Axiomele și postulatele lui Euclid

 (Un fragment al elementelor lui Euclid din papirusul Oxyrhynchus)

Mulți matematicieni din epoca modernă timpurie au crezut că axiomele și postulatele erau, de fapt, demonstrabile din definiții. Ele erau considerate ca fiind suficient de evidente în sine. Câteva dintre edițiile lui Euclid au dovedit în mod explicit axiomele și postulatele; Clavius a dat demonstrații pentru toate principiile matematice, cu excepția definițiilor. Apoi s-a ajuns la controversa dacă este sau nu util să se demonstreze axiomele. Un nou dezacord se referea la criteriul care urma să fie aplicat pentru a distinge un principiu de o teoremă (întrucât ambele sunt valabile); răspunsul cel mai răspândit a fost că, în timp ce o axiomă sau un postulat este imediat dovedit din definiții, o teoremă se dovedește numai mediat din aceste din urmă (și din alte teorii și din alte axiome), însă noțiunea de „imediat” a rămas destul de vagă. Există un sens în care numai definițiile s-au considerat principiile adecvate ale matematicii, în timp ce axiomele și postulatele erau adesea considerate ca fiind declarații derivate.

Sistemul de definiții a fost, de obicei, modificat numai în privința preocupărilor fundamentale care nu au afectat tratamentul matematic suplimentar. Axiomele și postulatele derivate (sau care ar trebui derivate) din aceste definiții sunt afirmațiile care sunt utilizate în mod corespunzător în demonstrații și care, prin urmare, afectează structura deductivă a elementelor.

O serie de definiții noi au avut consecințe reale pentru axiomatici, valabil mai ales pentru definirea unei linii drepte.

Principii vechi (grupurile 1 și 2)

Lista euclidiană a cinci Postulate și cinci Noțiuni Comune urmează ediției lui Heiberg. Principiile suplimentare sunt atribuite lui Pappus în principal; ele nu sunt niciodată formulate ca axiome într-un sistem de principii.

Câteva postulate și-au schimbat formularea în diferite ediții ale Elementelor.

Teoria magnitudinilor (grupele 3 și 4)

Includ câteva principii care sunt prelungiri evidente ale noțiunilor comune euclideene și care se referă la mereologie, adăugare și scădere mereologică, egalitate și relații de ordine între magnitudine. Aceste principii erau adesea privite ca axiome principale ale mathesis universalis, adică a unei teorii matematice care aspira să cuprindă atât geometria, cât și aritmetica. Multe dintre ele au fost ulterior aplicate în teoria proporțiilor, care a fost concepută și de unii autori ca o formă de matematică universală. O serie dintre ele sunt legate în special de axiomele aritmetice și pot fi, de fapt, combinate cu acestea; motivul este că numerele înșiși erau adesea concepute ca colecții de unități și, prin urmare, regulile compoziției și divizării numerelor erau declarate ca operațiuni mereologice. Axiomele pe care le-am enumerat în categoria teoriei numerelor ar trebui, prin urmare, integrate cu principiile privind suma, scăderea și multiplicarea magnitudinilor.

Multe dintre principiile enumerate aici se referă la tranzitivitatea unei anumite relații sau operații și de obicei vizează stabilirea unei relații de echivalență de un fel. Alte principii se referă direct la substitutivitatea mărimilor echivalente în mai multe contexte. Totuși, alte principii au ca scop furnizarea unei structuri de ordonare a magnitudinilor (deși acestea nu trebuie confundate cu axiomele geometrice lipsă de ordine) și, în acest sens, au fost concepute și exprimate anumite axiome pe trichotomie.

Se poate observa că multe dintre principiile de aici au fost introduse în timpul Renașterii (de Lefèvre, Commandino și Clavius) și că ele erau de fapt printre primele axiome nou concepute pentru Elemente.  În multe privințe, aceste principii pot fi considerate a constitui preistoria încercărilor ulterioare făcute spre axiomatizarea relațiilor algebrice.

Teoria proporțiilor și Axioma lui Arhimede (Grupurile 5 și 6)

Teoria proporțiilor, care se găsește în Cartea V a Elementelor, este probabil acea parte a matematicii elementare care a suferit, în istoria corpusului euclidian, cea mai mare modificare. Se bazează în întregime pe un sistem complex de definiții, posibil conceput de Eudoxus, care a suferit corupții textuale grave în Evul Mediu și care a afectat toate traducerile latine medievale. Pe de altă parte, a fost dezvoltată o nouă teorie nouă în lumea arabă (din câteva sugestii din surse clasice), așa-numita teorie antafiretică a rapoartelor, care totuși nu a fost niciodată axiomaticată și redusă la principii. Semnificația inițială a teoriei expuse în Cartea V a Elementelor a fost recuperată în timpul Renasterii, iar restituirea lui Euclid pe această temă a fost, de fapt, scopul multor ediții filologice. Mai târziu, a fost acceptat pe scară largă și a început să fie considerat cel mai înalt punct al construcției matematice a elementelor.Teoria proporției a fost adoptată ca principalul instrument matematic pentru a exprima legile naturii la începutul revoluției științifice. Teoria treptat a dispărut în a doua jumătate a secolului, când algebra și analiza au luat locul ei ca instrumente cu care natura ar putea fi matematizată.

