Negarea unei declarații în logica propozițională

Dacă două declarații sunt întotdeauna în acord în ceea ce privește valoarea adevărului, ele sunt echivalente. Acum vom defini un termen pentru două declarații care întotdeauna nu sunt în acord în ceea ce privește valoarea adevărului. Aceasta va oficializa noțiunea de două propoziții cu sens opus.

Definiție: Negarea unei declarații este o declarație corespunzătoare care are întotdeauna valoarea de adevăr opusă față de original. Ori de câte ori o declarație este adevărată negația ei trebuie să fie falsă. Ori de câte ori o declarație este falsă negația ei trebuie să fie adevărată. O declarație și negația ei nu pot fi niciodată adevărate sau ambele false.

Definiție: Vom folosi simbolul ~ pentru a reprezenta negația în formulele noastre. Deci ~p ar putea fi citit „negația lui p” sau pur și simplu „nu p”.

Exemplu: Pentru fiecare declarație, scrieți o negație a declarației.

p = „Mașina mea este roșie.”
q = „Paharul este gol”.
r = „Nu este adevărat că magazinul este închis.”
s (x) = „Numărul x este mai mare decât 4.”

Soluție:

Există multe posibilități. Formularea poate varia atâta timp cât enunțul este fals ori de câte ori p este adevărat și adevărat ori de câte ori p este fals. Oricare dintre următoarele va da:

~ p = „Mașina mea nu este roșie.”

~ p = „Mașina mea nu e roșie.”

~ p = „Nu este adevărat că mașina mea este roșie.”

Toate aceste trei propoziții sunt echivalente. Putem spune că p are o singură negație, deoarece fiecare modalitate de a formula negația este echivalentă cu celelalte.

Aceasta nu este o negație corectă: v = „Paharul este plin”. q și v sunt exclusive una cu cealaltă, așa că nu pot fi ambele adevărate. Dar dacă paharul este pe jumătate plin și pe jumătate gol, atunci q și v vor fi ambele false în același timp! O modalitate corectă de a afirma negația este:

~ q = „Paharul nu este gol.”

r este negația afirmației „magazinul este închis”, deci „magazinul este închis” este negația lui r ! De aici vedem că enunțurile și negațiile lor vin în perechi; negația unei negații este afirmația originală. ~ r = „Magazinul este închis.”
~ s (x) = „Numărul x este mai mic sau egal cu 4.” Trebuie să formulăm această negație cu atenție pentru a ne asigura că este falsă pentru fiecare parametru care face s(x) adevărată și adevărată pentru fiecare parametru care face s(x) falsă. Fără cuvintele „egal cu” ambele afirmații ar fi false când x = 4 .

Negația este primul nostru exemplu de operator logic. Funcționează pe enunțurile noastre: atunci când luăm negația unei declarații, rezultă o nouă declarație. În aritmetică, operatorul cel mai asemănător negației este semnul minus: atunci când aplicăm un semn minus unui număr, obținem un număr nou cu valoarea opusă.

În exemplul (3) din această secțiune am observat că negația unei negații este declarația originală. În acest fel negația seamănă foarte mult cu un semnul minus: negativul negativului trei este pur și simplu trei! Doi din fiecare operator se vor anula unul pe celălalt. Putem scrie o formulă în acest sens:

~ ~ p = p.