Teoria mulțimilor – Mulțimi frecvent întâlnite

Există câteva mulțimi de numere care apar foarte des în matematică. Probabil ai folosit aceste mulțimi fără să știi! Ele ne pot ajuta să decidem ce tipuri de numere sunt potrivite pentru o anumită problemă. Vom acoperi cinci mulțimi în această subsecțiune, în ordinea crescătoare a dimensiunii.

Prima este mulțimea vidă ø. Acesta este o mulțime fără niciun element! În notația de listă, arată astfel:

ø = {}

Mulțimea vidă apare ori de câte ori încercăm să îndeplinim o condiție imposibilă. Este mulțimea tuturor numerelor pătrate negative, de exemplu, și este mulțimea tuturor numerelor impare care sunt divizibile cu doi. Ori de câte ori o problemă nu poate fi rezolvată, lista de soluții este mulțimea vidă.

Urmează N, mulțimea numerelor naturale. Acestea sunt cunoscute și sub numele de numere de numărare. Când aveți de-a face cu cantități de obiecte, toate cantitățile sunt numere naturale. În notația de listă N arată astfel:

N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,…}

Începem de la 0 pentru că aceasta este cantitatea cea mai mică dintr-un obiect pe care o putem avea. Punctele de suspensie sunt necesare pentru că nu există cel mai mare număr natural, putem întotdeauna să numărăm cu unul mai mare. Cu alte cuvinte, fiecare număr natural are un succesor, un număr natural care urmează. Succesorul lui 0 este 1, succesorul lui 10 este 11, succesorul lui 1000 este 1001. Nu rămânem niciodată fără numere naturale. Mulțimile care continuă pentru totdeauna se numesc mulțimi infinite.

Fiecare număr natural are un succesor, dar nu toți au predecesori, numere care vin înainte. Pentru acea proprietate trebuie să ne extindem la Z, numerele întregi. Z conține toate numerele întregi pozitive și negative. Simbolul provine de la cuvântul german Zahlen, care înseamnă număr întreg.

Z = {…- 5, -4,-3,-2,-1, 0,1,2, 3, 4,5,…}

Deci putem folosi Z în problemele în care numerele întregi sunt adecvate și N când acele numere întregi nu pot fi negative.

Dacă adunăm două numere din N, rezultatul va fi întotdeauna în N. Același lucru este valabil și pentru înmulțire. Dacă scădem, totuși, s-ar putea să obținem un numări din Z. Z este de sine stătător când vine vorba de adunare, înmulțire și scădere: dacă adunăm, scădem sau înmulțim două numere din Z, răspunsul va fi în Z.

Cu împărțirea este o altă poveste. Împărțirea lui 10 la 5 dă un răspuns încă în Z, dar împărțirea lui 10 la 3 nu mai este din Z: răspunsul este o fracție. Q este mulțimea tuturor fracțiilor de numere întregi. Ori de câte ori împărțim un număr întreg la altul, răspunsul va fi în Q. (cu excepția că nu putem împărți la 0.)

Simbolul Q vind din cuvântul în engleză quotient (coeficient), răspunsul la o problemă de împărțire. Aceste numere se numește numere raționale, de la cuvântul englez ratio (raport). Q conține numere precum 1/2, 10/3 și -19/4. De asemenea, conține toate numerele întregi, deoarece, de exemplu, 3 este același cu 3/1. Începând cu numerele din Q, putem aduna, scădea, înmulți și împărți și rămânem întotdeauna în Q.

Există încă câteva numere utile în afara lui Q, așa că mai avem un set de acoperit care le conține și pe toate celelalte. Numerele reale, R, este mulțimea care conține toate numerele de pe o linie numerică. Aceasta include toate numerele întregi și numerele raționale și, în plus, include numerele numite iraționale. Un număr irațional este unul care nu poate fi scris ca o fracțiune de numere întregi. Scrise ca zecimală, cifrele sale continuă pentru totdeauna fără a se repeta.Unele numere întâlnite frecvent care sunt reale, dar nu raționalem, includ:

π = 3,1415926536…

√2 = 1,4142135624…

e = 2,7182818285…

ø = 1,6180339888…

Nu am arătat notația de listă pentru Q și R, deoarece este imposibil să facem acest lucru în mod convenabil. Orice listă ordonată de numere raționale sau reale va avea omisiuni din cauza intermedierii: între două numere reale se află un alt număr real, iar între oricare două numere raționale este un alt număr rațional.

Din același motiv, Q și R nu au succesori: nu există nicio modalitate de a spune care număr real urmează, deoarece există întotdeauna un alt număr între ele. 5 nu este următorul număr real după 4, deoarece 4,5 se află între ele. Nici 4,5 nu este succesorul lui 4, deoarece 4,2 intervine și înainte de aceasta este 4,1 și 4,05. Nu există un număr următor după 4 în R: conceptul pur și simplu nu are sens.

Exemplu: Pentru fiecare număr, spuneți căruia dintre cele cinci mulțimi comune îi aparține.

1.    3
   2.    3,2
   3.    -4
   4.    -1,66666…
   5.    π + 5

Soluţie:

1. (a) 3 ∉ ø deoarece acea mulțime nu are elemente.
   (b) 3 ∈ N deoarece 3 este un număr întreg pozitiv.
   (c) 3 ∈ Z deoarece 3 este un număr întreg.
   (d) 3 ∈ Q deoarece 3 = 3/1
   (e) 3 ∈ R deoarece 3 este pe linia numerică.
2. (a) 3,2 ∉ ø.
   (b) 3,2 ∉ N deoarece 3,2 nu este un număr întreg.
   (c) 3,2 ∉ Z deoarece 3,2 nu este un număr întreg.
   (d) 3,2 ∈ Q deoarece 3,2 = 16/5
   (e) 3,2 ∈ R deoarece 3,2 este pe linia numerică.
3. (a) -4 ∉ ø.
   (b) -4 ∉ N deoarece -4 nu este pozitiv.
   (c) -4 ∈ Z deoarece -4 este un număr întreg.
   (d) -4 ∈ Q deoarece -4 = -4/1
   (e) -4 ∈ R deoarece -4 este pe linia numerică.
4. (a) -1,66666… ∉ ø.
   (b) -1,66666… ∉ N deoarece -1,66666… nu este un număr întreg.
   (c) -1,66666… ∉ Z deoarece -1,66666… nu este un număr întreg.
   (d) -1,66666… ∈ Q deoarece -1,66666… = -5/3
   (e) -1,66666… ∈ R deoarece -1,66666… este pe linia numerică.
5. (a) π + 5 ∉ ø.
   (b) π + 5 ∉ N deoarece π + 5 nu este pozitiv.
   (c) π + 5 ∉ Z deoarece π + 5 este un număr întreg.
   (d) π + 5 ∉ Q. Scăderea a două numere din Q produce un rezultat în Q. Deci, dacă π + 5 ar fi în Q, am putea scădea 5 pentru a obține π care ar trebui să fie apoi în Q. Dar știm π ∉ Q ! Deci π + 5 nu poate fi nici în Q.
   (e) π + 5 ∈ R deoarece π + 5 este pe linia numerică.

Sursa: Quantitative Skills & Reasoning, For MATH 1001 at The University of West Georgia, 2021. Licența CC BY-SA 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing