Brane în teoria corzilor

În teoria corzilor și în teoriile conexe, cum ar fi teoriile supergravitației, o brană este un obiect fizic care generalizează noțiunea de particule punctiforme la dimensiuni mai mari. Branele sunt obiecte dinamice care se pot propaga în spațiu-timp conform regulilor mecanicii cuantice. Au masă și pot avea alte atribute precum sarcină.

Din punct de vedere matematic, branele pot fi reprezentate în cadrul unor categorii și sunt studiate în matematică pură pentru a înțelege simetria oglindă omologică și geometria necomutativă.

p-branele

O particulă punctuală poate fi privită ca o brană de dimensiunea zero, în timp ce o coardă poate fi văzut ca o brană de dimensiunea unu.

Pe lângă particulele punctiforme și corzi, este posibil să se ia în considerare branele de dimensiuni mai mari. O brană p-dimensională este în general numită „p-brană”.

Termenul „p-brană” a fost inventat de M. J. Duff şi colab. în 1988; „brană” provine de la cuvântul „membrană” care se referă la o brană bidimensională.

O p-brană mătură un volum (p+1)-dimensional în spațiu-timp numit volumul său mondial. Fizicienii studiază adesea câmpuri analoge câmpului electromagnetic, care se găpsesc pe volumul mondial al unei brane.

D-branele

(Corzi deschise atașate la o pereche de D-brane)

În teoria corzilor, o coardă poate fi deschisă (formând un segment cu două capete) sau închisă (formând o buclă închisă). D-branele sunt o clasă importantă de brane care apar atunci când se ia în considerare corzile deschise. Pe măsură ce o coardă deschisă se propagă prin spațiu-timp, punctele sale finale trebuie să se afle pe o brană D. Litera „D” în D-brană se referă la condiția de limită Dirichlet, pe care D-brana o satisface.

Un punct crucial despre D-branele este că dinamica volumului mondial al D-branei este descrisă de o teorie gauge, un fel de teorie fizică extrem de simetrică, de asemenea folosită pentru a descrie comportamentul particulelor elementare în modelul standard al fizicii particulelor. Această conexiune a condus la perspective importante în teoria gauge și teoria câmpului cuantic. De exemplu, a condus la descoperirea corespondenței AdS/CFT, un instrument teoretic pe care fizicienii îl folosesc pentru a traduce probleme dificile din teoria gauge în probleme mai tratabile matematic în teoria corzilor.

Descrierea categorică

Din punct de vedere matematic, branele pot fi descrise folosind noțiunea de categorie. Aceasta este o structură matematică constând din obiecte și, pentru orice pereche de obiecte, un set de morfisme între ele. În majoritatea exemplelor, obiectele sunt structuri matematice (cum ar fi mulțimi, spații vectoriale sau spații topologice), iar morfismele sunt funcții între aceste structuri. De asemenea, se pot considera categorii în care obiectele sunt D-brane și morfismele dintre două brane α și β sunt stări de corzi deschise întinse între α și β .

(O secțiune transversală a unei varietăți topologice Calabi-Yau)

Într-o versiune a teoriei corzilor cunoscută sub denumirea de modelul B topologic, D-branele sunt subvarietăți topologice complexe ale anumitor forme cu șase dimensiuni numite varietăți topologice Calabi-Yau, împreună cu date suplimentare care apar din punct de vedere fizic din încărcarea la capetele corzilor. În mod intuitiv, se poate gândi la o subvarietate ca la o suprafață încorporată în interiorul unei varietăți Calabi-Yau, deși subvarietățile pot exista și în dimensiuni diferite de două. În limbajul matematic, categoria care are aceste brane drept obiecte este cunoscută drept categoria derivată de snopi coerenți pe Calabi-Yau. Într-o altă versiune a teoriei corzilor numită model A topologic, D-branele pot fi din nou privite ca subvariete ale unei varietăți Calabi-Yau. În linii mari, ele sunt ceea ce matematicienii numesc subvarietate speciale lagrangiene. Aceasta înseamnă, printre altele, că au jumătate din dimensiunea spațiului în care se așează și reduc la minimum lungimea, suprafața sau volumul. Categoria care are aceste brane drept obiecte se numește categoria Fukaya.

Categoria derivată de snopi coerenți este construită folosind instrumente din geometria complexă, o ramură a matematicii care descrie curbele geometrice în termeni algebrici și rezolvă probleme geometrice folosind ecuații algebrice. Pe de altă parte, categoria Fukaya este construită folosind geometria simplectică, o ramură a matematicii care a apărut din studiile fizicii clasice. Geometria simplectică studiază spațiile echipate cu o formă simplectică, un instrument matematic care poate fi folosit pentru a calcula suprafața în exemple bidimensionale.

Conjectura de simetrie oglindă omologică a lui Maxim Kontsevich afirmă că o categorie derivată de snopi coerenți pe o varietate Calabi–Yau este echivalentă într-un anumit sens cu categoria Fukaya a unei varietăți Calabi–Yau complet diferite. Această echivalență oferă o punte neașteptată între două ramuri ale geometriei, și anume geometria complexă și simplectică.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)