Protocolul de teleportare cuantică

Modul de a rezolva problema imposibilității de a măsura qubitul (și de a evita colapsarea stării necunoscute într-o stare de bază) este de a „scana” qubitul indirect cu ajutorul particulelor inseparate. Această bandă desenată[1] ilustrează ideea de bază. Protocolul este următorul:

1. Alice și Bob se întâlnesc și creează fiecare câte un qubit (pe care îl vom numi qubitul #2 și #3). În acest moment, cei doi qubiți sunt complet independenți și ne putem gândi la qubiți ca la două bile diferite care nu conțin nicio informație despre cealaltă. Apoi, Alice și Bob decid să-și insepare qubiții provocând o interacțiune între qubiți, de exemplu prin aplicarea unei porți CNOT. Gândiți-vă la inseparabilitate ca la Alice care scrie niște informații pe bila lui Bob pe care numai ea știe să le citească, iar Bob scrie informații pe bila lui Alice pe care numai el știe să le citească. Pentru ca Bob să citească informațiile lui Alice pe bila sa, Alice trebuie să-i trimită un mesaj (clasic) care descrie cum să le înțeleagă și invers. Nu își spun încă cum să citească informațiile. O posibilă stare inseparată (numită starea Bell) pe care decid să o creeze este

1/√2 |00⟩ + 1/√2 |11⟩.   (8.1)

Alice își ia qubitul și pleacă, iar Bob îl ia pe al său și merge într-o direcție diferită, așa cum se arată în Fig. 8.1.

Fig. 8.1 Qubiții lui Alice și Bob sunt inseparați

2. Acum Alice obține un al treilea qubit într-o stare necunoscută (qubitul #1) pe care dorește să i-l transfere lui Bob. Poate comunica cu el doar în mod clasic prin e-mail sau telefon și ar dura prea mult să aducă fizic qubitul lui Bob. Situația actuală este prezentată în Fig. 8.2.

Fig. 8.2 Alice are un qubit (#1) într-o stare necunoscută pe care dorește să i-l transfere lui Bob

3. Alice interacționează cu cei doi qubiti ai săi folosind o poartă CNOT (qubitii #1 și #2) și măsoară qubitul pe care îl avea inițial (qubitul #2). Apoi trimite qubitul necunoscut pentru a fi teleportat (qubitul #1) printr-o poartă Hadamard și ulterior măsoară ieșirea. Reamintim că poarta Hadamard este utilizată pentru a crea o suprapunere de stări. Situația actuală este prezentată în Fig. 8.3.

Fig. 8.3 Alice își trece cei doi qubiți printr-o poartă CNOT

Deoarece qubitul original al lui Alice (qubitul #2) a fost inseparat cu cel al lui Bob, interacțiunea CNOT cu qubitul #1 schimbă imediat starea qubitului lui Bob.

Pentru a înțelege teleportarea cuantică, ar putea fi mai util să vedem descrierea matematică a acestui protocol cu trei qubiți. Qubitul #1 este qubitul care urmează să fie teleportat, iar qubitul #2 și #3 sunt perechea inseparată partajată de Alice și Bob. În notația ket, starea cu trei qubiți este scrisă în ordinea |#1 #2 #3⟩. În plus, starea cu trei qubiți poate fi scrisă în notația ket în moduri diferite, atâta timp cât ordinea qubiților este menținută neschimbată. De exemplu, dacă qubitul #1 = |0⟩, qubitul #2 = |1⟩ și qubitul #3 = |1⟩, acestea pot fi scrise ca |0⟩|1⟩|1⟩ = |011⟩ = |0⟩|11⟩ = |01⟩|1⟩. Uneori este mai ușor să se împartă starea multi-qubit astfel pentru a arăta explicit dacă o poartă acționează asupra unui singur qubit.

Acum, din pașii (1) și (2), avem qubiții lui Alice și Bob în starea Bell 1/√2 (|00⟩ + |11⟩). Qubitul #1 se află într-o stare necunoscută a|0⟩ + b|1⟩. La începutul pasului (3), cei trei qubiți trebuie scriși împreună în notație ket prin înmulțirea qubitului care urmează să fie teleportat cu starea Bell inseparată. Produsul este:

[a|0⟩ + b|1⟩] (1/√2 |00⟩ + 1/√2 |11⟩) = 1/√2 (a|000⟩ + a|011⟩ + b|100⟩ + b|111⟩).   (8.2)

În continuare, aplicăm o poartă CNOT folosind primul qubit din ecuația (8.2) ca și control și al doilea ca țintă. Reamintim că ținta (qubitul #2) își schimbă starea numai dacă controlul este |1⟩. După aplicarea porții CNOT, starea celor trei qubiti este

1/√2 (a|000⟩ + a|011⟩ + b|110⟩ + b|101⟩)   (8.3)

După aceasta, aplicăm o poartă Hadamard la qubitul #1 din ecuația (8.3). Reamintim că poarta Hadamard își schimbă starea |0⟩ → (1/√2)(|0⟩ + |1⟩) și |1⟩ → (1/√2)(|0⟩ – |1⟩). Starea cu trei qubiți este

(|0⟩ + |1⟩) |00⟩ + a (|0⟩ + |1⟩) |11⟩ + b (|0⟩ – |1⟩) |10⟩ + b (|0⟩ – |1⟩) |01⟩).   (8.4)

Apoi, distribuiți produsul qubiților în ecuația (8.4) pentru a găsi

1/2 (a|000⟩ + a|100⟩ + a|011⟩ + a|111⟩ + b|010⟩ − b|110⟩ + b|001⟩ − b|101⟩).   (8.5)

În final, combinați termenii similari ai ecuației (8.5) pe baza primilor doi qubiți pentru a obține

1/2 (|00⟩ (a|0⟩ + b|1⟩) + |10⟩ (a|0⟩ – b|1⟩) + |01⟩ (a|1⟩ + b|0⟩) + |11⟩ (a|1⟩ – b|0⟩).    (8.6)

Rețineți că qubitul #1 și qubitul #2 sunt cele care aparțin lui Alice. Vedem că starea qubitului #3 al lui Bob s-a modificat prin aplicarea porților CNOT și Hadamard la qubitii lui Alice. După cum se poate observa în Ec. (8.6), qubitul lui Bob se află în prezent într-una dintre cele patru stări de superpoziție posibile. Acest lucru este prezentat în Fig. 8.4.

Fig. 8.4 Patru stări de superpoziție posibile ale qubitului lui Bob

Cele patru stări de superpoziție posibile ale qubitului lui Bob depind de qubitul #2 original al lui Alice prin inseparabilitatea inițială din Pasul 1, precum și dependente de qubitul #1 necunoscut care va fi teleportat de la poarta CNOT în Pasul 3. Motivul pentru care trebuie să măsurăm starea qubitului #2 și a qubitului #1 al lui Alice este de a afla modul în care qubitul lui Bob depinde de acestea două. Starea actuală este prezentată în Fig. 8.4. Rețineți că Bob nu a făcut nimic cu qubitul său în această etapă.

4. Alice trimite acum cele două informații clasice din măsurători către Bob prin e-mail sau telefon. Conform Ec. (8.6), măsurătorile ei pot fi 00, 10, 01 sau 11, fiecare cu o probabilitate de 25%.

În funcție de măsurarea obținută de Alice, Bob poate recupera starea inițială a qubitului teleportat (adică a|0⟩ + b|1⟩) utilizând o combinație de porți X sau Z. Combinația specifică de porți X/Z care va fi utilizată va fi explorată ca o întrebare ulterior. Această situație este ilustrată în Fig. 8.5. În această etapă, qubitul a fost teleportat cu succes de la Alice la Bob, și astfel se încheie protocolul de teleportare.

Fig. 8.5 Rezultatul final al teleportării dintre Bob și Alice

Pe parcursul procesului de teleportare, qubitul original #1 care trebuie teleportat nu rămâne în starea sa cuantică inițială: a|0⟩ + b|1⟩. Acest lucru se datorează faptului că Alice efectuează o măsurare asupra acestuia în timpul protocolului de teleportare. Prin urmare, nu există nicio copie a qubitului #1 la niciun moment, așadar teleportarea nu contrazice teorema non-clonării. Este important să înțelegem că nici Alice, nici Bob nu știu care sunt coeficienții a sau b ai qubitului #1 în niciun moment al procesului. Tot ce știu este că qubitul #1 a fost teleportat de la Alice la Bob. Circuitul complet de teleportare cuantică este ilustrat în Fig. 8.6.

Fig. 8.6 Circuitul cuantic complet pentru teleportarea cuantică. Caseta punctată insepară qubiții lui Alice și Bob pentru a forma starea Bell. Ulterior, se efectuează protocolul de teleportare cuantică descris în text.

De ce este interesant acest protocol? Pentru a răspunde la această întrebare, imaginați-vă că Alice și Bob s-au întâlnit cu mult timp în urmă și fiecare a luat câte un qubit din perechea inseparată. Bob călătorește acum în jurul lumii și poate comunica cu Alice doar prin telefon sau e-mail. Dacă Alice ar dori să transfere date cuantice către Bob fără teleportare cuantică, ar trebui să se întâlnească cu Bob și să-i dea fizic lui Bob qubitul ei. Teleportarea cuantică permite lui Alice să trimită informații cuantice folosind un canal de comunicații clasic. Tot ce trebuie să facă este să facă niște măsurători și să-i trimită lui Bob valorile prin e-mail. Bob poate apoi aplica rețeta corectă pe qubitul său pentru a-l aduce la starea qubitului original #1. Pe lângă trimiterea de informații între două persoane, teleportarea cuantică este o modalitate utilă de a provoca interacțiunea între diferite părți ale unui computer cuantic (prin teleportarea unui qubit către o altă parte a computerului cuantic cu care doriți să interacționați)[2].

Note

[1] https://www.jpl.nasa.gov/news/news.php?feature=4384

[2] Laboratorul Național Fermi al Acceleratorului construiește un experiment de teleportare cuantică care se va extinde pe distanțe mari, contribuind la dezvoltarea unui viitor internet cuantic, de exemplu, https://qis.fnal.gov/quantum-teleportation-experiment/.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu