Teorema non-clonării cuantice

Teorema non-clonării cuantice a fost enunțată de Wootters, Zurek și Dieks în 1982 și are implicații profunde în calculul cuantic și domeniile conexe.

Teoremă (Teorema non-clonării cuantice) O stare cuantică arbitrară nu poate fi duplicată perfect.

Demonstrație: Să presupunem că starea unui sistem cuantic A, pe care dorim să-l copiem, este |ψ⟩_A. Pentru a face o copie, luăm un sistem B cu același spațiu de stări și stare inițială |e⟩_B. Starea inițială, sau goală, trebuie să fie independentă de |ψ⟩_A, despre care nu avem cunoștințe anterioare. Sistemul compozit este apoi descris prin produsul tensorial, iar starea sa este |ψ⟩_A|e⟩_B.

Există doar două modalități de a manipula sistemul compozit. Am putea efectua o observație, care colapsează ireversibil sistemul într-o stare proprie a observabilului, corupând informațiile conținute în qubit. Evident, aceasta nu este ceea ce dorim. Alternativ, am putea controla Hamiltonianul sistemului și, prin urmare, operatorul de evoluție temporală U (pentru un Hamiltonian independent de timp, U(t) = e^−iHt/ℏ, unde −H/ℏ se numește generatorul de translații în timp) până la un interval de timp fix, ceea ce produce un operator unitar. Atunci U acționează ca un copiator, cu condiția ca

U|ϕ⟩_A|e⟩_B = |ϕ⟩_A|ϕ⟩_B,   (E5)

pentru toate stările posibile |ϕ⟩ în spațiul de stări (inclusiv |ψ⟩). Deoarece U este unitar, păstrează produsul intern:

⟨e|_B⟨ϕ|_A|ψ⟩_A|e⟩_B = ⟨e|_B⟨ϕ|_AU^†U|ψ⟩_A|e⟩_B = ⟨ϕ|_B⟨ϕ|_A|ψ⟩_A|ψ⟩_B,   (E6)

și deoarece stările mecanicii cuantice sunt presupuse a fi normalizate, rezultă că ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩².

Aceasta implică faptul că fie ϕ = ψ (caz în care ⟨ϕ|ψ⟩=1), fie ϕ este ortogonală cu ψ (caz în care ⟨ϕ|ψ⟩ = 0). Totuși, acest lucru nu este valabil pentru două stări arbitrare. Deși stările ortogonale într-o bază aleasă anume {|0⟩,|1⟩}, de exemplu, |ϕ⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩) și |ψ⟩ = 1/√2 /(|0⟩ − |1⟩) îndeplinesc cerința ca ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩², acest rezultat nu este valabil pentru stări cuantice mai generale. Se pare că U nu poate clona o stare cuantică generală.

Teorema non-clonării cuantice este un rezultat direct al linearității fizicii cuantice. Este strâns legată de o altă teoremă importantă din mecanica cuantică, care afirmă: dacă o măsurătoare permite obținerea de informații despre starea unui sistem cuantic, atunci, în general, starea acestui sistem cuantic va fi perturbată, cu excepția cazului în care știm în prealabil că stările posibile ale sistemului cuantic original sunt ortogonale între ele.

La prima vedere, imposibilitatea de a face copii perfecte ale stărilor cuantice necunoscute pare a fi un neajuns. În mod surprinzător, poate fi și un avantaj. S-a dovedit că, utilizând inteligent această imposibilitate, s-a putut realiza o distribuție a cheilor necondiționat sigură: orice încercare a ascultătorului de a învăța informațiile codificate mecanic cuantic va perturba starea cuantică și va expune existența acesteia. În special, putem obține următoarele caracteristici ale teoremei cuantice de non-clonare:

• Teorema de non-clonare ne împiedică să folosim tehnici clasice de corecție a erorilor asupra stărilor cuantice. De exemplu, nu putem crea copii de rezervă ale unei stări în mijlocul unui calcul cuantic și să le folosim pentru a corecta erorile ulterioare. Corecția erorilor este vitală pentru calculul cuantic practic și, o vreme, aceasta a fost considerată o limitare fatală. În 1995, Shor și Steane au reînviat perspectivele calculului cuantic prin conceperea independentă a primelor coduri de corectare a erorilor cuantice, care ocolesc teorema de non-clonare.
• În mod similar, clonarea ar încălca teorema de non-teleportare, care spune că teleportarea clasică (nu trebuie confundată cu teleportarea asistată de inseparabilitate) este imposibilă. Cu alte cuvinte, stările cuantice nu pot fi măsurate în mod fiabil.
• Teorema de non-clonare nu împiedică comunicarea supraluminică prin inseparabilitate cuantică, deoarece clonarea este o condiție suficientă pentru o astfel de comunicare, dar nu una necesară. Cu toate acestea, luați în considerare experimentul mental EPR și presupuneți că stările cuantice ar putea fi clonate. Presupunem că părți ale unei stări Bell inseparabile la maximum sunt distribuite lui Alice și Bob. Alice ar putea trimite biți lui Bob în felul următor: Dacă Alice dorește să transmită un „0”, ea măsoară spinul electronului său în direcția z, reducând starea lui Bob fie la |z+⟩_B fie la |z−⟩_B. Pentru a transmite „1”, Alice nu face nimic cu qubitul ei. Bob creează mai multe copii ale stării electronului său și măsoară spinul fiecărei copii în direcția z. Bob va ști că Alice a transmis un „0” dacă toate măsurătorile sale vor produce același rezultat; în caz contrar, măsurătorile sale vor avea rezultate +1/2 și -1/2 cu probabilitate egală. Acest lucru le-ar permite lui Alice și Bob să comunice prin separări asemănătoare spațiului.
• Teorema non-clonării ne împiedică să considerăm principiul holografic pentru găurile negre ca însemnând că avem două copii ale informației situate simultan la orizontul evenimentelor și în interiorul găurii negre. Acest lucru ne conduce la interpretări mai radicale, cum ar fi complementaritatea găurilor negre.

Sursa: Xiaoqing Tan (2012). ”Introduction to Quantum Cryptography”, din Theory and Practice of Cryptography and Network Security Protocols and Technologies, Cap. 5, http://dx.doi.org/10.5772/56092, licența CC BY 3.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu