După cum s-a menționat la începutul acestui capitol, Nicolaus Copernic a sugerat pentru prima dată că Pământul și toate celelalte planete orbitează în jurul Soarelui în cercuri. El a mai observat că perioadele orbitale cresc odată cu distanța de la Soare. Analiza ulterioară a lui Kepler a arătat că aceste orbite sunt de fapt elipse, dar orbitele majorității planetelor din sistemul solar sunt aproape circulare. Distanța orbitală a Pământului față de Soare variază cu doar 2%. Excepție este orbita excentrică a lui Mercur, a cărei distanță orbitală variază cu aproape 40%.
Determinarea vitezei orbitale și a perioadei orbitale a unui satelit este mult mai ușoară pentru orbitele circulare, așa că facem această ipoteză în continuare. După cum am descris în secțiunea anterioară, un obiect cu energie totală negativă este legat gravitațional și, prin urmare, se află pe orbită. Calculul nostru pentru cazul special al orbitelor circulare va confirma acest lucru. Ne concentrăm asupra obiectelor care orbitează Pământul, dar rezultatele noastre pot fi generalizate pentru alte cazuri.
Considerăm un satelit de masa m pe o orbită circulară în jurul Pământului la distanța r de centrul Pământului (Figura 13.12). Are accelerație centripetă îndreptată spre centrul Pământului. Gravitația Pământului este singura forță care acționează, așa că a doua lege a lui Newton dă
GmME/r2 = mac = mv2orbit/r.
Figura 13.12 Un satelit de masă m care orbitează pe raza r de la centrul Pământului. Forța gravitațională furnizează accelerația centripetă.
Rezolvăm viteza orbitei, observând că m se anulează, pentru a obține viteza orbitală
| (13.7) vorbit = √(GME/r.) |
În concordanță cu ceea ce am văzut în ecuația 13.2 și în ecuația 13.6, m nu apare în ecuația 13.7. Valoarea lui g, viteza de evacuare și viteza orbitală depind numai de distanța de la centrul planetei și nu de masa obiectului asupra căruia se acționează. Observați asemănarea în ecuații pentru vorbit și velib. Viteza de eliberare este exact de √2 ori mai mare, aproximativ 40%, decât viteza orbitală. Această comparație a fost notă în Exemplul 13.7 și este adevărată pentru un satelit de pe orice rază.
Pentru a afla perioada unei orbite circulare, observăm că satelitul parcurge circumferința orbitei 2πr într-o perioadă T. Folosind definiția vitezei, avem vorbit = 2πr/T. Înlocuim acest lucru în ecuația 13.7 și rearanjam pentru a obține
| (13.8) T = 2π√(r3/GME) |
Vedem în secțiunea următoare că aceasta este a treia lege a lui Kepler pentru cazul orbitelor circulare. De asemenea, confirmă observația lui Copernic că perioada unei planete crește odată cu creșterea distanței de la Soare. Trebuie doar să înlocuim ME cu MSoare în ecuația 13.8.
Încheiem această secțiune revenind la discuția noastră anterioară despre astronauții pe orbită care se îngrijește prin a fi lipsiți de greutate, de parcă ar fi căzut liber spre Pământ. De fapt, sunt în cădere liberă. Luați în considerare traiectoriile prezentate în Figura 13.13. (Această figură se bazează pe un desen al lui Newton din Principia și a apărut și mai devreme în Mișcarea în două și trei dimensiuni.) Toate traiectoriile arătate care au lovit suprafața Pământului au o viteză mai mică decât cea orbitală. Astronauții ar accelera spre Pământul de-a lungul căilor necirculare și nu ar simți greutatea. (Astronauții se antrenează de fapt pentru viață pe orbită zburând în avioane care cad liber timp de 30 de secunde la un moment dat.) Dar, cu viteza orbitală corectă, suprafața Pământului se curbează departe de ei exact cu aceeași rată cu care cad spre Pământ. Desigur, menținerea la aceeași distanță de suprafață este punctul unei orbite circulare.
Figura 13.13 O orbită circulară este rezultatul alegerii unei viteze tangențiale astfel încât suprafața Pământului să se rotească cu aceeași viteză cu care obiectul cade spre Pământ.
