Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica » Vectori în trei dimensiuni

Vectori în trei dimensiuni

Pentru a specifica locația unui punct în spațiu, avem nevoie de trei coordonate (x, y, z), unde coordonatele x și y specifică locațiile într-un plan, iar coordonatele z oferă o poziție verticală deasupra sau sub plan. Spațiul tridimensional are trei direcții ortogonale, așa că nu avem nevoie de doi, ci de trei vectori unitari pentru a defini un sistem de coordonate tridimensional. În sistemul de coordonate carteziene, primii doi vectori unitari sunt vectorul unitar al axei x și vectorul unitar al axei y . Al treilea vector unitar este direcția axei z (Figura 2.21). Ordinea în care sunt etichetate axele, care este ordinea în care apar cei trei vectori unitari, este importantă deoarece definește orientarea sistemului de coordonate. Ordinea x-y-z, care este echivalent cu ordinea , definește sistemul de coordonate standard pentru spre dreapta (orientare pozitivă).

rei vectori unitari definesc un sistem cartezian în spațiul tridimensional.Figura 2.21 Trei vectori unitari definesc un sistem cartezian în spațiul tridimensional. Ordinea în care apar acești vectori unitari definește orientarea sistemului de coordonate. Ordinea prezentată aici definește orientarea pentru dreapta.

În spațiul tridimensional, vectorul A are trei componente vectoriale: componenta x Ax = Axiˆ, care este partea vectorului A de-a lungul axei x; componenta y Ay = Ayjˆ, care este partea lui A de-a lungul axei y; și componenta z Az = Azkˆ, care este partea vectorului de-a lungul axei z. Un vector în spațiul tridimensional este suma vectorială a celor trei componente vectoriale ale sale (Figura 2.22):

(2.19)   A = Axiˆ + Ayjˆ + Azkˆ.

 

Dacă știm coordonatele originii sale b(xb,yb,zb) și ale capătului său e(xe,ye,ze), componentele sale scalare se obțin luând diferențele lor: Ax și Ay sunt date de ecuația 2.13 și componenta z este data de

(2.20)   Az = ze − zb.

Mărimea A se obține prin generalizarea ecuației 2.15 la trei dimensiuni:

(2.21)   A = √(A2x + A2y + A2z).

 

Această expresie pentru mărimea vectorială provine din aplicarea de două ori a teoremei lui Pitagora. După cum se vede în figura 2.22, diagonala din planul xy are lungimea √(A2x + A2y) și pătratul său se adaugă la pătratul A2z pentru a da A2. Rețineți că atunci când componenta z este zero, vectorul se află în întregime în planul xy și descrierea sa este redusă la două dimensiuni.

Un vector în spațiul tridimensional este suma vectorială a celor trei componente vectorialeFigura 2.22 Un vector în spațiul tridimensional este suma vectorială a celor trei componente vectoriale ale sale.

EXEMPLUL 2.7

Decolarea unei drone

În timpul unei decolări a lui IAI Heron (Figura 2.23), poziția sa față de un turn de control este la 100 m deasupra solului, la 300 m la est și la 200 m la nord. Un minut mai târziu, poziția sa este la 250 m deasupra solului, la 1200 m la est și la 2100 m la nord. Care este vectorul de deplasare al dronei în raport cu turnul de control? Care este mărimea vectorului său de deplasare?

Drona IAI Heron în zbor.
Credit: SSgt Reynaldo Ramon, USAF

Figura 2.23 Drona IAI Heron în zbor.

Strategie

Luăm originea sistemului de coordonate carteziene drept turn de control. Direcția axei +x este dată de vectorul unitar la est, direcția axei +y este dată de vectorul unitar la nord, iar direcția axei +z este dată de vectorul unitar , care arată în sus de la sol. Prima poziție a dronei este originea (sau, în mod echivalent, începutul) vectorului de deplasare, iar a doua poziție este sfârșitul vectorului de deplasare.

Soluție

Identificăm b(300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) și e(1200 m, 2100 m, 250 m) și folosim ecuația 2.13 și ecuația 2.20 pentru a găsi componentele scalare ale vectorului deplasare al dronei:

Dx = xe – xb = 1200,0 m − 300,0 m = 900,0 m,

Dy = ye – yb = 2100,0 m − 200,0 m = 1900,0 m,

Dz = ze – zb = 250,0 m − 100,0 m = 150,0 m

Înlocuim aceste componente în ecuația 2.19 pentru a găsi vectorul deplasare:

D = Dxiˆ + Dyjˆ + Dzkˆ = 900,0 m iˆ + 1900,0 m jˆ + 150,0 m kˆ = (0,90iˆ + 1,90jˆ + 0,15kˆ) km.

Înlocuim în ecuația 2.21 pentru a afla magnitudinea deplasării:

D = √(D2x + D2y + D2z) = √((0,90 km)2 + (1,90 km)2 + (0,15 km)2) = 2,11 km.

 

EXERCIȚIUL 2.7

Dacă vectorul viteză medie al dronei în deplasarea din Exemplul 2.7 este u = (15,0iˆ + 31,7jˆ + 2,5kˆ) m/s, care este mărimea vectorului viteză al dronei?

 

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.

Nu a fost votat 23.89 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *