Spații Hilbert

Reamintim că un produs intern ⟨·|·⟩  pe un spațiu vectorial H peste C este o mapare din H × H → C astfel încât

(1) pentru ϕ ∈ H fixat, maparea ψ → ⟨ϕ|ψ⟩ este liniară;

(2) aplicația este antisimetrică, ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩∗; și

(3) pentru fiecare ϕ ∈ H, ⟨ϕ|ϕ⟩ ≥ 0, cu egalitate dacă și numai dacă ϕ = 0.

Rețineți că antisimetria implică, prin (2), că pentru ψ ∈ H fixat, maparea ϕ → ⟨ϕ|ψ⟩ este liniară conjugată, ceea ce înseamnă că

⟨ϕ1 + αϕ2|ψ⟩ = ⟨ϕ1|ψ⟩ + α∗ ⟨ϕ2|ψ⟩

pentru α ∈ C. Asociată produsului intern este norma

∥ϕ∥ = √(⟨ϕ|ϕ⟩),

și metrica asociată d(ϕ, ψ) = ∥ϕ − ψ∥. Orice produs intern satisface inegalitatea Cauchy-Schwartz

|⟨ϕ|ψ⟩| ≤ ∥ϕ∥∥ψ∥ , (A.1)

așa cum se poate observa prin minimizarea funcției pozitive ∥ϕ + αψ∥², unde α se întinde peste C. Reamintim că un spațiu Hilbert H este un spațiu vectorial al lui C cu un produs intern ⟨·|·⟩ astfel încât H este un spațiu metric complet în raport cu distanța d(ϕ, ψ) = ∥ϕ − ψ∥.

O mapare liniară B : H₁ → H₂ se numește mărginită dacă există o constantă c < ∞ astfel încât

∥Bψ∥H₂ ≤ c∥ψ∥H₁

Cea mai mică astfel de constantă se numește norma lui B și se notează ||B||. Mulțimea tuturor mapărilor liniare mărginite H₁ → H₂ se notează B(H₁,H₂) sau cu B(H₁) în cazul în care H₁ = H₂. O mapare liniară mărginită din H → C se numește funcțională liniară mărginită. Teorema reprezentării Riesz-Frechet afirmă că fiecare funcțională liniară mărginită pe un spațiu Hilbert H este de forma ϕ → ⟨ψ|ϕ⟩ pentru un anumit ψ ∈ H. Având în vedere B ∈ B(H₁,H₂), teorema Riesz-Frechet permite definirea mapării adjuncte B^† ∈ B(H2,H1) prin

⟨B^†ψ|ϕ⟩H₁ = ⟨ψ|Bϕ⟩H₂

pentru ϕ ∈ H₁ și ψ ∈ H₂. O aplicație B ∈ B(H) este auto-adjunctă dacă B = B^† și B ∈ B(H₁,H₂) este unitară dacă B^†B = IH₁ și BB^† = IH₂. În mod echivalent, B este unitară dacă este surjectivă și ||B$||H₂ pentru orice ϕ ∈ H₁.

O mulțime S ⊂ H se numește ortonormală dacă

(1) ∥ϕ∥ = 1 pentru oricare ϕ ∈ S, și

(2) ⟨ϕ|ψ⟩ = 0 pentru ϕ, ψ ∈ S cu ϕ ≠ ψ.

Pentru orice mulțime ortonormală S avem inegalitatea lui Bessel

Σ_ϕ∈S |⟨ϕ|ψ⟩|² ≤ ∥ψ∥²    (A2)

pentru fiecare ψ ∈ H. O mulțime ortonormală este o bază ortonormală dacă egalitatea este valabilă în inegalitatea lui Bessel pentru fiecare ψ sau, în mod echivalent, că S este o mulțime ortonormală maximală. Folosind lema lui Zorn se poate demonstra că fiecare spațiu Hilbert are o bază ortonormală.

Un spațiu Hilbert H se numește separabil dacă are o submulțime densă numărabilă. Este un fapt că H este separabil dacă și numai dacă fie

(1) dimH < ∞,, fie

(2) H are o bază ortonormală numărabilă.

Majoritatea spațiilor Hilbert care apar în practică sunt separabile. De exemplu, L²(Rⁿ) este separabil pentru fiecare n și l²(N) este separabil etc. Orice două spații Hilbert de dimensiune infinită, separabile, sunt izomorfe ca spații Hilbert, adică există o mapare unitară între ele[1]. Pentru a vedea acest lucru, fie H_j, j = 1, 2 separabile și infinite cu baze ortonormale ϕ^(j)₁, ϕ^(j)₂, pentru j = 1,2. Având în vedere ψ ∈ H₁, fie

U_ψ = Σ^∞_k=1 |⟨ϕ⁽¹⁾_k|ψ⟩ϕ⁽²⁾_k .

Se poate demonstra că seria din partea dreaptă este absolut convergentă și maparea rezultată este unitară.

Nota

[1] Mai general, se poate defini dimensiunea spațiului Hilbert a unui spațiu Hilbert ca fiind cardinalitatea unei mulțimi ortonormale maximale. Orice două spații Hilbert de aceeași cardinalitate sunt izomorfe.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu