(Pentru suprafețele compacte bidimensionale fără limită, dacă fiecare buclă poate fi restrânsă continuu într-un punct, atunci suprafața este topologică homeomorfă la o sferă S2 (numită, de obicei, doar sferă). Conjectura Poincaré, dovedită de Grigori Perelman, afirmă că același lucru este valabil și pentru spațiile tridimensionale. Credit: Salix alba/English Wikipedia, licența CC BY-SA 3.0)
În matematică, conjenctura Poincaré este o teoremă despre caracterizarea sferei S3, care este hipersfera care mărginește sfera unitară în spațiul patru-dimensional. Conjectura prevede:
Orice varietate topologică de grad 3, M3, conectată simplu, închisă, este homeomorfică cu sfera de grad 3 S3.
O formă echivalentă a conjecturii presupune o formă mai grosieră de echivalență decât homeomorfismul, numită echivalență homotopică: dacă o varietate topologică de grad 3 M3 este un echivalent homotopic la sfera S3, atunci ea este în mod necesar homeomorfă la ea.
Inițial conjecturată de Henri Poincaré, teorema se referă la un spațiu care arată local ca un spațiu tridimensional obișnuit, dar este conectat, de dimensiuni finite și nu are nicio limită (o varietate topologică închisă de grad 3 M3). Conjectura Poincaré susține că dacă un astfel de spațiu are proprietatea suplimentară că fiecare buclă din spațiu poate fi restrânsă continuu într-un punct, atunci este în mod necesar o sferă tridimensională. Conjencturile analoge pentru toate dimensiunile superioare au fost deja dovedite.
(Niciuna din cele două bucle colorate de pe acest tor nu poate fi restrânsă permanent într-un punct. Un tor nu este homeomorf al unei sfere.)
Soluţie
După aproape un secol de efort al matematicienilor, Grigori Perelman a prezentat o demonstrație a conjencturii în trei lucrări puse la dispoziție în 2002 și 2003 pe arXiv. Demonstrația este construită pe programul lui Richard S. Hamilton de a folosi fluxul Ricci pentru a încerca rezolvarea problemei. Hamilton a introdus mai târziu o modificare a fluxului standard Ricci pentru a acționa în mod sistematic regiunile singulare pe măsură ce acestea se dezvoltă, într-un mod controlat, dar nu a putut dovedi această metodă „convergentă” în trei dimensiuni. Perelman a completat această parte a probei. Mai multe echipe de matematicieni au confirmat că demonstrația lui Perelman a fost corectă.
Conjectura Poincaré, înainte de a fi dovedită, a fost una dintre cele mai importante probleme nerezolvate din topologie. În 2000, a fost numită drept una dintre cele șapte probleme ale Premiului Mileniului, pentru care Institutul de Matematică Clay a oferit un premiu de 1.000.000 de dolari pentru prima soluție corectă. Lucrarea lui Perelman a supraviețuit revizuirii și a fost confirmată în 2006, ducând la oferirea unei medalii Fields, pe care acesta a refuzat-o. Perelman a primit Premiul Mileniului pe 18 martie 2010. Pe 1 iulie 2010, el a refuzat și premiul spunând că a crezut că aportul său în demonstrarea presupunerii Poincaré nu este mai mare decât cel al lui Hamilton (care a sugerat mai întâi utilizarea fluxului Ricci pentru soluție ). Începând din 2017, conjenctura Poincaré este singura problemă rezolvată din cele șapte.
Pe 22 decembrie 2006, revista Science a onorat demonstrația lui Perelman a conjecturii Poincaré ca „descoperirea științifică a anului”, prima dată când această onoare a fost acordată în domeniul matematicii.
Forma universului prin conjectura lui Poincaré
Universul Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker corespunde unei raze de timp în evoluție a unui spațiu S3. Se susține că, dacă acest univers este modificat în M3, la sfârșitul accelerației poate produce o tranziție de fază, schimbând M3 într-un spațiu de curbură constantă care corespunde exact unei faze de Sitter asociate cu S3. Un alt punct de vedere este că, de vreme ce conjectura geometrizării (o generalizare a conjecturii Poincaré) necesită o înțelegere a tuturor geometriilor omogene la nivel local pe trei varietăți topologice închise, folosind fluxul Ricci se poate considera clasificarea Bianchi folosită pentru studierea modelelor cosmologice. Ceea ce se poate adăuga la acest scenariu este că o astfel de tranziție poate necesita o torsiune pentru a face S3 (sau alte modele cosmologice Bianchi) paralelizabile.
(Traducere din Wikipedia)
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Știința – Filosofia științei
Adăugați această lucrare remarcabilă în biblioteca dvs. și faceți un pas înainte spre o înțelegere mai profundă a lumii în care trăim.
Lasă un răspuns