Semnificația fizică a numerelor cuantice

Fiecare dintre cele trei numere cuantice ale atomului de hidrogen (n, l, m) este asociat cu o mărime fizică diferită. Numărul cuantic principal n este asociat cu energia totală a electronului, E_n. Conform ecuației lui Schrödinger:

(8.3) E_n = −(m_ek²e⁴/2ħ²)(1/n²) = −E₀(1/n²),

unde E₀ = −13,6 eV. Observați că această expresie este identică cu cea a modelului lui Bohr. Ca și în modelul Bohr, electronul într-o anumită stare de energie nu radiază.

EXEMPLUL 8.1

Câte stări sunt posibile?

Pentru atomul de hidrogen, câte stări cuantice posibile corespund numărului principal n = 3? Care sunt energiile acestor stări?

Strategie

Pentru un atom de hidrogen cu o anumită energie, numărul de stări permise depinde de momentul său unghiular orbital. Putem număra aceste stări pentru fiecare valoare a numărului cuantic principal, n = 1, 2, 3. Cu toate acestea, energia totală depinde doar de numărul cuantic principal, ceea ce înseamnă că putem folosi ecuația 8.3 și numărul de stări numărate.

Soluție

Dacă n = 3, valorile permise ale lui l sunt 0, 1 și 2. Dacă l = 0, m = 0 (1 stare). Dacă l = 1, m = −1, 0, +1 (3 stări); iar dacă l = 2, m = −2, −1, 0, +1, +2 (5 stări). În total, există 1 + 3 + 5 = 9 stări permise. Deoarece energia totală depinde numai de numărul cuantic principal, n = 3, energia fiecăreia dintre aceste stări este

En3 = −E₀(1/n²) = −13,6 eV/9 = −1,51 eV.

Semnificație

Un electron dintr-un atom de hidrogen poate ocupa multe stări diferite de moment unghiular cu aceeași energie. Pe măsură ce momentul unghiular orbital crește, numărul stărilor permise cu aceeași energie crește.

Numărul cuantic momentul unghiular orbital l este asociat cu momentul unghiular orbital al electronului dintr-un atom de hidrogen. Teoria cuantică ne spune că atunci când atomul de hidrogen este în starea ψ_nlm, mărimea momentului său unghiular orbital este

(8.4) L = √(l(l+1)) ℏ,

unde

l = 0, 1, 2, …, (n−1).

Acest rezultat este ușor diferit de cel găsit în teoria lui Bohr, care cuantifică momentul unghiular conform regulii Lℏ = n, unde n = 1, 2, 3, ….

Stările cuantice cu valori diferite ale momentului unghiular orbital sunt distinse folosind notația spectroscopică (Tabelul 8.2). Denumirile s, p, d și f rezultă din încercările istorice timpurii de a clasifica liniile spectrale atomice. (Literele reprezintă primele litere din cuvintele din limba engleză pentru ascuțit, principal, difuz și, respectiv, fundamental.) După f, literele continuă alfabetic.

Starea fundamentală a hidrogenului este desemnată ca starea 1s, unde „1” indică nivelul de energie (n = 1) și „s” indică starea momentului unghiular orbital (l = 0). Când n = 2, l poate fi fie 0, fie 1. Starea n = 2, l = 0 este desemnată „2s”. Starea n = 2, l = 1 este desemnată „2p”. Când n = 3, l poate fi 0, 1 sau 2, iar stările sunt 3s, 3p și, respectiv, 3d. Notarea pentru alte stări cuantice este dată în Tabelul 8.3.

Numărul cuantic proiecția momentului unghiular m este asociat cu unghiul azimutal ϕ (vezi Figura 8.3) și este legat de componenta z a momentului unghiular orbital al unui electron dintr-un atom de hidrogen. Această componentă este dată de

(8.5) L_z = mℏ,

unde

m = −l, −l+1, …, 0, …, +l−1, l.

Componenta z a momentului unghiular este legată de mărimea momentului unghiular prin

(8.6 ) L_z = Lcosθ,

unde θ este unghiul dintre vectorul moment unghiular și axa z. Rețineți că direcția axei z este determinată de experiment – adică de-a lungul oricărei direcții, experimentatorul decide să măsoare momentul unghiular. De exemplu, direcția z ar putea corespunde direcției unui câmp magnetic extern. Relația dintre L_z și L este dată în Figura 8.4.

Figura 8.4 Componenta z a momentului unghiular este cuantificată cu propriul său număr cuantic m.

Număr cuantic orbital l		Moment unghiular		Stare		Nume spectroscopic
0	0		s		sharp
1	√2 h		p		principal
2	√6 h		d		diffuse
3	√12 h		f		fundamental
4	√20 h		g
5	√30 h		h

Tabelul 8.2 Notația spectroscopică și momentul unghiular orbital

	l=0	l=1	l=2	l=3	l=4	l=5
n=1	1s
n=2	2s	2p
n=3	3s	3p	3d
n=4	4s	4p	4d	4f
n=5	5s	5p	5d	5f	5g
n=6	6s	6p	6d	6f	6g	6h

Tabelul 8.3 Descrierea spectroscopică a stărilor cuantice

Cuantizarea lui L_z este echivalentă cu cuantizarea lui θ. Înlocuind √(l(l+1)) ℏ pentru L și m pentru L_z în această ecuație, găsim

(8.7) mℏ = √(l(l+1)) ℏcosθ.

Astfel, unghiul θ este cuantificat cu valorile particulare

(8.8) θ = cos⁻¹(m/√(l(l+1))).

Observați că atât unghiul polar (θ) cât și proiecția vectorului moment unghiular pe o axă z arbitrară (L_z) sunt cuantificate.

Cuantificarea unghiului polar pentru starea l = 3 este prezentată în Figura 8.5. Vectorul moment unghiular orbital se află undeva pe suprafața unui con cu un unghi de deschidere θ față de axa z (cu excepția cazului în care m = 0, caz în care θ = 90° și punctele vectoriale sunt perpendiculare pe axa z).

Figura 8.5 Cuantificarea momentului unghiular orbital. Fiecare vector se află pe suprafața unui con cu axa de-a lungul axei z.

Un studiu detaliat al momentului unghiular dezvăluie că nu putem cunoaște toate cele trei componente simultan. În secțiunea anterioară, componenta z a momentului unghiular orbital are valori definite care depind de numărul cuantic m. Acest lucru implică faptul că nu putem cunoaște cu certitudine simultan componentele x și y ale momentului unghiular, L_x și L_y. Ca urmare, direcția precisă a vectorului moment unghiular orbital este necunoscută.

EXEMPLUL 8.2

Care sunt direcțiile permise?

Calculați unghiurile pe care vectorul moment unghiular L⃗ le poate forma cu axa z pentru l = 1, așa cum se arată în Figura 8.6.

Figura 8.6 Componenta unui moment unghiular dat de-a lungul axei z (definită de direcția unui câmp magnetic) poate avea doar anumite valori. Acestea sunt prezentate aici pentru l = 1, pentru care m = −1, 0 și +1. Direcția lui L⃗ este cuantificată în sensul că poate avea doar anumite unghiuri față de axa z.

Strategie

Vectorii L⃗ și L⃗_z (în direcția z) formează un triunghi dreptunghic, unde L⃗ este ipotenuza și L⃗_z este latura adiacentă. Raportul dintre L_z și |L⃗ | este cosinusul unghiului de interes. Mărimile L = ∣L⃗∣ și L_z sunt date de

L = √(l(l+1)) ℏ și L_z = mℏ.

Soluție

Ni se dă l = 1, deci m_l poate fi +1, 0 sau -1. Astfel, L are valoarea dată de

L = √(l(l+1)) ℏ = √2 ℏ.

Mărimea L_z poate avea trei valori, date de L_z = m_lℏ.

Lz = m_lℏ =

· ℏ, m_l = +1

· 0, m_l = 0

· −ℏ, m_l = −1

După cum puteți vedea în Figura 8.6, cosθ = L_z/L, deci pentru m = +1, avem

cosθ₁ = L_Z/L = ℏ/√2ℏ = 1/√2 = 0,707.

Astfel,

θ₁ = cos⁻¹0,707 = 45,0°.

În mod similar, pentru m = 0, găsim cosθ₂ = 0; asta dă

θ₂ = cos⁻¹0 = 90,0°.

Apoi pentru m_l = −1:

cosθ₃ = L_Z/L = −ℏ/√2ℏ = −1/√2 = −0,707,

astfel încât

θ₃ = cos⁻¹(−0,707) = 135,0°.

Semnificație

Unghiurile sunt în concordanță cu figura. Doar unghiul relativ la axa z este cuantificat. L poate îndrepta în orice direcție atâta timp cât face unghiul potrivit cu axa z. Astfel, vectorii momentului unghiular se află pe conuri, așa cum este ilustrat. Pentru a vedea cum este valabil aici principiul corespondenței, luați în considerare că cel mai mic unghi (θ₁ în exemplu) este pentru valoarea maximă a m_l, și anume m_l = l. Pentru cel mai mic unghi,

cosθ = L_z/L = l/√(l(l+1)),

care se apropie de 1 pe măsură ce l devine foarte mare. Dacă cosθ = 1, atunci θ = 0º. În plus, pentru l mare, există multe valori ale m_l, astfel încât toate unghiurile devin posibile pe măsură ce l devine foarte mare.

EXERCIȚIUL 8.1

Poate mărimea lui L_z să fie vreodată egală cu L?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS