Ce este un qubit? Reprezentarea matematică – Notația Dirac Bra-Ket

În computerele clasice, informația este reprezentată prin cifre binare 0 sau 1. Acestea se numesc biți. De exemplu, numărul 1 într-o reprezentare binară pe 8 biți este scris ca 00000001. Numărul 2 este reprezentat ca 00000010. Plasăm zerouri suplimentare în față pentru a scrie fiecare număr cu un total de 8 biți, ceea ce se numește un octet. De fapt, fiecare computer clasic traduce acești biți în informații lizibile de om pe dispozitivul dumneavoastră electronic. Documentul pe care îl citiți sau videoclipul pe care îl vizionați este codificat în limbajul binar al computerului în termeni de 1 și 0. Hardware-ul computerului înțelege bitul de 1 ca un curent electric care curge printr-un fir (într-un tranzistor), în timp ce bitul de 0 reprezintă absența unui curent electric într-un fir. Aceste semnale electrice pot fi considerate „pornite” (bitul de 1) sau „oprite” (bitul de 0). Computerul dumneavoastră decodează apoi biții clasici 1 sau 0 în cuvinte sau videoclipuri etc.

Biții cuantici sau qubiții sunt similari biților prin faptul că există două stări măsurabile numite stări 0 și 1. Cu toate acestea, spre deosebire de biții clasici, qubiții pot fi, de asemenea, într-o stare de superpoziție a acestor stări 0 și 1, așa cum se arată în Fig. 2.1. Anumite calcule care în mod normal ar trebui efectuate separat pe 0 sau 1 pe un computer clasic ar putea fi acum finalizate într-o singură operațiune folosind un qubit pe un computer cuantic. Intuitiv, acest lucru ar putea face calculele mult mai rapide. Este important de înțeles că, deși un singur qubit se află într-o superpoziție a doi biți clasici, atunci când se măsoară un qubit, măsurarea are de fapt ca rezultat un singur bit clasic de informație: fie 0, fie 1.

Reprezentarea matematică a qubiților

Notația Dirac Bra-Ket

Fig. 2.1 Un bit clasic poate fi fie 0, fie 1. Un qubit poate fi într-o suprapunere atât a lui 0, cât și a lui 1

Fig. 2.2 Starea pisicii lui Schrödinger exprimată în notația bra-ket

Pentru a lucra cu qubiți, este util să știm cum se pot exprima stările mecanicii cuantice cu formule matematice. Notația Dirac sau „bra-ket” este frecvent utilizată în mecanica cuantică și calculul cuantic. Starea unui qubit este inclusă în jumătatea dreaptă a unei paranteze unghiulare, numită „ket”. Un qubit, |ψ⟩, poate fi într-o stare |0⟩ sau |1⟩ sau chiar o suprapunere atât a lui |0⟩, cât și a lui |1⟩. Aceasta se scrie ca

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩

unde α și β sunt numite amplitudinile stărilor (Fig. 2.2). Amplitudinile sunt în general numere complexe (un tip special de număr utilizat în matematică și fizică). Cu toate acestea, pentru a înțelege semnificația amplitudinilor, ne putem imagina amplitudinile ca fiind numere obișnuite (reale). Amplitudinile ne permit să reprezentăm matematic toate suprapunerile posibile.

Amplitudinile sunt foarte importante deoarece ne oferă probabilitatea de a găsi particula în acea stare specifică atunci când efectuăm o măsurare. Probabilitatea de a măsura particula în starea |0⟩ este |α|², iar probabilitatea de a măsura particula în starea |1⟩ este |β|². De ce este ridicat la pătrat? Răspunsul scurt este că oferă predicțiile experimentale corecte pentru această alegere de reprezentare[1]. Ridicarea la pătrat a lui α și β pentru a găsi probabilitatea este similară cu ridicarea la pătrat a amplitudinii unei unde pentru a găsi energia undei. Deoarece probabilitatea totală de a observa toate stările sistemului cuantic trebuie să însumeze 100%, amplitudinile trebuie să respecte această regulă:

|α|² + |β|² = 1.   (2.2)

Aceasta se numește regulă de normalizare. Coeficienții α și β pot fi întotdeauna rescalați cu un anumit factor pentru a normaliza starea cuantică.

Exemple

1. Starea cuantică a unei monede care se rotește poate fi scrisă ca o suprapunere de cap și pajură. Folosind capul ca |1⟩ și pajura ca |0⟩, starea cuantică a monedei este

|moneda⟩  = 1/√2 (|1⟩ + |0⟩).   (2.3)

Care este probabilitatea de a obține cap?

Amplitudinea lui |1⟩ este β = 1/√2, deci |β|² = (1/√2)² = 1/2. Deci probabilitatea este de 0,5 sau 50%.

2. O monedă ponderată are o probabilitate dublă de a cădea pe cap vs. pajură. Care este starea monedei în notația „ket”?

P_cap + P_pajura = 1   (Condiție de normalizare)

P_cap = 2P_pajura   (Afirmație în exemplu)

→ P_pajura = 1/3 = α²

→ P_cap = 2/3 = β²

→ α = √(1/3), β = √(2/3)

|moneda⟩  = √(1/3)|0⟩ + √(2/3)|1⟩

O concepție greșită des întâlnită este că măsurarea unui singur qubit va duce la o medie ponderată a stărilor |0⟩ și |1⟩. Este important de reținut că, după efectuarea măsurătorii pe un singur qubit, qubitul nu mai este într-o suprapunere, ci ia o stare definită fie |0⟩, fie |1⟩[2].  Aceasta înseamnă că nu veți putea găsi α sau β dintr-un singur qubit. În schimb, trebuie să creăm mai mulți qubiți care se află în aceeași stare cuantică și apoi să măsurăm câți dintre qubiți se colapsează în |0⟩ (reprezentând α) și câți se colapsează în |1⟩ (reprezentând β). Prin urmare, sunt necesare mai multe particule identice pentru a număra câte se colapsează în |0⟩ sau |1⟩.

Note

[1] Știm din experimente că fizica cuantică este probabilistică. Coeficienții la pătrat sunt necesari pentru a obține o cantitate care se comportă ca o distribuție de probabilitate, adică este un număr real și pozitiv. Prin definiție, nu poate exista o probabilitate negativă.

[2] Atunci când se formulează reprezentarea matematică a mecanicii cuantice, aceasta este una dintre cele patru ipoteze fundamentale care trebuie făcute. Motivul prăbușirii este încă necunoscut: https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function_collapse. Citiți mai multe la acest link: https://www.quantamagazine.org/how-quantum-trajectory-theory-lets-physicistsunderstand-whats-going-on-during-wave-function-collapse-20190703/.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0