Spectrul vibrațiilor unei corzi întinse – analiza Fourier

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Spectrul vibrațiilor unei corzi întinse –analiza Fourier”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA85354

PDF: https://www.indexacademic.ro/pdf/spectrul-vibratiilor-unei-corzi-intinse-analiza-fourier/

HTML: https://www.telework.ro/ro/spectrul-vibratiilor-unei-corzi-intinse-analiza-fourier/

Concepte: armonice, condiții la capete.
Ce faci: ciupești o coardă (chitară, sfoară întinsă) și înregistrezi cu microfonul.
Măsori: frecvențe armonice fn ≈ n·1/(2L) √(T/μ). Verifici liniaritatea cu tensiunea T (îngreunezi/relaxezi).
Extinde: moduri pe o riglă pentru „flexuri”.

Cuprins

Spectrul vibrațiilor unei corzi întinse – analiza Fourier 1

Rezumat 2

Introducere. 2

Concepte teoretice: armonici și condiții la capete. 3

Metodologia experimentului 4

Procedura de lucru. 6

Verificări și măsurători 6

Precauțiuni 6

Extensii și sugestii avansate (nivel universitar) 6

Analiză teoretică detaliată. 6

Măsurători avansate. 7

Studii de caz cu abateri de la ideal 7

Alte extensii 7

Fișă de laborator 7

Scopul experimentului 7

Noțiuni teoretice. 8

Materiale necesare. 8

Procedura. 8

Date și observații 8

Prelucrarea datelor 9

Concluzii 9

Bibliografie. 10

Rezumat

Studiul caracterizează spectrul vibrațiilor unei corzi întinse prin analiza Fourier a sunetului generat la ciupire, validând modelul undelor staționare și legile lui Mersenne. Configurația: coardă de lungime L cunoscută, tensiune T controlată (mase/cheiță), înregistrare cu microfon de smartphone/PC și prelucrare FFT. Se evaluează (i) raporturile f_n/f₁ și (ii) dependența f₁ de √T și 1/L. Rezultatele indică vârfuri armonice la f_n ≈ n·f₁ și o creștere aproape liniară a lui f₁ cu √T, în acord cu f₁=(1/2L)√(T/μ); scurtarea la L/2 dublează f₁. Abaterile (≤ câteva procente) provin din rigiditatea corzii, amortizare și limita microfonului. Metoda, realizabilă cu resurse minime, oferă o demonstrație clară a descompunerii Fourier și un cadru extensibil către moduri flexurale (bare/rigle) și analize timp–frecvență (spectrogramă).

Cuvinte cheie: spectrul vibrațiilor, corzi, analiza Fourier, coardă întinsă, armonice, FFT, legile lui Mersenne, undă staționară

Introducere

Spectrul unei corzi se referă la ansamblul de frecvențe (armonici) generate atunci când o coardă întinsă vibrează. În acest experiment didactic, vom ciupi o coardă (de exemplu, o coardă de chitară sau o sfoară întinsă) și vom înregistra sunetul produs cu ajutorul unui microfon conectat la un dispozitiv (smartphone sau calculator). Prin analiză Fourier (de exemplu cu un software de spectru audio), vom obține spectrul de frecvențe al sunetului, evidențiind frecvența fundamentală și armonicile superioare. Acest experiment permite elevilor să înțeleagă conceptul de unde staționare pe o coardă, condițiile la capete și relația dintre frecvențele armonicilor, precum și verificarea legilor lui Mersenne (dependența frecvenței de lungimea, tensiunea și densitatea liniară a corzii) (Wikipedia 2025d) (Wikipedia 2025b). În plus, sunt sugerate extensii teoretice pentru nivel universitar, cum ar fi studiul vibrațiilor flexurale ale unei rigle metalice (unde armonicele nu mai sunt armonici întregi) și utilizarea unor metode avansate de măsurare (senzori sau analiză FFT cu Matlab) pentru investigarea fenomenului.

Concepte teoretice: armonici și condiții la capete

Figura 1: Ilustrație a modurilor proprii (armonici) ale unei corzi cu capetele fixe. Se observă forma de undă staționară pentru armonicul fundamental (sus) și primele armonici superioare (moduri de vibrație cu 2, 3, 4 etc. ventre). Nodurile (puncte de amplitudine zero) apar la capetele fixe și la subdiviziunile egale ale corzii pentru modurile superioare. Aceste moduri corespund armonicilor cu frecvențe de vibrație egală cu multipli întregi ai frecvenței fundamentale (Physicsclassroom 2025) (Wikipedia 2025d).

O coardă întinsă și fixată la ambele capete va vibra formând unde staționare. Condițiile la capete (fixe) impun ca la capetele corzii să se formeze noduri – puncte unde deplasarea este zero (Physicsclassroom 2025). Între cele două capete nodulare, modelul de undă staționară prezintă unul sau mai multe ventre (antinoduri) de vibrație, în funcție de modulul (armonica) de oscilație. Modul fundamental (prima armonică) are un singur ventru de vibrație (amplitudine maximă) la mijlocul corzii, fiind modul cu lungimea de undă cea mai mare și frecvența cea mai mică (Physicsclassroom 2025). Modurile superioare (armonicele 2, 3, etc.) au noduri suplimentare distribuite uniform: de exemplu, a doua armonică are un nod median (între capete) și două ventre, a treia armonică are două noduri intermediare și trei ventre ș.a.m.d. (Physicsclassroom 2025). Fiecărui mod staționar îi corespunde o lungime de undă λ_n legată de lungimea L a corzii. În general, pentru o coardă cu ambele capete fixe, lungimea corzii este egală cu un număr semi-des întreg de lungimi de undă. Pentru prima armonică, L = λ_1/2; pentru a doua, L = λ_2/1 = λ_1; pentru a treia, L = 3/2·λ_1 ș.a.m.d. (Physicsclassroom 2025). Echivalent, λ_n = 2L/n. Această relație de lungime-unde sta la baza relației frecvențelor armonicilor.

Relația frecvențelor armonicilor se poate deduce din condițiile de unde staționare și din viteza de propagare a undei în coardă. Viteza undei pe coardă este dată de v = √(T/μ), unde T este tensiunea în coardă, iar μ este densitatea liniară (masa per lungime) (Wikipedia 2025d). Frecvența fundamentală (primul armonic) se calculează din v și lungimea L ca fiind:

f₁ = v/2L = 1/(2L) √(T/μ),

întrucât λ_1 = 2L pentru modul fundamental (coarda întreagă reprezintă o jumătate de lungime de undă) (Wikipedia 2025d). Pentru armonica n, lungimea de undă λ_n = 2L/n, rezultând formula generală:

f_n = (n⋅v)/(2L) = n⋅f₁ = n/(2L) √(T/μ),

unde n este un întreg (1, 2, 3, …) (Wikipedia 2025d). Așadar, frecvențele modurilor proprii ale corzii sunt multipli întregi ai frecvenței fundamentale (Wikipedia 2025d). Aceste frecvențe sunt numite armonice (f₁ – fundamentalul sau primul armonic, f₂ – al doilea armonic, etc.), iar mulțimea lor formează seria armonică a corzii. Prezența acestor armonici simultan în vibrația unei corzi (de exemplu la ciupire) determină timbrul sunetului instrumentului muzical – combinația de armonici face ca sunetul să fie bogat, nu un ton pur (Physicsclassroom 2025).

Un aspect important este dependența frecvenței fundamentale de proprietățile corzii, cunoscută drept Legile lui Mersenne. Conform acestor legi: (a) frecvența fundamentală este invers proporțională cu lungimea L a corzii, (b) proporțională cu rădăcina pătrată a tensiunii T, și (c) invers proporțională cu rădăcina pătrată a masei liniare μ (Wikipedia 2025d). Intuitiv, o coardă mai scurtă, mai întinsă (tensiune mai mare) sau mai ușoară (mai subțire) va vibra cu o frecvență mai înaltă. De exemplu, pentru a obține o creștere a frecvenței cu un octav (de două ori mai mare), se poate fie înjumătăți lungimea (L/2), fie mări tensiunea de patru ori, fie reduce densitatea la un sfert (Wikipedia 2025b). Un caz concret: dacă o coardă acordată la 110 Hz (La₂) este întinsă cu o anumită forță, pentru a obține nota la o octavă mai sus (~220 Hz) tensiunea trebuie mărită de patru ori (Wikipedia 2025b), confirmând relația .

Metodologia experimentului

În versiunea de bază a experimentului (nivel de liceu), vom folosi o coardă (sau sfoară) întinsă fix între două puncte și vom ciupi coarda pentru a o face să vibreze. Vom înregistra sunetul produs folosind un microfon conectat la un smartphone sau calculator, utilizând o aplicație de analiză audio (de pildă, un spectru audio/analizor Fourier sau un software precum Audacity) pentru a vizualiza frecvențele componente. Scopul este să măsurăm frecvențele armonicelor f_n din sunetul corzii și să le comparăm cu valorile teoretice date de formula de mai sus.

Pentru experiment sunt necesare următoarele componente principale:

Coardă întinsă – de exemplu coarda unei chitare sau o sfoară legată între două suporți rigizi, cu lungimea L cunoscută.
Mecanism de tensionare – de pildă, coarda poate fi întinsă peste o rampă (cutie de rezonanță) și legată de un suport de care se poate atârna o greutate W (pentru a controla tensiunea T = m_greutate⋅g). Alternativ, folosim cheița de acordaj a chitarei pentru a varia tensiunea.
Microfon și dispozitiv de înregistrare – un microfon conectat la un smartphone, tabletă sau PC. Un smartphone modern poate servi ca platformă de măsurare, având atât microfon, cât și aplicații de înregistrare și analiză Fourier disponibile (González și González 2016).
Software de analiză spectrală – aplicație pe smartphone (de exemplu “Spectroid” sau aplicația dezvoltată în (González și González 2016)) ori un program pe calculator (Matlab, Audacity, etc.) care calculează transformata Fourier a semnalului audio înregistrat, afișând spectrul de frecvențe.

Figura 2: Schemă experimentală simplificată a unui monocord: coarda (A) este întinsă peste două punți fixe (B și C) pe un suport, iar un capăt este legat de un scripete (D) de care atârnă o greutate (W) ce furnizează tensiunea T în coardă (Wikipédia 2016). Prin deplasarea punții mobile C sau schimbarea greutății W se poate varia lungimea L respectiv tensiunea T, pentru a studia influența lor asupra frecvenței. Microfonul pentru înregistrare (nu este ilustrat aici) se plasează în apropierea corzii, conectat la un dispozitiv de achiziție (ex: smartphone) pentru analiza ulterioară a spectrului.

Procedura de lucru

Se întinde coarda pe suport și se fixează capetele. Se măsoară lungimea L între punctele de fixare. Inițial, se aplică o anumită tensiune T (de exemplu prin atașarea unei greutăți calibrate). Se ciupește coarda la mijloc (sau la o anumită porțiune) pentru a o pune în vibrație. Imediat, se înregistrează sunetul rezultat cu microfonul. Cu ajutorul aplicației/software-ului FFT, se obține spectrul de frecvență al sunetului – un grafic al amplitudinii (sau puterii) în funcție de frecvență. Pe spectru vor apărea un vârf principal la frecvența fundamentală f₁ și vârfuri secundare la frecvențele f₂, f₃, … (armonice). Se notează valorile frecvențelor acestor vârfuri.

Verificări și măsurători

Odată identificate f₁, f₂, f₃,…, se verifică raporturile lor. Ar trebui să se observe că f₂ ≈ 2f₁, f₃ ≈ 3f₁ etc., confirmând că armonicele au frecvențe multipli întregi ai fundamentalului (Wikipedia 2025d). De asemenea, se poate măsura separat f₁ în funcție de tensiune. Pentru aceasta, se repetă experimentul pentru diferite valori ale tensiunii T (de exemplu adăugând sau scoțând masă la greutatea atârnată). Conform relației teoretice, f₁ ar trebui să crească proporțional cu √T (Wikipedia 2025b). Practic, dacă mărim de 4 ori tensiunea, spectrul ar trebui să arate că f₁ s-a dublat (o octavă mai sus). Elevii pot construi un grafic f₁ în funcție de √T pentru a verifica linearitatea (o linie dreaptă prin origine este așteptată). În mod similar, se poate investiga influența lungimii: dacă se scurtează efectiv porțiunea vibrantă a corzii (de exemplu apăsând coarda la mijloc, jumătate din lungime), ar trebui să se dubleze frecvența fundamentală (confirmând f₁ ∼ 1/L) (Wikipedia 2025d).

Precauțiuni

Pentru acuratețe, asigurați-vă că microfonul înregistrează clar (fără zgomot excesiv de fond) și că frecvențele armonicilor sunt bine definite. Unele aplicații de spectru oferă opțiunea de mediere a spectrului sau afișare logaritmică. Dacă se folosește smartphone-ul, calitatea microfonului poate limita detectarea armonicilor foarte înalte (microfoanele obișnuite au răspuns bun ~în banda 80 Hz – 15-18 kHz) (González și González 2016), dar pentru armonicile inferioare (primele câteva) acest lucru nu va fi o problemă. Pentru tensiuni mari, atenție la siguranță: coarda trebuie fixată bine pentru a nu scăpa de sub tensiune.

Extensii și sugestii avansate (nivel universitar)

Pentru un nivel mai avansat (universitar), experimentul poate fi extins atât teoretic, cât și experimental:

Analiză teoretică detaliată

Se poate porni de la ecuația undelor pe coardă (ecuația diferențială a șirului vibrant) și condițiile la limită, pentru a deduce riguros relațiile de frecvență ale modurilor proprii. De asemenea, se poate discuta despre seriile Fourier – orice formă de undă inițială a corzii (de exemplu forma pe care o capătă coarda când este ciupită) poate fi descompusă într-o sumă de moduri proprii (sinusoide) cu frecvențele armonicilor. Această descompunere Fourier explică de ce sunetul rezultat conține multiple armonici: ciupirea excită simultan modurile proprii ale corzii.

Măsurători avansate

În locul (sau pe lângă) microfonului simplu, se pot utiliza senzori specializați. De pildă, un traductor piezoelectric atașat de coardă poate prelua vibrațiile mecanice și transmite semnal electric către un sistem de achiziție. La nivel universitar se poate folosi un sistem de achiziție de date cu viteză mare de eșantionare și un software precum Matlab sau LabVIEW pentru a înregistra și analiza semnalul. FFT-ul aplicat pe semnalul măsurat permite o determinare foarte precisă a frecvențelor armonice. Se poate realiza și o analiză în timp-frecvență (spectrogramă) pentru a vedea cum se amortizează fiecare armonică în timp. Rezultatele experimentale obținute astfel pot fi comparate cu calculele teoretice, cu abateri sub 1-2% de obicei, dacă măsurătorile sunt îndeajuns de precise (González și González 2016).

Studii de caz cu abateri de la ideal

O extensie interesantă este examinarea situațiilor în care armonicele nu mai sunt multipli întregi perfecți. De exemplu, se poate studia vibrația unei bare metalice (riglă) fixată la un capăt (caz de undă flexurală într-o grindă încastrată liberă la celălalt capăt). Un asemenea sistem nu mai respectă condițiile unei coarde ideale și produce așa-numitele armonici nearmonice (partiali inarmonici) – frecvențe proprii care nu sunt multipli întregi ai primei frecvențe (Wikipedia 2025a). Studenții pot twanga (lovi) o riglă metalică prinsă pe marginea mesei și, utilizând aceeași tehnică de înregistrare FFT, pot identifica frecvențele modurilor de vibrație. Se va observa că raporturile dintre aceste frecvențe nu sunt numere întregi simple (de exemplu, modurile de vibrație ale unei rigle au rapoarte ~1 : 6,27 : 17,5… pentru primele moduri, în funcție de condițiile de la capete și de natura undei în bară). Acest lucru oferă o discuție despre diferența între undele tensionate (coardă) care au spectru armonic pur și undele flexurale (în bare, plăci) care au spectru inarmonic. Fenomenul este relevant în muzică (de exemplu, sunetul de clopot sau xilofon conține inarmonice) și în inginerie (vibrațiile structurale).

Alte extensii

Se poate investiga și cazul unei coloane de aer (unde staționare într-un tub sonor) comparativ cu coarda: de exemplu, într-un tub deschis la ambele capete se obține tot spectru de armonici întregi, pe când într-un tub închis la un capăt se obțin doar armonici impare. Aceasta ar putea fi menționată pentru a arăta influența condițiilor la frontieră asupra spectrului (analogii între coardă și coloana de aer) (Wikipedia 2025c).

