul Hilbert, rezultând că utilizarea imprecisă a „vectorului de stare”, mai degrabă decât a razei, este foarte dificil de evitat.”
• Spațiul Hilbert al unui sistem compozit este produsul tensorului spațiului Hilbert al spațiilor de stări asociate sistemelor componente (vezi, de ex., J. M. Jauch, Fundațiile mecanicii cuantice, secțiunea 11.7). Pentru un sistem non-relativist constând dintr-un număr finit de particule distincte, sistemele componente sunt particulele individuale.
• Simetriile fizice acționează asupra spațiului Hilbert al stărilor cuantice unitar sau anunitar datorită teoremei lui Wigner (supersimetria este o altă problemă în întregime).
• Observațiile fizice sunt reprezentate de matricele hermitiene pe H.
• Valoarea așteptărilor (în sensul teoriei de probabilitate) a observabilei A pentru sistemul în starea reprezentată de vectorul unitar ψ din H este ‹ψ | A | ψ›
• Prin teoria spectrală, putem asocia o măsură de probabilitate cu valorile lui A în orice stare ψ. Putem de asemenea să arătăm că valorile posibile ale lui observabilei A în orice stare trebuie să aparțină spectrului lui A. În cazul special, A are doar un spectru discret, rezultatele posibile ale măsurării lui A sunt propriile lui valori. Mai exact, dacă reprezentăm starea ψ în baza formată de vectorii proprii ai lui A, atunci pătratul modulului componentei atașată la un anumit vector propriu este probabilitatea de a observa valoarea sa proprie corespunzătoare.
• Mai general, o stare poate fi reprezentată de un așa numit operator de densitate, care este o clasă de trasee, operator non-negativ auto-adjoint ρ normalizat să fie al traseului 1. Valoarea așteptată a lui A în starea ρ este tr(Aρ)
• Dacă ρ_ψ este proiectorul ortogonal pe subspațiul unidimensional al lui H, cuprins de |ψ›, atunci tr(Aρ_ψ) = ‹ψ | A | ψ›
• Operatorii de densitate sunt cei care se află în închiderea corpului convex al proiectorilor ortogonali unidimensionali. Dimpotrivă, proiectorii ortogonali unidimensionali reprezintă puncte extreme ale setului de operatori de densitate. Fizicienii numesc, de asemenea, proiectori ortogonali unidimensionali stări pure, și alți operatori de densitate, stări mixte.

În acest formalism se poate afirma principiul incertitudinii lui Heisenberg și dovedi a fi o teoremă, deși secvența istorică exactă a evenimentelor, referitoare la cine a derivat ce și în ce cadru, este subiectul investigațiilor istorice în afara domeniului de aplicare al acestui articol.

Mai mult, la postulatele mecanicii cuantice ar trebui să adăugăm, de asemenea, declarații de bază despre proprietățile spinului și principiul excluderii lui Pauli.

Problema măsurării

Imaginea prezentată mai sus este suficientă pentru descrierea unui sistem complet izolat. Cu toate acestea, acesta nu reflectă una dintre principalele diferențe dintre mecanica cuantică și mecanica clasică, respectiv efectele măsurării. Descrierea lui von Neumann a măsurării cuantice a unui observator A, atunci când sistemul este pregătit într-o stare pură ψ, este următoarea (de notat însă că descrierea lui von Neumann datează din anii 1930 și se bazează pe experimentele efectuate în acea perioadă – mai exact experimentul Compton-Simon, care nu este aplicabil pentru cele mai multe măsurători actuale din domeniul cuantic):

• Fie A o rezoluție spectrală

A = ∫λdE_A(λ),

unde E_A este rezoluția identității (numită și măsură de proiecție) asociată lui A. Atunci probabilitatea rezultatului măsurării situată într-un interval B al R este |E_A(B)ψ|². Cu alte cuvinte, probabilitatea este obținută prin integrarea funcției caracteristice a lui B față de măsura aditivă numărabilă

‹ψ | E_A ψ›.

• Dacă valoarea măsurată este cuprinsă în B, atunci imediat după măsurare, sistemul va fi în starea (în general ne-normalizată) E_A(B)ψ. Dacă valoarea măsurată nu se află în B, înlocuiți B cu complementul său pentru starea de mai sus.

De exemplu, să presupunem că spațiul de stare este spațiul n-dimensional complex Hilbert spațiu Cⁿ și A este o matrice hermitiană cu valori proprii λ_i, cu vectori proprii corespunzători ψ_i. Măsura măsurată prin proiecție asociată cu A, E_A, este atunci

E_A(B) = | ψ_i› ‹ψ_i |.

unde B este un set Borel care conține numai singura valoare personală λ_i. Dacă sistemul este pregătit în starea | ψ›, atunci probabilitatea unei măsurători care returnează valoarea λ_i poate fi calculată prin integrarea măsurii spectrale ‹ψ | E_Aψ› peste B_i. Acest lucru dă trivial

‹ψ | ψ_i› ‹ψ_i | ψ› = |‹ψ | ψ_i›|².

Proprietatea caracteristică a schemei de măsurare von Neumann este aceea că repetarea aceleiași măsurători va da aceleași rezultate. Acest lucru se numește și postulatul de proiecție.

O formulare mai generală înlocuiește măsura proiectată cu o măsură cu o evaluare pozitivă a operatorului (POVM).

În abordarea lui von Neumann, transformarea de stare datorată măsurării este diferită de cea datorată evoluției timpului în mai multe moduri. De exemplu, evoluția timpului este deterministă și unitară, în timp ce măsurarea este non-deterministă și neunitară. Cu toate acestea, deoarece ambele tipuri de transformări de stare duc o stare cuantică la alta, această diferență a fost privită de mulți ca fiind nesatisfăcătoare. Formalismul POVM consideră că măsurarea este una dintre numeroasele operațiuni cuantice, care sunt descrise de hărți complet pozitive care nu măresc traseul.

În orice caz, se pare că problemele menționate mai sus pot fi rezolvate numai dacă evoluția timpului include nu numai sistemul cuantic, ci și, în esență, aparatul de măsurare clasic.

Interpretarea stării relative

O interpretare alternativă a măsurării este interpretarea stării relative a lui Everett, care mai târziu a fost numită interpretarea „multor lumi” a fizicii cuantice.