Ecuațiile Hamilton în mecanica clasică

Să luăm în considerare o particulă „punctuală” în spațiu. „Punctuală” înseamnă că particula este atât de mică încât putem neglija structura sa și ne putem imagina că este concentrată într-un singur punct. (În funcție de scările luate în considerare, o planetă ar putea fi și ea „punctuală”.) În fizica clasică, „starea” unei astfel de particule este specificată prin șase numere: poziția sa x = (x₁, x₂, x₃) și viteza v = (v₁, v₂, v₃). Mai precis, acesta este un punct dintr-un fascicul tangent TM, unde x ∈ M, varietatea punctelor din spațiu, iar v este un vector tangent la x. De obicei M = R³, dar se poate considera mecanica clasică și pe alte varietăți – și acest lucru este util, de exemplu, pentru a descrie corpurile în rotație. Varietatea M este de obicei numită spațiul de configurație al sistemului.

A doua lege a lui Newton afirmă că particula se mișcă conform ecuației

v = dx/dt și F = m dx/dt   (1.1)

unde t este timpul, m este masa particulei, iar F este forța asupra particulei la momentul t. Mai detaliat, avem un sistem de ecuații diferențiale cuplate

dx(t)/dt = v(t) și m dv(t)/dt = F(x(t), v(t), t),   (1.2)

unde ne-am imaginat că forța ar putea depinde instantaneu de poziția și viteza particulei și s-ar putea schimba explicit în timp.

Situația tipică este de a considera o forță care este o funcție doar de poziția particulei (deși forțele dependente de viteză sunt utilizate pentru a oferi o descriere fenomenologică a frecării) și este, de asemenea, conservativă, ceea ce înseamnă că

F(x) = − ∂V/∂x (x)   (1.3)

unde V este o funcție pe spațiul de configurație, numită potențial (sau energie potențială) și ∂V/∂x = (∂V/∂x₁, ∂V/∂x₂, ∂V/∂x₃). Când aceasta este valabilă, ecuațiile mișcării se citesc

dx/dt = v și m dv/dt = − ∂V/∂x.

Se introduce o nouă variabilă p = mv, impulsul, și se scriu ecuațiile după cum urmează

dx/dt = p/m și dp/dt = − ∂V/∂x,

care pot fi exprimate după cum urmează

dx/dt = ∂H/∂p și dp/dt = − ∂H/∂x,

unde H(x,p) = 1/2m p² + V(x) . Semnul minus din (1.3) este acolo pentru a produce un semn pozitiv aici, astfel încât H este pozitiv dacă V este pozitiv.

Toate cele de mai sus pot fi generalizate la următoarea situație. Se consideră o varietate Riemanniană M (de obicei M = R³ⁿ) și o funcție H definită pe fasciculul cotangent, numită Hamiltonian. În coordonate H = H(q₁,…, q_m; p₁,…, p_m) unde (q₁,…, q_m) sunt coordonatele pentru un punct din spațiul M și (p₁,…, p_m) este un co-vector la (q₁,…, q_m). Fasciculul cotangent T*M (de obicei doar R³ⁿ x R³ⁿ) se numește spațiu de fază. Ecuațiile de mișcare

dq_i/dt = ∂H/∂p_i și p_i/dt = − ∂H/∂q_i

se numesc ecuațiile Hamilton și descriu o clasă largă de sisteme fizice. Se verifică cu ușurință că de-a lungul traiectoriei unui astfel de sistem avem

dH/dt = Σ_i=1^m ∂H/∂q_i dq_i/dt + ∂H/∂p_i dp_i/dt = 0.

Acesta este principiul conservării energiei, unde identificăm funcția hamiltoniană într-un punct din spațiul de fază ca fiind energia totală a sistemului cu acea configurație.

Într-un exemplu tipic avem n puncte în R³ cu hamiltonianul

H = Σ_i=1ⁿ p²_i/2m_i + _Σi<jⁿ V_ij(x_i − x_j) + Σ_i=1ⁿ V_i(x_i)

unde

• V_ij este energia potențială de interacțiune dintre particulele i și j și
• V_i este un potențial extern care acționează asupra particulei i.

Acest sistem ar putea fi folosit, de exemplu, pentru a descrie mișcarea planetelor și a lunilor lor în sistemul solar. Dacă se face aproximarea că soarele este un punct fix, atunci acesta creează un „potențial extern” care afectează toate planetele și sateliții.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu