Mulțimi universale în teoria mulțimilor

O utilizare a mulțimilor noastre comune este de a limita domeniul de aplicare a unei probleme de matematică la tipul adecvat de numere. O mulțime universală oferă contextul unei probleme. Toate numerele utilizate în problemă, inclusiv soluțiile, vor proveni din mulțimea universală.

Dacă numărăm oile, N este o alegere bună de mulțime universală. Am putea avea 0 oi, sau 5, sau 10 sau 20. Nu vrem să luăm în considerare numerele din Q aici, ceva nu a mers foarte bine dacă numărăm 2/3 din oi.

Dacă tăiem plăcinte, Q este o alegere excelentă. Q ne dă libertatea de a servi 1/4 sau 1/6 sau 1/8 din o plăcintă. Nu este nevoie să împărțim plăcintele în numere iraționale și oricum ne lipsesc abilitățile necesare cu un cuțit.

Dacă facem geometrie, ar trebui să lucrăm în R. Avem nevoie de numere precum π pentru circumferința unui cerc și √2 pentru diagonala unui pătrat și nu putem scrie acele numere ca fracții.

Exemplu: Rezolvați problema poveștii o dată pentru fiecare set universal oferit.

Prietenul tău a ales un număr între 1 și 10. Îl poți ghici?

(a) N
(b) R

Un set conține două numere. Suma pătratelor acelor numere este 25. Care este mulțimea?

(a) N
(b) Z
(c) Q
(d) R

Trei prieteni au mâncat prăjituri împreună. Alice a mâncat de două ori mai multe prăjituri decât Dylan. Dylan a mâncat de două ori mai multe prăjituri decât Carol. Împreună, cei trei au mâncat mai puțin de 10 prăjituri. Câte prăjituri a mâncat fiecare persoană?

(a) N
(b) Q

Soluție:

Prietenul tău a ales un număr între 1 și 10. Îl poți ghici?

(a) Lucrul în N limitează alegerile prietenului tău la numere întregi pozitive. Dacă prietenul tău alege un număr între 1 și 10, acesta trebuie să provină din mulțimea

{1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}

Ai o șansă de 1 din 10 de a ghici numărul, ceea ce nu este atât de puțin probabil. Joacă de multe ori și cu siguranță vei ghici unele dintre ele.

(b) Lucrul în R nu este în favoarea ta. Deoarece există întotdeauna un alt număr real între două numere, nu putem enumera toate opțiunile prietenului tău! Sunt infinit de multe. Prietenul tău s-ar putea gândi la 4.5, sau 6.01 sau 3.99999967. Ar putea chiar să aleagă un număr ca 47. De data aceasta ai putea să joci oricât și să nu ghicești numărul nici măcar o singură dată.

Un set conține două numere. Suma pătratelor acelor numere este 25. Care este mulțimea?

(a) Dacă numerele provin din N, există exact două posibilități: {3, 4} și {0, 5}. 3² + 4² = 9 + 16 = 25 și 0² + 5² = 0 + 25 = 25. Orice altă pereche de numere nu va funcționa. Niciun număr nu poate fi mai mare de 5 întrucât pătratul său va fi prea mare și deci putem verifica toate perechile de numere 5 și mai mici.

(b) Lucrul în Z ne oferă acces la numere întregi negative. Acest lucru extinde opțiunile noastre deoarece, de exemplu, (—3)² = 3² = 9. Lista de soluții posibile este {3,4}, {-3, 4}, {3, -4}, {-3, -4}, {0, 5} și {0, -5}.

(c) În Q avem infinit de multe opțiuni. De exemplu, puteți verifica dacă {25/13, 60/13} și {47, 75} produc rezultatul dorit. Puteți găsi modelul pentru a produce mai multe astfel de perechi?

(d) În R avem chiar mai multe opțiuni decât în Q. Putem începe cu orice număr real între —5 și 5 și putem rezolva o ecuație pentru a găsi pereche. Începeți cu π de exemplu. Dacă π² + x² trebuie să fie egal cu 25, atunci

π² + x² = 25
x² = 25 – π²
x = √25 – π²

Deci {π, √(25 – π²)} este o soluție. Interesant, acest proces este mult mai ușor decât găsirea de soluții în Q.

Trei prieteni au mâncat prăjituri împreună. Alice a mâncat de două ori mai multe prăjituri decât Dylan. Dylan a mâncat de două ori mai multe prăjituri decât Carol. Împreună, cei trei au mâncat mai puțin de 10 prăjituri. Câte prăjituri a mâncat fiecare persoană?

(a) Să presupunem că fiecare persoană a mâncat un număr natural de prăjituri. Să spunem despre Carol că a mâncat c prăjituri cu c∈N. Dylan a mâncat de două ori mai multe, adică 2c prăjituri. Alice a mâncat de două ori mai multe decât Dylan, așa că a mâncat 2·2c = 4c prăjituri. Împreună, cei trei au mâncat c + 2c + 4c = 7c prăjituri. În cazul în care Carol a mâncat 1 prăjitură, atunci trio-ul a mâncat 7. Dar în cazul în care Carol a mâncat 2 prăjituri atunci trio-ul a mâncat 14, care este mai mult de 10 și nu este permis. Deci singura posibilitate este Carol să fi mâncat 1 prăjitură, Dylan să fi mâncat 2 și Alice să fi mâncat 4.

(b) Dacă trio-ul nostru poate mânca fracții de prăjituri reprezentate prin numere în Q, atunci Carol nu se mai limitează la exact 1 prăjitură. Ea poate mânca orice număr mai mare de 0 și mai mic de 10/7. De exemplu, în cazul în care Carol mănâncă 1/7 dintr-o prăjitură, atunci Dylan va mânca 2/7 și Alice va mânca 4/7, pentru un total de exact 1 prăjitură consumată de ei trei. Din nou, există o infinitate de soluții posibile în Q.