(Euclid)
Ce putem cere de la matematician și cum putem să îl judecăm corect? Aceste întrebări trebuie discutate în continuare. Omul care a avut o educație generală, spune Aristotel, poate să-și exercite judecata critică în orice domeniu, dar cel care a fost instruit în matematică este un critic adecvat al corectitudinii raționamentelor matematice. Probabil că a dobândit anumite standarde de judecată. În primul rând, ar trebui să știe când poate face demonstrații generale și când trebuie să se uite la proprietățile speciei. Deseori, lucrurile care diferă în specii au proprietăți identice; de exemplu, toate triunghiurile au suma unghiurilor lor egale cu două unghiuri drepte. Dar există multe lucruri care au același nume, dar al căror caracter comun diferă în diferite specii; de exemplu, similitudinea în cifre și în numere. Prin urmare, nu ar trebui să cerem matematicienului o singură demonstrație în astfel de cazuri, deoarece principiile cifrelor și numerelor nu sunt aceleași, ci variază în funcție de genurile care stau la baza acestora. Atunci când, totuși, proprietatea esențială este una, demonstrația ar trebui să fie una. Proprietatea de a avea unghiuri egale cu două unghiuri drepte este comună pentru toate speciile de triunghiuri și cea în care această proprietate este inerentă este aceeași în toate, adică triunghiul și definiția sa.
În mod similar, proprietatea de a avea unghiuri exterioare egale, în sumă, cu patru unghiuri drepte, aparține nu numai triunghiurilor, ci tuturor figurilor rectilinii; de aceea, demonstrația se potrivește tuturor ca rectilinii. Fiecare definiție aduce invariabil cu ea o proprietate și un caracter specific în care participă toate lucrurile care se încadrează în definiție – ca de exemplu definiția triunghiului sau a figurii rectilinii sau a figurii în general.
În al doilea rând, trebuie să ne întrebăm dacă demonstrația matematicianului corespunde naturii obiectului său, adică dacă a dat motivele necesare și incontestabile, și nu argumente care sunt doar convingătoare și pline de probabilități. Este la fel de greșit, spune Aristotel, să se solicite o demonstrație de la un retorician și să se accepte raționamentul persuasiv de la un matematician. Orice om care își cunoaște știința sau arta trebuie să-și facă argumentele potrivite lucrurilor cu care se ocupă. Deci, Platon în Timaeus cere în mod justificat un raționament probabil de la elevul naturii, deoarece lucrează la un subiect care nu este precis, și argumente incontestabile și neclintibile de la unul care discută despre inteligibil și despre existența stabilă. Diferențe în subiecte produc diferențe în științele și artele care se ocupă de ele. Astfel, unele lucruri sunt neschimbate, altele se schimbă; unele mai simple, altele mai compuse; unele inteligibile, altele sensibile. Chiar și în matematică nu putem solicita același grad de acuratețe în toate părțile. Dacă o parte se aplică celor sensibile și alta este o investigație a chestiunilor inteligibile, ele nu vor fi la fel de precise, ci ultima mai mult decât prima. De aceea aritmetica, spunem noi, este mai exactă decât armonicile. În general, nu ar trebui să cerem ca matematica și celelalte științe să utilizeze aceleași demonstrații. Diferențele dintre subiectele abordate nu sunt neglijabile.
În al treilea rând, afirmăm că cel care trebuie să judece corect argumentele matematice trebuie să fi studiat și natura asemănării și alterității, predicarea esențială și accidentală, proporția și toate aceste aspecte. Pentru că despre asta este vorba că aproape orice greșeală este făcută de cei care presupun că dau o dovadă matematică atunci când nu o fac într-adevăr, așa cum atunci când demonstrează presupunând că același lucru este diferit pentru fiecare specie a subiectului sau diferența ar fi aceeași, sau când iau un atribut accidental esențial sau esențialul ca accidental, afirmând, de exemplu, că cercul este mai frumos decât linia dreaptă sau triunghiul echilateral decât isoccelele; pentru că astfel de distincții nu sunt treaba matematicianului.
În al patrulea rând, din moment ce matematica ocupă o poziție de mijloc între lumile inteligibile și cele sensibile și expune în ea însăși multe asemănări ale lucrurilor divine și multe paradigme ale relațiilor fizice, trebuie să observăm caracterul tridimensional al demonstrațiilor sale, unele fiind mai intuitive, unele mai discursive, iar altele se apropie de natura opiniei. Probele trebuie să difere în funcție de problemele abordate și să fie diferențiate în funcție de tipul de a fi în cauză, deoarece matematica este o textura a tuturor acestor componente și își adaptează discursul la întreaga gamă de lucruri.
Lasă un răspuns