Sisteme neinseparate și sisteme inseparate în tehnologiile cuantice

Sisteme neinseparate

Este posibil să existe un sistem de particule care nu sunt inseparate între ele. În acest caz, schimbarea unei particule nu va cauza nicio modificare a celeilalte particule. De exemplu, într-un sistem clasic, aruncarea a două monede și măsurarea unei monede ca fiind cap nu oferă nicio informație despre dacă cealaltă monedă va cădea pe cap sau pajură. Se spune că aceste evenimente sunt independente. Dacă ați dori să calculați probabilitatea lui |HT⟩, ați înmulți pur și simplu probabilitatea de a obține H pe moneda #1 cu probabilitatea de a obține T pe moneda #2. Aceasta este dată de

Prob |HT⟩ = (1 / 2) (1 / 2) = 1/4

Stările neinseparate sunt numite și stări produs sau stări separabile, deoarece pot fi luate în considerare într-un produs de stări cu un singur qubit[1]. Cele două probabilități cu un singur qubit se înmulțesc pentru a produce probabilitățile cu doi qubiti.

Exemplu

Un qubit se află într-o stare α₀|0⟩ + α₁|1⟩, în timp ce altul se află într-o stare β₀|0⟩ + β₁|1⟩. Care este starea sistemului cu doi qubiti care nu interacționează?

(α₀|0⟩ + α₁|1⟩) (β₀|0⟩ + β₁|1⟩) = α₀β₀|00⟩ + α₀β₁|01⟩ + α₁β₀|10⟩ + α₁β₁|11⟩.

Sisteme inseparate

Intuitiv, orice interacțiune între doi sau mai mulți qubiți va determina qubiții să partajeze anumite informații între ei. Această partajare a informațiilor din interacțiuni provoacă fenomene emergente pe care le numim inseparabilitate. Matematic, o stare multiqubit este inseparată doar dacă nu poate fi exprimată ca o stare produs. Cu toate acestea, determinarea dacă o stare multiqubit generală poate fi exprimată ca o stare produs poate fi dificilă. În schimb, un test mai ușor pentru a determina dacă un sistem este inseparat sau nu este de a verifica dacă măsurarea valorii unui qubit modifică distribuția de probabilitate a celui de-al doilea qubit. Vom folosi acest test pe larg[2]. Dacă acest test este adevărat, atunci sistemul este cu siguranță inseparat. Cu toate acestea, dacă distribuția de probabilitate a celui de-al doilea qubit nu se modifică în acest test, atunci sistemul ar putea fi totuși inseparat. În acest caz, inseparabilitatea apare din partajarea informațiilor ascunse în semnele (sau componentele complexe) ale amplitudinilor de probabilitate ale unei stări generale. Deși probabilitățile se pot schimba (datorită faptului că amplitudinile sunt ridicate la pătrat), semnele relative au consecințe importante pentru interferența constructivă sau distructivă dacă se aplică mai multe porți qubiților. Acest concept va fi explorat la întrebarea 5 e).

Exemplu

Este |ψ⟩ = 1/√2 |00⟩ + 1/√2 |11⟩ o stare inseparată?

Da! Pentru a vedea acest lucru, examinați qubitul #2. Probabilitățile de măsurare a qubitului #2 în stările |0⟩ sau |1⟩ sunt inițial 50/50 respectiv. Cu toate acestea, dacă am măsurat qubitul #1, atunci știm care va fi rezultatul măsurării qubitului #2 cu o certitudine de 100%. Același argument este valabil dacă qubitul #2 este măsurat mai întâi. Ca atare, măsurarea unuia dintre qubiti afectează probabilitatea măsurării celuilalt qubit într-o anumită stare și, prin urmare, aceștia sunt inseparați. Matematic, o stare inseparată este o stare specială de superpoziție multiqubit care nu poate fi inclusă într-un produs al qubitilor individuali.

Exemplu

Demonstrați că |ψ⟩ = 1/√2 |00⟩ + 1/√2 |11⟩ nu poate fi scris ca produs a doi qubiti individuali.

Presupunem că starea poate fi scrisă ca produsul a două stări.

1/√2 |00⟩ + 1/√2 |11⟩ =? (α₀|0⟩ + α₁|1⟩) (β₀|0⟩ + β₁|1⟩),   (7.1)

=? α₀β₀|00⟩ + α₀β₁|01⟩ + α₁β₀|10⟩ + α₁β₁|11⟩.   (7.2)

Comparând amplitudinile din stânga cu cele din dreapta, valorile α_i și β_j trebuie să satisfacă:

α₀β₀ = 1/√2, α₀β₁ = 0, α₁β₀ = 0, α₁β₁ = 1/√2.   (7.3)

Totuși, acest lucru nu este posibil. De exemplu, să luăm α₀β₁ = 0. Aceasta înseamnă că fie α₀ = 0, fie β₁ = 0. Dacă α₀ = 0 = 0, atunci α₀β₀ = 0, dar α₀β₀ = 1/√2 în ecuația de mai sus. O contradicție similară apare cu β₁ = 0. Deci, presupunerea inițială trebuie să fie incorectă și această stare inseparată nu poate fi scrisă ca produsul a două stări separate.

Note

[1] Mai recent, s-a demonstrat că pot exista corelații cuantice în stări separabile care nu se datorează inseparabilității. Acestea se numesc discordie cuantică: https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_discord.

[2] Există modalități de a testa inseparabilitatea fără a fi nevoie să factorizăm o stare multiqubit în stări de qubit individual. Mai exact, dacă urma matricei densității pentru subsistemul la pătrat este egală cu 1. Cu toate acestea, necesitățile matematice pentru acest test sunt în afara domeniului de aplicare al acestui curs.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu