Logica propozițională: Declarații echivalente

În algebră nu putem face ecuații fără a avea mai întâi un concept de egalitate. Două numere sunt egale atunci când au aceeași valoare. Vă prezentăm acum noțiunea corespondentă în logica propozițională. În esență, vom spune că două afirmații sunt aceleași dacă sunt întotdeauna de acord.

Definiție: Două declarații sunt echivalente dacă au întotdeauna aceeași valoare de adevăr. Nu există nicio situație reală sau ipotetică în care ar putea avea valori diferite de adevăr. Vom folosi simbolul ≡ pentru echivalență, astfel încât p ≡ q se citește „p este echivalent cu q”

Definiție: Două declarații parametrizate p(x) și q(x) sunt echivalente dacă au aceeași valoare de adevăr pentru fiecare valoare posibilă a lui x.

În aritmetică, următoarea sarcină este să obțineți un singur nume pentru fiecare număr. Nu este bine să vorbim despre „o sută” și „un zece de zeci” și „numărul după nouăzeci și nouă” ca și cum ar fi toate diferite. Le identificăm pe toate ca un singur număr, deoarece toate au aceeași valoare.

Definiție: Acum, când ne referim la declarația p, ne vom referi la declarația pe care am definit-o ca p sau orice reformulare echivalentă a acelei declarații. Amintiți-vă, declarațiile echivalente trebuie să aibă întotdeauna aceeași valoare de adevăr.

Așadar, vom considera „Am o durere de cap” și „M-am ales cu o durere de cap” și „Ma doare capul” ca fiind doar trei reprezentări sau fraze ale aceleiași afirmații. Nu va conta într-o formulă la care ne referim, deoarece toate au același sens.

Exemplu: Pentru fiecare pereche de declarații, spuneți dacă cele două declarații sunt echivalente.

1. Acesta este un stejar. q: Acest copac este un stejar.
2. p: Nu am ieșit din casă. q: Nu este adevărat că am plecat din casă.
3. p: Insectele au 6 picioare. q: Insectele nu au 8 picioare.
4. p(x) : Acest număr întreg este par. q(x): Acest număr întreg nu este impar.
5. p(x) : Acest număr rațional este par. q(x): Acest număr rațional nu este impar.

Soluție: Verificați fiecare pereche de declarații cu definiția echivalenței.

1. Da, p ≡ q. Deoarece aceste două declarații au același sens și diferă doar în ordinea cuvintelor, ambele trebuie să fie adevărate sau ambele să fie false.
2. Da, p ≡ q. p și q sunt două moduri diferite de a spune că declarația„am plecat din casă” este falsă. Dacă am plecat din casă, atunci p și q vor fi ambele false. Dacă nu am ieșit din casă, atunci p și q vor fi ambele adevărate. Deci p și q vor avea întotdeauna aceeași valoare de adevăr.
3. Nu, p ≡/ q. Ambele declarații sunt adevărate pentru insectele noastre. Dar nu sunt în mod necesar adevărate sau false împreună. Dacă insectele ar avea 10 picioare ca homarii, în loc de cele 6, atunci q ar fi adevărat și p ar fi fals. Deoarece p și q ar avea valori de adevăr diferite în acest caz, ele nu sunt echivalente.
4. Da, p(x) ≡ q(x). Un număr întreg trebuie să fie par sau impar. p(x) și q(x) sunt ambele adevărate când x este par. p(x) și q(x) sunt ambele false când x este impar. Deoarece p(x) și q(x) au aceeași valoare de adevăr indiferent de parametrul x ales, ele sunt echivalente.
5. Nu! p(x) ≡/ q(x). Numerele raționale includ nu numai numere întregi, ci și numere fracționale. Numerele mixte precum 3½ nu sunt nici pare, nici impare. p(3½) = „Numărul rațional 3½ este par” este o afirmație falsă. q(3½) = „Numărul rațional 3½ nu este impar” este o afirmație adevărată. Deoarece p(x) și q(x) pot avea valori de adevăr diferite la anumiți parametri, ele nu sunt echivalente.