Analiza Fourier

(Semnalul de timp pentru chitara bas cu nota fundamentală A (55 Hz).)

(Transformarea Fourier a semnalului de timp al chitării bas cu nota fundamentală A (55 Hz). Analiza Fourier dezvăluie componentele oscilante ale semnalelor și funcțiilor.)

În matematică, analiza Fourier este studiul modului în care funcțiile generale pot fi reprezentate sau aproximate prin sume de funcții trigonometrice mai simple. Analiza Fourier s-a dezvoltat pornind de la studiul seriei Fourier, și este numită după Joseph Fourier, care a arătat că reprezentarea unei funcții ca o sumă a funcțiilor trigonometrice simplifică foarte mult studiul transferului de căldură.

Astăzi, subiectul analizei Fourier cuprinde un vast spectru al matematicii. În științe și inginerie, procesul de descompunere a unei funcții în componente oscilante este adesea numit analiză Fourier, în timp ce operația de reconstrucție a funcției din aceste piese este cunoscută sub denumirea de sinteza Fourier. De exemplu, determinarea frecvențelor componentelor prezente într-o notă muzicală ar implica calcularea transformării Fourier a unei note muzicale eșantionate. S-ar putea re-sintetiza același sunet prin includerea componentelor de frecvență așa cum au fost descoperite în analiza Fourier. În matematică, termenul de analiză Fourier se referă adesea la studiul ambelor operații.

Procesul de descompunere este numit transformare Fourier. Ieșirea lui, transformata Fourier, are adesea un nume mai specific, care depinde de domeniu și alte proprietăți ale funcției care se transformă. Mai mult decât atât, conceptul original al analizei Fourier a fost extins în timp pentru a se aplica situațiilor tot mai abstracte și generale, iar domeniul general este adesea cunoscut sub numele de analiză armonică. Fiecare transformată folosită pentru analiză are o transformată inversă corespunzătoare care poate fi utilizată pentru sinteză.

Aplicații

Analiza Fourier are multe aplicații științifice – în fizică, ecuații diferențiale parțiale, teoria numerelor, combinatorice, procesarea semnalelor, prelucrarea imaginilor digitale, teoria probabilităților, statistici, criminalistică, prețuri opționale, criptografie, analiză numerică, acustică, oceanografie, sonar, geometrie, analiza structurii proteinelor și alte domenii.

Această aplicabilitate largă rezultă din multe proprietăți utile ale transformatelor:

• Transformatele sunt operatori liniari și, cu o normalizare adecvată, sunt și unitare (o proprietate cunoscută ca teorema lui Parseval sau, mai general, ca teorema lui Plancherel și, în general, prin dualitatea Pontryagin).
• Transformatele sunt de obicei inversabile.
• Funcțiile exponențiale sunt funcțiile eigenfuncționale ale diferențierii, ceea ce înseamnă că această reprezentare transformă ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienții constanți în cele obișnuite algebrice. Prin urmare, comportamentul unui sistem liniar invariant de timp poate fi analizat la fiecare frecvență independent.
• Prin teorema de convoluție, transformatele Fourier transformă operația de convoluție complicată într-o multiplicare simplă, ceea ce înseamnă că acestea oferă o modalitate eficientă de a calcula operațiile bazate pe convoluție, cum ar fi multiplicarea polinomilor și multiplicarea numerelor mari.
• Versiunea discretă a transformatei Fourier poate fi evaluată rapid pe calculatoare utilizând algoritmi pentru transformata rapidă Fourier.

În criminalistică, spectrofotometrele cu infraroșu de laborator utilizează analiza transformatei Fourier pentru măsurarea lungimilor de undă ale luminii la care un material va absorbi în spectrul infraroșu. Metoda transformatei Fourier este utilizată pentru a decoda semnalele măsurate și a înregistra datele de lungime de undă. Și prin utilizarea unui calculator, aceste calcule Fourier sunt efectuate rapid, astfel încât într-o secundă, un astfel de instrument operat de calculator poate produce un model de absorbție în infraroșu comparabil cu cel al unui instrument cu prismă.

Transformarea Fourier este de asemenea utilă ca o reprezentare compactă a unui semnal. De exemplu, compresia JPEG folosește o variantă a transformării Fourier (transformare discretă a cosinusului) de bucăți mici de pătrat dintr-o imagine digitală. Componentele Fourier ale fiecărui pătrat sunt rotunjite la o precizie aritmetică inferioară, iar componentele slabe sunt eliminate în întregime, astfel încât componentele rămase să poată fi stocate foarte compact. În reconstrucția imaginilor, fiecare pătrat de imagine este reasamblat din componentele convertite Fourier conservate, care sunt apoi transformate invers pentru a produce o aproximare a imaginii originale.

Aplicații în procesarea semnalelor

Când se procesează semnale, cum ar fi audio, undele radio, undele seismice și chiar imaginile, analiza Fourier poate izola componentele de bandă îngustă ale unei forme de undă combinate, concentrându-le pentru a fi detectate sau îndepărtate mai ușor. O familie mare de tehnici de procesare a semnalelor constă în transformarea unui semnal Fourier, manipularea datelor transformate Fourier într-un mod simplu și inversarea transformării.

Câteva exemple includ:

• Egalizarea înregistrărilor audio cu o serie de filtre de bandă;
• Recepție radio digitală fără circuit superheterodyne, ca într-un telefon mobil modern sau scaner radio;
• Procesarea imaginilor pentru a elimina artefacte periodice sau anisotropice cum ar fi jaggii din video întrețesut, artefacte de benzi din fotografierea aeriană a benzilor sau modele de unde de la interferențe radio frecvente într-o cameră digitală;
• Corelarea încrucișată a imaginilor similare pentru co-aliniere;
• Cristalografia cu raze X pentru a reconstrui o structură de cristal din modelul său de difracție;
• Spectrometria de masă de rezonanță ciclotronică cu ioni și transformare Fourier pentru a determina masa ionilor din frecvența mișcării ciclotronice într-un câmp magnetic;
• Multe alte forme de spectroscopie, inclusiv spectroscopiile de rezonanță magnetică în infraroșu și nucleare;
• Generarea de spectrograme de sunet utilizate pentru analiza sunetelor;
• Sonarul pasiv folosit pentru clasificarea țintelor pe baza zgomotului mașinilor.

Interpretarea în termeni de timp și frecvență

În procesarea semnalelor, transformata Fourier ia adesea o serie de timp sau o funcție de timp continuu și o cartografiază într-un spectru de frecvență. Aceasta înseamnă că ia o funcție din domeniul timpului în domeniul frecvenței; este o descompunere a unei funcții în sinusoide de frecvențe diferite; în cazul unei serii Fourier sau a unei transformate Fourier discrete, sinusoidele sunt armonice ale frecvenței fundamentale a funcției analizate.

Atunci când funcția f este o funcție a timpului și reprezintă un semnal fizic, transformata are o interpretare standard ca spectrul de frecvență al semnalului. Amplitudinea funcției F complexe cu valoare evaluată la frecvența ω reprezintă amplitudinea unei componente de frecvență a cărei fază inițială este dată de faza lui F.

Transformările Fourier nu se limitează la funcțiile de timp și frecvențe temporale. Ele pot fi aplicate în egală măsură pentru a analiza frecvențele spațiale și, într-adevăr, pentru aproape orice domeniu de funcții. Acest lucru justifică utilizarea lor în domenii precum prelucrarea imaginilor, conducția căldurii și controlul automat.