'/%3E%3C/svg%3E){kind=small}
Arătați că
limn→∞ n sin(2πn!e) = 2π
(se poate calcula în gând!)
Ajutor:
- Folosiți extensia în serie a lui e:
e = 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4! + …
- sin este o funcție periodică cu periodicitatea 2π.
Teste de inteligență, probleme de logică, puzzle și amuzamente matematice – Volumul 1
Transformă timpul liber într-o experiență memorabilă și educativă cu această colecție extraordinară.
Expandați argumentul lui sin:
2πn!e = 2πn! + 2πn!/2 + 2πn!/3! + 2πn!/4! + …
Întrucât sinusul este o funcție periodică, adăugarea sau scăderea multiplilor de 2π nu poate schimba rezultatul, astfel primii termeni din partea dreaptă pot fi eliminați (acești primi termeni pentru care n!/z! este un număr întreg, astfel n este mai mare sau egal cu z) și rămânem cu
limn→∞ n sin(2πn!e) = limn→∞ n sin(2π/(n + 1) + 2π/((n +1)(n + 2)) +…)
Întrucât sin(x) ≈ x +… pentru x mic (expansiunea Taylor a sinusului), limita este
limn→∞ n sin(2π/(n + 1)) = limn→∞ n∙2π/(n + 1) = 2π
Descoperă mai multe la MultiMedia
Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.
Lasă un răspuns