Sisteme compozite în mecanica clasică

Să presupunem că avem două sisteme clasice cu spații de configurație M₁ și M₂. Cum descriem spațiul de fază a două sisteme M₁ și M₂ considerate împreună?

Spațiul de fază al unui singur sistem clasic este fasciculul tangent TM peste spațiul de configurație M, unde vectorul tangent descrie viteza sistemului. De exemplu, imaginați-vă un sistem clasic format dintr-o singură particulă într-o cutie în spațiu. Spațiul de configurație este B, interiorul deschis al cutiei. Imaginați-vă că există o energie potențială foarte abruptă care diverge spre infinit la limita cutiei, astfel încât particula nu părăsește niciodată B. Spațiul de fază al acestui sistem clasic este spațiul tangent TB ∼= B × R³.

Să presupunem că avem două particule, fiecare în cutii separate B₁ și B₂. Pentru a specifica starea sistemului compozit, ar trebui să specificăm pozițiile q_j ∈ B_j ale fiecărei particule. Și pentru a specifica viteza configurației (q₁, q₂), trebuie doar să specificăm viteza fiecărei particule separat: (v₁, v₂). Deci, spațiul de fază al sistemului compozit este doar TB₁ × TB₂.

În general, spațiul de configurație al compozitului a două sisteme clasice este produsul M1 × M2 al spațiilor lor de configurație, iar spațiul de fază este spațiul tangent T(M1 × M2). Deoarece spațiul tangent într-un punct al lui M1 × M2 satisface

T(q_l, q₂)(M₁ × M₂) = (T_q1M₁) ⊕ (T_q2M₂),

vedem că T(M₁ × M₂) = (TM₁) × (TM₂) este, de asemenea, doar produsul spațiilor de fază individuale. (Notă: produsul cartezian al spațiilor vectoriale corespunde operației de sumă directă.)

Cum formulăm acest lucru în termeni de observabile? Algebra completă a observabilelor pentru sistemul compozit este mulțimea funcțiilor netede pe spațiul de fază A = C^∞(T(M₁ × M₂)). Există o încorporare naturală a funcției A_j = C^∞(TM_j) în A: considerăm pur și simplu f ∈ A_j ca fiind o funcție pe T(M₁ × M₂) care nu depinde de poziția sau viteza celuilalt sistem. Mai formal, vom desemna nj : Π_j : T(M₁ × M₂) → TM_j ca mapările de coordonate

(q1, q2, v1, v2) →_Πj (qj, vj) .

Apoi încorporăm A_j → A prin aplicarea f → f ◦ Π_j.

Rețineți că A ≠ A₁ × A₂. În schimb, A este produsul tensorial A₁ ⊗ A₂ — sau, mai corect, este completarea produsului tensorial algebric într-o anumită metrică. Într-un mod mai banal, orice observabilă f : T(M₁ × M₂) → R poate fi exprimată ca o limită de combinații liniare finite de forma

Σ_j=1ⁿ g_j(q₁, v₁)h_j(q₂, v₂),

unde (g_j)_j=1ⁿ sunt observabile pe M₁ și (h_j)_j=1ⁿ sunt observabile pe M₂. Faptul că orice funcție pe T(M₁ × M₂) poate fi scrisă ca o astfel de limită poate fi derivat din teorema Stone-Weirstrass. Vom vedea că această structură a produsului tensorial se aplică și mecanicii cuantice.

Cum rămâne cu stările? O stare pe sistemul compozit este o măsură de probabilitate pe T(M₁ × M₂). Din nou, o astfel de măsură nu trebuie neapărat să fie o măsură de produs, putând fi scrisă ca o combinație convexă de măsuri de produs. De fapt, miracolul mecanicii clasice este că orice stare pură pe T(M₁ × M₂) (care, la urma urmei, este doar un punct în T(M₁ × M₂)) este într-adevăr o stare de produs.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu