Reprezentarea matriceală a qubiților

Atunci când se scrie un singur qubit într-o superpoziție |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, este util să se utilizeze algebra matriceală. În reprezentarea matriceală, un qubit este scris ca un vector bidimensional unde amplitudinile sunt componentele vectorului

|ψ⟩ = (α / β).   (2.5)

Stările |0⟩ și |1⟩ sunt de obicei reprezentate ca

|0⟩ = (1 / 0), |1⟩ = (0 / 1).

Experimental, starea unui qubit poate fi schimbată printr-o acțiune fizică, cum ar fi aplicarea unui laser electromagnetic sau trecerea acestuia printr-un dispozitiv optic. Schimbarea stării unui qubit printr-o acțiune fizică corespunde matematic înmulțirii vectorului qubit |ψ⟩ cu o matrice unitară U, astfel încât, după operație, starea este acum |ψ’⟩ = U |ψ⟩. Unitară este un termen matematic care exprimă faptul că U poate acționa asupra qubitului doar în așa fel încât probabilitatea totală |α|² + |β|² să nu se modifice. O matrice U este unitară dacă produsul matriceal al lui U și transpunerea sa conjugată U^† (numită U-cruce) se înmulțesc pentru a da matricea identitate: UU^† = U^†U = 1. Acest lucru este foarte important deoarece, în toate construcțiile matematice ale mecanicii cuantice, o presupunere fundamentală este că fiecare operator (matriceal) trebuie să fie unitar. Acest lucru asigură că, după schimbarea oricărei stări printr-o acțiune, probabilitatea totală de a observa toate stările posibile va fi însumată în continuare la 100%. Dacă acest lucru nu s-ar întâmpla, atunci nu am putea interpreta rezultatele mecanicii cuantice ca fiind probabilistice, iar rezultatele nu ar fi în concordanță cu numeroasele experimente efectuate până în prezent. Acțiunea fizică de interacțiune cu starea corespunde matematic aplicării unui operator unitar.

Exemple

1. Care este transpunerea conjugată a următoarei matrice?

A = (1 i / 1 i).   (2.7)

Transpunerea conjugată a unei matrice se găsește folosind următorii doi pași. Mai întâi, „conjugăm” numerele complexe. Conjugatul unui număr complex se găsește prin schimbarea semnului părții imaginare. Conjugatul complex al lui 1 este doar 1, în timp ce conjugatul complex al lui +i este —i. În al doilea rând, transpunem matricea conjugată. Transpunerea unei matrice schimbă rândurile cu coloanele, adică primul rând se transformă în prima coloană, al doilea rând se transformă în a doua coloană etc. Prin urmare,

A^† = (1 1 / -i -i)

2. Este matricea A de mai sus unitară?

Înmulțirea lui A cu transpunerea sa conjugată nu produce matricea identitate, deci A nu este unitară.

3. Care este rezultatul aplicării operatorului unitar X pe un qubit cu starea |0⟩?

X = (0 1 / 1 0), |0⟩ = (1 /0).    (2.11)

X|0⟩ = (0 1 / 1 0) (1 /0) = (0 / 1) = |1⟩.   (2.12)

Matricea X schimbă starea de qubit |0⟩ în starea de qubit |1⟩.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0