Home » Articole » RO » Educaţie » Puzzle » Limita surprinzătoare

Limita surprinzătoare

postat în: Matematica, Puzzle 0

Arătați că

limn→∞ n sin(2πn!e) = 2π

(se poate calcula în gând!)

Ajutor:

  • Folosiți extensia în serie a lui e:

e = 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4! + …

  • sin este o funcție periodică cu periodicitatea .
Teste de inteligență, probleme de logică, puzzle și amuzamente matematice - Volumul 2
Teste de inteligență, probleme de logică, puzzle și amuzamente matematice – Volumul 2

O culegere de puzzle-uri, amuzamente, paradoxuri și teste de inteligență prezentate de un maestru al ingeniozității matematice. Primele amuzamente matematice au apărut din momentul în care omul a reușit pentru prima dată să-și numere cele zece degete și să împartă … Citeşte mai mult

Nu a fost votat 4.317.73 Selectează opțiunile
Teste de inteligență, probleme de logică, puzzle și amuzamente matematice - Volumul 1
Teste de inteligență, probleme de logică, puzzle și amuzamente matematice – Volumul 1

de Henry Ernest Dudeney O culegere de puzzle-uri, amuzamente, paradoxuri și teste de inteligență prezentate de un maestru al ingeniozității matematice. Primele amuzamente matematice au apărut din momentul în care omul a reușit pentru prima dată să-și numere cele zece … Citeşte mai mult

Nu a fost votat 4.316.71 Selectează opțiunile
[showhide type=”post” more_text=”CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS” less_text=”ASCUNDE”]

Expandați argumentul lui sin:

2πn!e = 2πn! + 2πn!/2 + 2πn!/3! + 2πn!/4! + …

Întrucât sinusul este o funcție periodică, adăugarea sau scăderea multiplilor de 2π nu poate schimba rezultatul, astfel primii termeni din partea dreaptă pot fi eliminați (acești primi termeni pentru care n!/z! este un număr întreg, astfel n este mai mare sau egal cu z) și rămânem cu

limn→∞ n sin(2πn!e) = limn→∞ n sin(2π/(n + 1) + 2π/((n +1)(n + 2)) +…)

Întrucât sin(x) ≈ x +… pentru x mic (expansiunea Taylor a sinusului), limita este

limn→∞ n sin(2π/(n + 1)) = limn→∞ n∙2π/(n + 1) = 2π

[/showhide]

Faci un comentariu sau dai un răspuns?

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *