Limita surprinzătoare

Expandați argumentul lui sin:

2πn!e = 2πn! + 2πn!/2 + 2πn!/3! + 2πn!/4! + …

Întrucât sinusul este o funcție periodică, adăugarea sau scăderea multiplilor de 2π nu poate schimba rezultatul, astfel primii termeni din partea dreaptă pot fi eliminați (acești primi termeni pentru care n!/z! este un număr întreg, astfel n este mai mare sau egal cu z) și rămânem cu

lim_n→∞ n sin(2πn!e) = lim_n→∞ n sin(2π/(n + 1) + 2π/((n +1)(n + 2)) +…)

Întrucât sin(x) ≈ x +… pentru x mic (expansiunea Taylor a sinusului), limita este

lim_n→∞ n sin(2π/(n + 1)) = lim_n→∞ n∙2π/(n + 1) = 2π