În concluzie, experimentul spectrului unei corzi demonstrează în mod practic concepte fundamentale de fizică a undelor: frecvențe proprii, armonici, condiții la limită și principiile analizei Fourier. Atât la nivel liceal, cât și la nivel universitar, el oferă oportunități de învățare activă – de la observarea directă a fenomenelor la confirmarea cantitativă a legilor teoretice – și poate fi extins cu tehnici moderne de măsurare pentru o înțelegere și mai profundă a vibrațiilor.

Fișă de laborator

Scopul experimentului

Observarea undelor staționare pe o coardă întinsă și determinarea spectrului de frecvențe (armonici) al vibrațiilor acesteia. Verificarea relației f_n ≈ n⋅f₁ între armonici și a dependenței frecvenței fundamentale de tensiunea în coardă (legile lui Mersenne).

Noțiuni teoretice

O coardă fixată la ambele capete prezintă moduri proprii de vibrație (armonici) cu noduri la capete. Frecvența fundamentală este f1 = 1/(2L) √(T/μ), iar armonica n are f_n ≈ n⋅f₁(Wikipedia 2025d). Frecvența crește cu scăderea lungimii L, cu creșterea tensiunii T și cu scăderea densității liniare μ (Wikipedia 2025d). Armonicile multiple produc timbrul sunetului instrumentelor muzicale.

Materiale necesare

O coardă (de chitară sau sfoară) ~1 m, fixată la capete pe un suport rigid (ex: cutie de rezonanță sau banc de lucru).
Scripete și set de greutăți (sau alt mecanism) pentru a aplica o tensiune controlată în coardă.
Centimetru sau riglă pentru măsurarea lungimii vibrante L.
Microfon și dispozitiv de înregistrare (smartphone cu aplicație de spectru sau calculator cu placă de sunet).
Software de analiză Fourier (aplicație de spectru audio pe telefon sau program PC – Audacity, Matlab etc.).

Procedura

Măsurați lungimea L a porțiunii vibrante a corzii între punctele de fixare.
Montați o greutate W pentru a tensiona coarda; notați masa greutății (pentru calculul tensiunii T = m g).
Ciupiți (puneți în vibrație) coarda la mijlocul ei și înregistrați imediat sunetul cu microfonul.
Obțineți spectrul de frecvență folosind aplicația/software-ul FFT. Identificați pe grafic frecvența fundamentală f₁ (vârful principal, cea mai joasă frecvență) și primele câteva armonici f₂, f₃, … (vârfuri mai mici la frecvențe mai înalte).
Notați valorile f₁, f₂, f₃… și comparați-le: calculați raporturile f₂/f₁, f₃/f₁,.. (ar trebui să fie aproximativ 2, 3, …).
Repetați măsurarea pentru cel puțin două alte tensiuni diferite ale corzii: modificați tensiunea (de ex., adăugând o greutate suplimentară sau folosind o altă poziție de acordaj) și repetați pașii 3-5 pentru fiecare valoare. Asigurați-vă că măsurați sau calculați tensiunea T corespunzătoare fiecărei configurații.
(Opțional) Pentru a explora influența lungimii, fixați coarda astfel încât să vibreze pe lungimi diferite (de exemplu, apăsați coarda la jumătate pentru a vibra doar pe L/2) și observați schimbarea lui f₁.

Date și observații

Lungimea corzii L = _____ m (inițial).
Tensiunea T (calculată din greutate): T₁ = ___ N, T₂ = ___ N, T₃ = ___ N.
Frecvențe măsurate: pentru T₁: f₁ = __ Hz, f₂ = __ Hz, f₃ = __ Hz, …; pentru T₂: f₁‘ = __ Hz, … (se pot organiza într-un tabel).
Se observă că f₂ ≈ 2f₁, f₃ ≈ 3f₁, etc. Armonicile apar cu amplitudini mai mici decât fundamentalul în spectru (specific timbrului).
La creșterea tensiunii, toate frecvențele armonicelor cresc. De exemplu, dublând aproximativ T, f₁ crește cu un factor ~ √2 ≈ 1,41 (se va verifica numeric cu datele măsurate).
Eventuale erori de observat: rezoluția spectrului (limita de precizie în Hz), întinderea incompletă a coardei (relaxare), zgomot acustic ambiental care poate produce vârfuri false.