Putem rezuma discuția noastră despre sateliții care orbitează în următoarea strategie de rezolvare a problemelor.
| STRATEGIA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
Orbite și conservarea energiei 1. Stabiliți dacă ecuațiile pentru viteză, energie sau perioadă sunt valabile pentru problema în cauză. Dacă nu, începeți cu primele principii pe care le-am folosit pentru a deriva acele ecuații. 2. Pentru a începe de la primele principii, desenați o diagramă cu corp liber și aplicați legea gravitației lui Newton și a doua lege a lui Newton. 3. Împreună cu definițiile pentru viteză și energie, aplicați a doua lege a mișcării a lui Newton corpurilor de interes. |
| EXEMPLUL 13.9
Stația Spațială Internațională Determinați viteza orbitală și perioada pentru Stația Spațială Internațională (ISS). Strategie Deoarece ISS orbitează la 4,00 × 102 km deasupra suprafeței Pământului, raza la care orbitează este RE + 4,00 × 102 km. Folosim ecuația 13.7 și ecuația 13.8 pentru a găsi viteza orbitală și respectiv perioada. Soluție Folosind ecuația 13.7, viteza orbitală este Vorbit = √(GME/r) = √(6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2 (5,96 × 1024 kg)(6,36 × 106 + 4,00 × 105 m)) = 7,67 × 103 m/s care este de aproximativ 17.000 mph. Folosind ecuația 13.8, perioada este T = 2πr√(r3/GME) = 2π √((6,37 × 106 + 4,00 × 105 m)3/((6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2)(5,96 × 1024 kg)) = 5,55 × 103 s care este puțin peste 90 de minute. Semnificație ISS este considerată a fi pe orbita joasă a Pământului (LEO). Aproape toți sateliții sunt în LEO, inclusiv majoritatea sateliților meteo. Sateliții GPS, la aproximativ 20.000 km, sunt considerați pe orbita medie a Pământului. Cu cât orbita este mai înaltă, cu atât este nevoie de mai multă energie pentru a-l pune acolo și de mai multă energie pentru a ajunge la ea pentru reparații. De un interes deosebit sunt sateliții pe orbită geosincronă. Toate antenele de satelit fixe de pe sol îndreptate spre cer, cum ar fi antene de recepție TV, sunt îndreptate către sateliți geosincroni. Acești sateliți sunt plasați la distanța exactă și chiar deasupra ecuatorului, astfel încât perioada lor de orbită să fie de 1 zi. Ei rămân într-o poziție fixă față de suprafața Pământului. |
| EXERCIȚIUL 13.6
Cu ce factor trebuie să se schimbe raza pentru a reduce viteza orbitală a unui satelit la jumătate? Cu ce factor ar schimba acest lucru perioada? |
| EXEMPLUL 13.10
Determinarea masei Pământului Determinați masa Pământului din orbita Lunii. Strategie Folosim ecuația 13.8, rezolvăm pentru ME și înlocuim perioada și raza orbitei. Raza și perioada orbitei Lunii au fost măsurate cu o precizie rezonabilă cu mii de ani în urmă. Din datele astronomice din Anexa D, perioada Lunii este de 27,3 zile = 2,36 × 106 s, iar distanța medie dintre centrele Pământului și Lunii este de 384.000 km. Soluție Rezolvând pentru ME, T = 2π√(r3/GME) ME = 4π2r3/GT2 = 4π2(3,84 × 108 m)3/((6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2)(2,36 × 106 s)2) = 6,01 × 1024 kg. Semnificație Comparați aceasta cu valoarea de 5,96 × 1024 kg pe care am obținut-o în Exemplul 13.5, folosind valoarea lui g la suprafața Pământului. Deși aceste valori sunt foarte apropiate (~ 0,8%), ambele calcule folosesc valori medii. Valoarea lui g variază de la ecuator la poli cu aproximativ 0,5%. Însă Luna are o orbită eliptică în care valoarea lui r variază cu puțin peste 10%. (Mărimea aparentă a Lunii pline variază de fapt cu aproximativ această sumă, dar este dificil de observat printr-o observație obișnuită, deoarece timpul de la o extremă la alta este de multe luni.) |
| EXERCIȚIUL 13.7
Există o altă considerație la acest ultim calcul al ME. Am derivat ecuația 13.8 presupunând că satelitul orbitează în jurul centrului corpului astronomic la aceeași rază folosită în expresia forței gravitaționale dintre ei. Ce presupunere se face pentru a justifica acest lucru? Pământul este de aproximativ 81 de ori mai masiv decât Luna. Orbitează Luna în jurul centrului exact al Pământului? |
| EXEMPLUL 13.11
Să revedem exemplul 13.2. Să presupunem că atât Calea Lactee cât și galaxiile Andromeda se află pe o orbită circulară una în jurul celeilalte. Care ar fi viteza fiecăruia și cât de lungă ar fi perioada lor orbitală? Să presupunem că masa fiecăreia este de 800 de miliarde de mase solare și centrele lor sunt separate de 2,5 milioane de ani lumină. Strategie Nu putem folosi ecuația 13.7 și ecuația 13.8 direct, deoarece au fost derivate presupunând că obiectul de masă m orbita în jurul centrului unei planete mult mai mare de masă M. Am determinat forța gravitațională în Exemplul 13.2 folosind legea gravitației universale a lui Newton. Putem folosi cea de-a doua lege a lui Newton, aplicată accelerației centripete a oricărei galaxii, pentru a determina viteza lor tangențială. Din acest rezultat putem determina perioada orbitei. Soluție În Exemplul 13.2, am constatat că forța dintre galaxii este F12 = G m1m2/r2 = (6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2) [(800 × 109)(2,0 × 1030 kg)]2/[(2,5 × 106)(9,5 × 1015 m)]2 = 3,0 × 1029 N și că accelerația fiecărei galaxii este a = F/m = 3,0 × 1029 N/((800 × 109)(2,0 × 1030 kg)) = 1,9 × 10−13 m/s2. Deoarece galaxiile sunt pe o orbită circulară, ele au accelerație centripetă. Dacă ignorăm efectul altor galaxii, atunci, așa cum am aflat în Impulsul și coliziunile liniare și rotația cu axă fixă, centrele de masă ale celor două galaxii rămân fixe. Prin urmare, galaxiile trebuie să orbiteze în jurul acestui centru comun de masă. Pentru mase egale, centrul de masă este exact la jumătatea distanței dintre ele. Deci, raza orbitei, rorbit, nu este aceeași cu distanța dintre galaxii, ci jumătate din această valoare, sau 1,25 milioane de ani lumină. Aceste două valori diferite sunt prezentate în Figura 13.14.
Figura 13.14 Distanța dintre două galaxii, care determină forța gravitațională dintre ele, este r și este diferită de rorbit, care este raza orbitei pentru fiecare. Pentru mase egale, rorbit = r/2. (Credit: modificarea lucrării lui Marc Van Norden) Folosind expresia pentru accelerația centripetă, avem ac = v2orbit/rorbit 1.9 × 10−13 m/s2 = v2orbit/((1.25 × 106)(9.5 × 1015 m)). Rezolvând viteza orbitei, avem vorbit = 47 km/s. În cele din urmă, putem determina perioada orbitei direct din T = 2πr/vorbit, pentru a afla că perioada este T = 1,6 × 1018 s, aproximativ 50 de miliarde de ani. Semnificație Viteza orbitală de 47 km/s poate părea mare la început. Dar această viteză este comparabilă cu viteza de eliberare de la Soare, pe care am calculat-o într-un exemplu anterior. Pentru a oferi și mai multă perspectivă, această perioadă este de aproape patru ori mai mare decât timpul în care a existat Universul. De fapt, mișcarea relativă actuală a acestor două galaxii este de așa natură încât se așteaptă să se ciocnească în aproximativ 4 miliarde de ani. Deși densitatea stelelor din fiecare galaxie face improbabilă o coliziune directă a oricăror două stele, o astfel de coliziune va avea un efect dramatic asupra formei galaxiilor. Exemple de astfel de coliziuni sunt bine cunoscute în astronomie. |
| EXERCIȚIUL 13.8
Galaxiile nu sunt obiecte individuale. Cum se compară forța gravitațională a unei galaxii asupra stelelor „mai apropiate” ale celeilalte galaxii cu cele mai îndepărtate? Ce efect ar avea acest lucru asupra formei galaxiilor în sine? |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
De la Big Bang la singularități și găuri negre
O călătorie fascinantă în universul fizicii și cosmologiei.
Teoria specială a relativității
Conceptele fundamentale ale relativității, de la postulatele de bază până la aplicațiile lor practice și implicațiile filozofice.
Teoria relativității – Relativitatea specială și relativitatea generală
O lucrare fundamentală, destinată tuturor celor pasionați de fizică, știință și filosofia universului.
Lasă un răspuns