Multe dintre eforturile ulterioare au vizat, de asemenea, o reformare a definițiilor euclidiene. Multe dintre primele propoziții din cartea V a elementelor au fost folosite ca axiome; ideea generală a fost că acestea erau consecințe imediate ale definițiilor eudoxiene dificile sau discutabile și că ar putea să le înlocuiască, în acest caz, ca principii mai clare.

Legată strâns de teoria magnitudinilor și de teoria rapoartelor este așa numita Axiomă al lui Archimedes și noțiunea de cantități arhimede, care a fost formulată pentru prima oară de Euclid (sau de Eudoxus) ca o definiție fundamentală în teoria rapoartelor.

Principiile aritmeticii (Grupul 7)

Euclid nu a inclus principii (cu excepția definițiilor) în cărțile aritmetice ale Elementelor. Motivele aritmeticii sale tratate în mod diferit față de geometrie în acest fel sunt greu de precizat. Epistemologia epocii lui Euclid nu a cerut nici nu a permis utilizarea sub orice formă a axiomelor specifice subiectului. Noțiunea acestei epoci a fost că o știință perfectă ar trebui să se bazeze doar pe definiții și pe legile generale logice, fără a se recurge la niciun alt principiu specific. Postulatele au fost permise în cărțile geometrice pentru a răspunde la câteva obiecții sofisticate și au intenționat să justifice acele construcții auxiliare necesare în demonstrații, dar deoarece demonstrațiile aritmetice au fost considerate a nu avea nevoie de niciun element pregătitor și ca să fie susceptibile a fi realizate într-un mod pur demonstrativ, nu a fost adăugat niciun postulat în Cartea a VII-a. În concluzie, chiar posibilitatea axiomelor aritmetice specifice era de neconceput cu Euclid, și prima lor apariție a devenit posibilă numai în epoca elenă târzie. Concepția antică a unui sistem de axiome a fost foarte diferită de a noastră și nevoia de principii într-un anumit domeniu nu a fost văzută, în Antichitate, ca o necesitate logică (pentru  definirea unui astfel de domeniu), ci mai degrabă ca o caracteristică defectuoasă a unei științe imperfecte care trebuia să facă presupuneri pentru a-și justifica dezvoltarea.

Absența principiilor aritmetice în Elemente a avut consecințe importante pentru istoria ulterioară a matematicii și a epistemologiei. Fundamentele aritmeticii au rămas o problemă care a fost aproape neglijată până la marile construcții formale din secolul al XIX-lea (de Dedekind, Frege și Peano, de exemplu). Kant, în Critica rațiunii pure, încerca o justificare filosofică a faptului că geometria are axiome, în timp ce aritmetica nu are principii proprii.

Primul volum tipărit al Elementelor (1482) sa bazat pe ediția medievală Campano da Novara (secolul al XIII-lea), care a precedat Cartea VII a Elementelor cu patru postulate și zece noțiuni comune care se refereau la aritmetică, constituind astfel o primă încercare de axiomatizare a teoriei numerelor. Edițiile importante ale lui Euclid de către Commandino și Clavius ​​au urmat textul grecesc, dar au considerat că este util, în scopuri fundamentale, să interpoleze axiomele aritmetice Campano în Cartea a VII-a.

Campano, care era mai mult compilator decât un traducător, a luat cele 14 principii ale cărții VII din două surse diferite: Aritmetica lui Jordanus de Nemore și traducerea elementelor, din arabă a lui Ioan de Tynemouth (secolul al treisprezecelea).

Jordanus a fost un matematician foarte bun și poate să fi inventat sistemul său exclusiv în vederea furnizării de principii pentru aritmetică. Două dintre principiile sale se găsesc deja în Proclus; acestea sunt totuși doar interpolări din textul lui Euclid, iar Jordanus le-a re-interpolat.

Problema unei posibile axiomatizări grecești a aritmeticii este, în orice caz, relevantă. Nici o lucrare aritmetică greacă nu menționează în mod explicit niciun principiu în afară de definiții.

Principii privind spațiul și situația (Grupul 8)

Principii generale care sunt mai mult filosofice decât matematice, dar care totuși se bucură de o semnificație geometrică importantă. Multe dintre ele provin de la Della nuova geometria a lui Francesco Patrizi (1587) și de la Introducere în geometrie (1655) a lui Pascal. Importanța acestor două lucrări constă în susținerea că geometria ar trebui privită ca știința spațiului, o afirmație care reprezintă o poziție epistemologică destul de nouă în secolele XVI și XVII. Noua concepție că sarcina adecvată și esențială a geometriei de a investiga spațiul și relațiile spațiale este o viziune care este întâlnită mai întâi în lucrarea lui Patrizi ; câteva decenii mai târziu, reapare în introducerea nepublicată a lui Pascal în geometrie, care a influențat încercarea lui Leibniz de a stabili o nouă geometrie a spațiului.

Geometria proiectivă și geometria non-euclidiană sunt pur și simplu de neconceput fără noțiunea de spațiu geometric și mai multe principii care întemeiază geometria modernă în secolul al XIX-lea nu se pot referi decât la concepte spațiale sau poziționale (inclusiv axiomele de ordine menționate mai sus ). De asemenea, putem observa că, în acest grup de axiome, o serie de principii menționează de asemenea tridimensionalitatea spațiului, o axiomă care nu a fost niciodată asumată în mod explicit înainte de Renașterea târzie.

Principiile incidenței și continuității (grupurile 9 și 10)

Considerațiile dimensionale sunt totuși centrale în axiomele incidenței, deoarece acestea se referă la intersecțiile diferitelor figuri geometrice. Axiomele din această categorie se numără printre cele mai interesante și au supraviețuit în forme mai intacte în axiomatizări moderne (cum ar fi la Hilbert). Importanța lor constă în caracterizarea entităților geometrice foarte elementare, cum ar fi o linie dreaptă; în absența definițiilor exacte ale acestor noțiuni, axiomele de aici au constituit adevăratele principii folosite în demonstrații. În timp ce originea mai multor aceste axiome se găsește în comentariile grecești, mult mai multe au fost adăugate de Clavius și de Borelli.

Axiomatizările timpurii moderne au încercat să rezolve problema conexiunii spațiale prin intermediul unei game largi de principii geometrice corecte. Mai multe dintre ele au fost dezvoltate în cadrul discuției despre dovada Elementelor 1.1, în care un număr de matematicieni credeau că pot identifica un decalaj demonstrativ

Principii de congruență și egalitate (Grupurile 11 și 12)

Aceste axiome se referă la egalitatea de măsură a diferitelor figuri și, prin urmare, la noțiunea de congruență.

Axiomele din grupa 11 se referă în mod special la mișcarea rigidă a figurilor și oferă o vedere (foarte parțială) asupra acelor nenumărate dezbateri cu privire la folosirea și abuzul de mișcare în geometrie, care începuseră deja în Evul Mediu Arabic, dar care au găsit începutul lor oficial în Occident, cu critica lui Pelletier (1557) din dovada lui Euclid despre Elementele I, 4 prin suprapunere. Grupul include de asemenea câteva postulate care permit în mod direct reproductibilitatea unei figuri date într-un alt loc și pot fi, prin urmare, strâns legate de axiomele situației (Grupa 8), deoarece acestea din urmă se referă, de asemenea, la diferitele poziții spațiale ale figurilor congruente.

Axiomele din grupa 12 nu folosesc construcții sau deplasări, ci mai degrabă stabilesc criterii abstracte pentru egalitatea măsurii.

Postulatul paralelelor (Grupul 13)

Ultimul grup de principii enumeră câteva alternative la postulatul paralelelor, care au fost concepute să înlocuiască principiul euclidian. Multe încercări de a demonstra postulatul euclidian s-au realizat prin folosirea unor definiții diferite ale liniilor paralele, dintre care cel mai faimos este că două linii drepte sunt paralele dacă sunt echidistante declarația însăși echivalează cu Postulatul, dacă se presupune existența acestor linii echidistante).

Axioma poate fi privită ca un principiu care indică existența unor linii drepte echidistante și arată o bună înțelegere a faptului că definiția nu ar fi suficientă în acest sens decât dacă s-ar putea dovedi (sau presupune) că liniile sunt posibile (ceva ce este echivalent cu acceptarea axiomei).

Am inclus, de asemenea, în această categorie două principii auxiliare, o reluare a demonstrației lui Ptolemeu despre Elementele I, 28 (o afirmație contrară a Postulatului paralelelor, care este demonstrat fără el) bazată pe simetrie, pe care Richard a găsit-o atât de generală în aplicarea sa, încât merită să fie inclusă în axiome. Cu toate acestea, principiul lui Aristotel poate juca un rol important în fundamentele geometriei, deoarece se poate dovedi că, dacă acceptăm câteva declarații foarte fundamentale despre continuitatea geometrică, acceptarea principiului lui Aristotel este de fapt suficientă pentru a accepta toată Axioma lui Arhimede pentru magnitudine geometrice.

(Sursa: The development of Euclidean axiomatics – The systems of principles and the foundations of mathematics in editions of the Elements in the Early Modern Age – Vincenzo De Risi)

Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99 – $35.00 Selectează opțiunile

Ghidul autorului de cărţi electronice

Ai scris o carte. Foarte frumos. Dar nu ai scris-o pentru a o ţine pentru tine. Trebuie să o publici. Problema e că editurile percep preţuri foarte mari pentru buzunarele unora dintre autori, şi aceasta în mod obiectiv, datorită costurilor … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99 Selectează opțiunile

Singularitățile ca limite ontologice ale relativității generale

Singularitățile la care se ajunge în relativitatea generală prin rezolvarea ecuațiilor lui Einstein au fost și încă mai sunt subiectul a numeroase dezbateri științifice: Există sau nu, singularități? Big Bang a fost o singularitate inițială? Dacă singularitățile există, care este … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $0.00 – $2.19 Selectează opțiunile