Prelucrarea datelor

Verificați relația f_n ≈ nf₁ pentru datele colectate (puteți calcula f₂/2, f₃/3, … și compara cu f₁). Diferențele procentuale trebuie să fie mici (ideal < 5%).
Pentru dependența de tensiune: calculați √T pentru fiecare configurație și realizați un grafic f₁ vs. √T. Dacă teoria se confirmă, punctele ar trebui să se alinieze pe o dreaptă (proporționalitate directă) trecând prin origine (Wikipedia 2025b). Determinați ecuația dreptei și comparați panta cu valoarea teoretică a 1/(2L√μ) (dacă μ este cunoscută sau poate fi estimată din caracteristicile corzii).
(Opțional) Dacă ați variat lungimea L, verificați dacă f₁⋅L rămâne aproximativ constant (sau f₁ este invers proporțional cu L). Eventual, reprezentați grafic f₁ în funcție de 1/L.

Concluzii

S-a observat existența unei serii de frecvențe armonice în sunetul corzii, cu valorile în raporturi apropiate de numere întregi (2:1, 3:1 etc. față de fundamental), confirmând că o coardă fixă la capete are moduri proprii de vibrație conforme cu teoria (frecvența n mod ≈ n⋅f₁) (Wikipedia 2025d).
Relația dintre frecvența fundamentală f₁ și tensiunea în coardă a fost confirmată calitativ: creșterea tensiunii duce la creșterea lui f₁. Rezultatele cantitative (graficul f₁ vs. √T) sunt în acord (în limitele erorilor experimentale) cu dependența teoretică f1 ∝ √T (Wikipedia 2025b).
Explicația fizică: mărind tensiunea, undele se propagă mai rapid pe coardă (viteza v = √(T/μ) crește), deci oscilațiile au frecvențe mai mari. Introducerea de noduri suplimentare (moduri superioare) necesită subdiviziuni întregi ale lungimii, ducând la armonici cu frecvențe multiplu întreg.
Eventuale discrepanțe minore pot proveni din rigiditatea proprie a corzii (care o face ușor inarmonică), amortizarea aerodinamică (care poate deplasa ușor frecvențele de rezonanță) sau erori de măsură. Per ansamblu însă, experimentul susține bine modelul teoretic al corzii ideale și ilustrează spectaculos principiile undelor staționare și ale analizei Fourier.

În concluzie, spectrul unei corzi oferă o punte între teoria undelor și practica muzicală și tehnologică, demonstrând cum legile fizicii stau la baza sunetelor pe care le percepem. Experimentul dezvoltă atât intuiția fizică (vizualizarea modurilor de vibrație), cât și competențele de măsurare și analiză (folosirea tehnologiei pentru a vedea sunetul), fiind o experiență educațională completă. (González și González 2016)

Bibliografie

González, Manuel Á, și Miguel Á González. 2016. „Smartphones as Experimental Tools to Measure Acoustical and Mechanical Properties of Vibrating Rods”. European Journal of Physics 37 (4): 045701. https://doi.org/10.1088/0143-0807/37/4/045701.
Physicsclassroom. 2025. „Physics Tutorial: Fundamental Frequency and Harmonics”. https://www.physicsclassroom.com/class/sound/lesson-4/fundamental-frequency-and-harmonics.
Wikipédia. 2016. „Fichier:Monochord Jeans.png — Wikipédia”. mai 14. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Monochord_Jeans.png.
Wikipedia. 2025a. „Harmonic”. În Wikipedia. martie 27. https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic.
Wikipedia. 2025b. „Mersenne’s Laws”. În Wikipedia. iunie 5. https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne%27s_laws.
Wikipedia. 2025c. „Standing Wave”. În Wikipedia. februarie 22. https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave.
Wikipedia. 2025d. „String Vibration”. În Wikipedia. august 17. https://en.wikipedia.org/wiki/String_vibration.