Energia potențială gravitațională departe de Pământ

Am definit lucrul mecanic și energia potențială în Lucrul mecanic și energia cinetică și Energia potențială și conservarea energiei. Utilitatea acestor definiții este ușurința cu care putem rezolva multe probleme folosind conservarea energiei. Energia potențială este deosebit de utilă pentru forțele care se modifică în funcție de poziție, așa cum o face forța gravitațională pe distanțe mari. În Energia potențială și conservarea energiei, am arătat că modificarea energiei potențiale gravitaționale lângă suprafața Pământului este ΔU = mg(y₂ − y₁). Acest lucru funcționează foarte bine dacă g nu se schimbă semnificativ între y₁ și y₂. Ne întoarcem la definiția lucrului mecanic și a energiei potențiale pentru a obține o expresie corectă pe distanțe mai mari.

Amintiți-vă că lucrul mecanic (W) este integrala produsului scalar dintre forță și distanță. În esență, este produsul componentei unei forțe de-a lungul unei deplasări înmulțite cu această deplasare. Definim ΔU ca fiind negativul lucrului mecanic efectuat de forța pe care o asociem cu energia potențială. Pentru claritate, obținem o expresie pentru deplasarea unei mase m de la distanța r₁ de la centrul Pământului la distanța r₂. Cu toate acestea, rezultatul poate fi generalizat cu ușurință la oricare două obiecte schimbându-și separarea de la o valoare la alta.

Luați în considerare Figura 13.11, în care luăm m de la o distanță r₁ de centrul Pământului la o distanță care este r₂ de centru. Gravitația este o forță conservatoare (mărimea și direcția ei sunt doar funcții de locație), așa că putem lua orice cale dorim, iar rezultatul calculului lucrului mecanic este același. Luăm calea arătată, deoarece simplifică foarte mult integrarea. Mai întâi ne deplasăm radial spre exterior de la distanța r₁ la distanța r₂ și apoi ne deplasăm de-a lungul arcului de cerc până ajungem în poziția finală. În timpul porțiunii radiale, F⃗ este opusă direcției pe care o parcurgem de-a lungul dr⃗ , deci E = K₁ + U₁ = K₂ + U₂. De-a lungul arcului, F⃗ este perpendicular pe dr⃗ , deci F⃗⋅dr⃗ = 0. Nu se efectuează lucru mecanic în timp ce ne deplasăm de-a lungul arcului. Folosind expresia forței gravitaționale și notând valorile pentru F⃗⋅dr⃗ de-a lungul celor două segmente ale drumului nostru, avem

ΔU = −∫^r2_r1F⃗⋅dr⃗ = GM_Em∫^r2_r1dr/r² = GM_Em(1/r₁ – 1/r₂).

Deoarece ΔU = U₂ − U₁, putem adopta o expresie simplă pentru U:

(13.4)   U = −GM_Em/r.

Figura 13.11 Integrala lucrului mecanic, care determină modificarea energiei potențiale, poate fi evaluată de-a lungul căii afișate cu roșu.

Rețineți două elemente importante cu această definiție. Mai întâi, U→0 când r→∞. Energia potențială este zero atunci când cele două mase sunt infinit depărtate. Doar diferența în U este importantă, deci alegerea lui U = 0 pentru r=∞ este doar una de confort. (Amintiți-vă că în problemele gravitaționale anterioare, erați liber să luați U = 0 în partea de sus sau de jos a unei clădiri sau oriunde.) În al doilea rând, rețineți că U devine din ce în ce mai negativ pe măsură ce masele se apropie. Acest lucru este în concordanță cu ceea ce ați învățat despre energia potențială în Energia potențială și conservarea energiei. Pe măsură ce cele două mase sunt separate, trebuie efectuat un lucru mecanic pozitiv împotriva forței gravitaționale și, prin urmare, U crește (devine mai puțin negativ). Toate masele cad împreună în mod natural sub influența gravitației, căzând de la o energie potențială mai mare la una mai mică.

EXEMPLUL 13.6 Ridicarea unei sarcini utile Câtă energie este necesară pentru a ridica vehiculul Soyuz de 9000 kg de la suprafața Pământului până la înălțimea ISS, la 400 km deasupra suprafeței? Strategie Utilizați ecuația 13.2 pentru a găsi modificarea energiei potențiale a sarcinii utile. Acea cantitate de lucru mecanic sau energie trebuie furnizată pentru a ridica sarcina utilă. Soluție Acordând atenție faptului că începem de la suprafața Pământului și terminăm la 400 km deasupra suprafeței, schimbarea în U este ΔU = Uorbit – Uearth = −GMEm/(RE + 400km) − (−GMEm/RE). Introducem valorile m = 9000kg, ME = 5,96×1024 kg, RE = 6,37×106 m și transformăm 400 km în 4,00×105 m. Găsim ΔU = 3,32×1010 J. Este pozitiv, indicând o creștere a energiei potențiale, așa cum ne-am aștepta. Semnificație Pentru perspectivă, luați în considerare faptul că consumul mediu de energie în uzul casnic din SUA în 2013 a fost de 909 kWh pe lună. Aceasta este energia de 909 kWh × 1000 W/kW × 3600 s/h = 3,27 × 109 J pe lună. Deci rezultatul nostru este o cheltuială de energie echivalentă cu 10 luni. Dar aceasta este doar energia necesară pentru a ridica sarcina utilă cu 400 km. Dacă vrem ca Soyuz să fie pe orbită, astfel încât să se poată întâlni cu ISS și nu doar să cadă înapoi pe Pământ, are nevoie de multă energie cinetică. După cum vedem în secțiunea următoare, acea energie cinetică este de aproximativ cinci ori mai mare decât a ΔU. În plus, se consumă mult mai multă energie ridicând sistemul de propulsie în sine. Călătoria în spațiu nu este ieftină.

 

EXERCIȚIUL 13.3 De ce să nu folosiți expresia mai simplă ΔU = mg(y2 − y1)? Cât de semnificativă ar fi eroarea? (Reamintim rezultatul anterior, din exemplul 13.4, că valoarea lui g la 400 km deasupra Pământului este de 8,67 m/s2.)

 

Răspuns: Valoarea lui g scade cu aproximativ 10% peste această modificare a înălțimii. Deci ΔU = mg(y₂ − y₁) va da o valoare prea mare. Dacă folosim g = 9,80 m/s, atunci obținem ΔU = mg(y₂ − y₁) = 3,53×10¹⁰ J care este cu aproximativ 6% mai mare decât cea găsită cu metoda corectă.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1