Viteza undelor pe o coardă tensionată și în un fluid

Viteza unei unde depinde de caracteristicile mediului. De exemplu, în cazul unei chitare, corzile vibrează pentru a produce sunetul. Viteza undelor pe corzi și lungimea de undă determină frecvența sunetului produs. Corzile unei chitare au grosimi diferite, dar pot fi realizate din material similar. Au densități liniare diferite, unde densitatea liniară este definită ca masa pe lungime,

(16.7) μ = masa corzii / lungimea corzii = m/l.

În acest capitol, luăm în considerare numai corzi cu o densitate liniară constantă. Dacă densitatea liniară este constantă, atunci masa (Δm) unei lungimi mici de coardă (Δx) este Δm = μΔx. De exemplu, dacă coarda are o lungime de 2,00 m și o masă de 0,06 kg, atunci densitatea liniară este μ = 0,06 kg / 2,00 m = 0,03 kg/m. Dacă o secțiune de 1,00 mm este tăiată din coardă, masa lungimii de 1,00 mm este Δm = μΔx = (0,03 kg/m)0,001 m = 3,00 × 10⁻⁵ kg. Chitara are și o metodă de a schimba tensiunea corzilor. Tensiunea corzilor este reglată prin rotirea fusurilor, numite chei de acordare, în jurul cărora sunt înfășurate corzile. Pentru chitară, densitatea liniară a coardei și tensiunea din coardă determină viteza undelor din coardă, iar frecvența sunetului produs este proporțională cu viteza undei.

Viteza undelor pe o coardă tensionată

Pentru a vedea cum depinde viteza unei unde pe o coardă tensionată și de densitatea liniară, luați în considerare un impuls trimis pe o coardă întinsă (Figura 16.13). Când coarda întinsă este în repaus în poziția de echilibru, tensiunea din coardă F_T este constantă. Se consideră un element mic al coardei cu o masă egală cu Δm = μΔx. Elementul de masă este în repaus și în echilibru, iar forța de tensiune a fiecărei părți a elementului de masă este egală și opusă.

Figura 16.13 Elementul de masă al unei corzi menținut încordat cu o tensiune F_T. Elementul de masă este în echilibru static, iar forța de tensiune care acționează de fiecare parte a elementului de masă este egală ca mărime și opusă ca direcție.

Dacă ciupiți o coardă tensionată, o undă transversală se mișcă în direcția x pozitivă, așa cum se arată în Figura 16.14. Elementul de masă este mic, dar este mărit în figură pentru a-l face vizibil. Elementul de masă mică oscilează perpendicular pe mișcarea undei ca urmare a forței de restabilire furnizată de coardă și nu se mișcă în direcția x. Tensiunea F_T din coardă, care acționează în direcția x pozitivă și negativă, este aproximativ constantă și este independentă de poziție și timp.

Figura 16.14 O coardă aflată sub tensiune este ciupită, determinând deplasarea pulsului de-a lungul coardei în direcția x pozitivă.

Să presupunem că înclinarea coardei deplasate față de axa orizontală este mică. Forța netă asupra elementului coardei, care acționează paralel cu coarda, este suma tensiunii din coardă și a forței de restabilire. Componentele x ale forței de tensiune se anulează, astfel încât forța netă este egală cu suma componentelor y ale forței. Mărimea componentei x a forței este egală cu forța orizontală de tensiune a corzii F_T așa cum se arată în Figura 16.14. Pentru a obține componentele y ale forței, rețineți că tanθ₁ = −F₁/F_T și tanθ₂ = F₂/F_T. tanθ este egală cu panta unei funcții într-un punct, care este egală cu derivata parțială a lui y față de x în acel punct. Prin urmare, F1/F_T este egal cu panta negativă a corzii la x₁ și F₂/F_T este egală cu panta șirului la x₂:

F1/FT = −(∂y/∂x)_x1 și F2/FT = (∂y/∂x)_x2.

Forța netă asupra elementului de masă mică poate fi scrisă ca

F_net = F₁ + F₂ = F_T[(∂y/∂x)_x2 − (∂y/∂x)_x1].

Folosind a doua lege a lui Newton, forța netă este egală cu masa înmulțită cu accelerația. Densitatea liniară a corzii, μ, este masa pe lungime a corzii, iar masa porțiunii de coardă este μΔx,

F_T[(∂y/∂x)_x2 − (∂y/∂x)_x1] = Δma,

F_T[(∂y/∂x)_x2 − (∂y/∂x)_x1] = μΔx ∂²y/∂t².

Împărțind cu F_TΔx și luând limita pe măsură ce Δx se apropie de zero,

[(∂y/∂x)_x2 − (∂y/∂x)_x1]/Δx = μ/F_T ∂²y∂t²

lim_Δx→0[(∂y/∂x)_x2 − (∂y/∂x)_x1]/Δx = μ/F_T ∂²y/∂t²

∂²y/∂x² = μ/F_T ∂²y/∂t²

Reamintim că ecuația de undă liniară este

∂²y(x,t)/∂x² = 1/v² ∂²y(x,t)/∂t².

Prin urmare,

1/v² = μ/F_T.

Rezolvând pentru v, vedem că viteza undei pe o coardă depinde de tensiune și densitatea liniară.

VITEZA UNEI UNDE PE O COARDĂ TENSIONATĂ

Viteza unui puls sau a unei unde pe o coardă tensionată poate fi găsită cu ecuația

(16.8) |v| = √F_T/μ

unde F_T este tensiunea din coardă și μ este masa pe lungime a coardei.

EXEMPLUL 16.5

Viteza undei unei coarde de chitară

La o chitară cu șase coarde, coarda E înaltă are o densitate liniară de μ_{High E} = 3,09 × 10⁻⁴ kg/m, iar coarda E joasă are o densitate liniară de μ_{Low E} = 5,78 × 10⁻³ kg/m. (a) Dacă coarda E înaltă este ciupită, producând o undă în coardă, care este viteza undei dacă tensiunea coardei este de 56,40 N? (b) Densitatea liniară a coardei E joasă este de aproximativ 20 de ori mai mare decât cea a coardei E înalt. Pentru ca undele să călătorească prin coarda E joasă cu aceeași viteză a undei cu E înaltă, ar trebui ca tensiunea să fie mai mare sau mai mică decât coarda E înaltă? Care ar fi tensiunea aproximativă? (c) Calculați tensiunea coardei E joase necesare pentru aceeași viteză a undei.

Strategie

a. Viteza undei poate fi găsită din densitatea liniară și tensiunea v = √F_T/μ.

b. Din ecuația v = √F_T/μ, dacă densitatea liniară este crescută cu un factor de aproape 20, tensiunea ar trebui să fie crescută cu un factor de 20.

c. Cunoscând viteza și densitatea liniară, ecuația vitezei poate fi rezolvată pentru forța de tensiune F_T = μv².

Soluție

a. Folosiți ecuația vitezei pentru a găsi viteza:

v = √F_T/μ = √(56,40 N/3,09 × 10⁻⁴ kg/m) = 427,23 m/s.

b. Tensiunea ar trebui crescută cu un factor de aproximativ 20. Tensiunea ar fi puțin mai mică de 1128 N.

c. Utilizați ecuația vitezei pentru a afla tensiunea reală:

F_T = μv² = 5,78 × 10⁻³ kg/m (427,23 m/s)² = 1055,00 N.

Această soluție este în limita de 7% din aproximare.

Semnificație

Notele standard ale celor șase coarde (E înalt, B, G, D, A, E jos) sunt reglate pentru a vibra la frecvențele fundamentale (329,63 Hz, 246,94 Hz, 196,00 Hz, 146,83 Hz, 110,00 Hz și 82,41 Hz) când sunt ciupite. Frecvențele depind de viteza undelor de pe coardă și de lungimea de undă a undelor. Cele șase coarde au densități liniare diferite și sunt „acordate” prin schimbarea tensiunilor din coarde. Vom vedea în Interferența undelor că lungimea de undă depinde de lungimea coardelor și de condițiile la limită. Pentru a reda alte note decât notele fundamentale, lungimile coardelor sunt modificate prin apăsarea în jos a coardelor.

EXERCIȚIUL 16.5

Viteza undei pe o coardă depinde de tensiune și densitatea liniară a masei. Dacă tensiunea este dublată, ce se întâmplă cu viteza undelor de pe coardă?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

Viteza undelor de compresie într-un fluid

Viteza unei unde pe o coardă depinde de rădăcina pătrată a tensiunii împărțită la masa pe lungime, densitatea liniară. În general, viteza unei unde printr-un mediu depinde de proprietatea elastică a mediului și de proprietatea inerțială a mediului.

|v| = √(proprietate elastică/proprietate inerțială)

Proprietatea elastică descrie tendința particulelor mediului de a reveni la poziția inițială atunci când sunt perturbate. Proprietatea inerțială descrie tendința particulei de a rezista schimbărilor de viteză.

Viteza unei unde longitudinale printr-un lichid sau gaz depinde de densitatea fluidului și de modulul de elasticitate isostatică B al fluidului,

(16.9) v = √B/ρ.

Aici modulul de elasticitate isostatică este definit ca B = −ΔP/(ΔV/V₀), unde ΔP este modificarea presiunii, iar numitorul este raportul dintre modificarea volumului și volumul inițial, iar ρ ≡ m/V este masa pe unitate de volum. De exemplu, sunetul este o undă mecanică, care se deplasează printr-un fluid sau un solid. Viteza sunetului în aer cu o presiune atmosferică de 1,013 × 10⁵ Pa și o temperatură de 20 °C este v_s ≈ 343,00 m/s. Deoarece densitatea depinde de temperatură, viteza sunetului în aer depinde de temperatura aerului.