© 2025 Nicolae Sfetcu

 

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Determinarea constantei lui Planck folosind LED-uri”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA91520

PDF:

HTML: https://www.telework.ro/ro/determinarea-constantei-lui-planck-folosind-led-uri/

 

Concepte: prag de emisie, E = hf.
Ce faci: măsori tensiunea prag pentru LED-uri de culori diferite (roșu-verde-albastru) cu un potențiometru/multimetru.
Măsori: trasezi eU₀ vs frecvență → panta ≈ h.
Extinde: corecții de temperatură, incertitudini.

 

Cuprins

 

Determinarea constantei lui Planck folosind LED-uri 1

Rezumat 2

Context fizic. 3

Materiale și aparatură. 4

Variante accesibile (liceu) 5

Variante avansate (universitate) 6

Metodologie. 7

Prelucrarea datelor și calculul constantei lui Planck. 9

Sugestii de extensii și discuții 10

Utilizarea unei fotodiode pentru calibrarea pragului 10

Analiza spectroscopică a LED-urilor 10

Măsurarea și discutarea erorilor sistematice. 11

Compararea cu valoarea standard a lui h. 12

Extensii și aplicații reale. 12

Fișă de laborator 12

1. Noțiuni teoretice. 13
2. Materiale și aparatură. 13

III. Montaj experimental 13

1. Procedura experimentală. 13
2. Prelucrarea datelor 14
3. Întrebări pentru discuții 14

VII. Observații didactice. 15

Bibliografie. 15

 

Rezumat

Articolul prezintă o metodă experimentală simplă și accesibilă pentru a măsura una dintre constantele fundamentale ale fizicii, constanta lui Planck (h), utilizând diode emițătoare de lumină (LED-uri).

Lucrarea explică principiul de bază: fiecare LED emite lumină de o anumită frecvență (f), iar energia fotonilor emiși (E = h·f) este legată direct de tensiunea minimă de activare a LED-ului (Va), prin relația e·Va ≈ h·f. Măsurând tensiunile de prag pentru LED-uri de culori diferite și cunoscând frecvențele corespunzătoare, se poate construi un grafic liniar Va–f, a cărui pantă permite determinarea experimentală a lui h.

Articolul este structurat în mai multe secțiuni:

• Context fizic – prezintă rolul constantei lui Planck în mecanica cuantică și principiul emiterii de lumină la LED-uri.
• Materiale și aparatură – descrie două variante de experiment: una simplă, pentru liceu, folosind LED-uri colorate, sursă de tensiune și multimetre, și una avansată, pentru universitate, cu osciloscop, fotodiode și spectroscop.
• Metodologie – pașii de urmat pentru realizarea montajului, măsurarea tensiunii de prag și asocierea acesteia cu frecvența luminii.
• Prelucrarea datelor – explică modul de trasare a graficului și calculul constantei lui Planck, incluzând exemple numerice și analiza erorilor.
• Sugestii și extensii – discută posibile îmbunătățiri, precum utilizarea fotodiodei pentru calibrare, analiza spectroscopică a LED-urilor, tratarea erorilor sistematice și comparația cu valoarea standard a lui h.
• Fișă de laborator – oferă un ghid practic pentru elevi (obiective, procedură, tabel de date, întrebări pentru discuții).

În concluzie, articolul arată că, printr-un experiment relativ simplu și accesibil, elevii și studenții pot determina experimental o constantă fundamentală a naturii, apropiindu-se surprinzător de mult de valoarea standard. Aceasta face ca experiența să fie atât educativă, cât și motivantă, demonstrând aplicabilitatea directă a teoriei cuantice în experimente de laborator școlare.

Cuvinte cheie: constanta lui Planck, LED, fizica cuantică, experimente, fizică

Context fizic

Ilustrație educativă. Imaginea prezintă LED-uri colorate (roșu, portocaliu, verde, albastru, mov) care scot fotoni cu energie E = h·f, proporțională cu frecvența luminii (f) (Mrsphysics 2003). Fiecare LED are o tensiune minimă de aprindere diferită, corelată cu frecvența (culoarea) luminii emise. Prin măsurarea acestor tensiuni de prag pentru diverse LED-uri colorate și cunoașterea frecvențelor (sau lungimilor de undă), se poate trasa un grafic liniar al tensiunii V în funcție de frecvență. Modelul teoretic prezice o relație liniară V = (h/e)·f (Mrsphysics 2003), așadar panta dreptului reprezintă h/e, iar din aceasta se poate calcula constanta lui Planck (Rute și Sérgio 2014) (Mrsphysics 2003).

Constanta lui Planck, notată h, este o constantă fundamentală ce leagă energia unui foton de frecvența radiației sale. Relația de bază este dată de ecuația: E = h f, unde E este energia fotonului, iar f este frecvența luminii. Echivalent, se poate scrie și E_p = h·c/λ, întrucât c (viteza luminii) leagă frecvența de lungimea de undă λ (Mrsphysics 2003). Această relație, descoperită de Max Planck la începutul secolului 20, este piatra de temelie a mecanicii cuantice și explică faptul că lumina are o natură cuantificată (în fotoni) (Mrsphysics 2003). Deși constanta lui Planck are o valoare foarte mică (≈ 6,626 × 10⁻³⁴ J·s), ea joacă un rol central în fizică, iar ceea ce este surprinzător este că putem măsura această constantă în mod direct într-un laborator școlar, folosind echipamente simple (Mrsphysics 2003).

Pentru a determina experimental constanta lui Planck, ne vom baza pe emisia luminii de către diode emițătoare de lumină (LED-uri). Un LED este o diodă semiconductoare p-n specială, care, polarizată direct, convertește energia electrică direct în fotoni (lumină) (Mrsphysics 2003). Fiecare LED emite lumină de o anumită culoare, determinată de materialul semiconductor folosit și de energia benzii interzise (bandgap) a acelui material. Prin modificarea compoziției chimice a semiconductorilor (de exemplu, aliaje de Ga, As, Al etc.), LED-urile pot fi realizate să emită diverse culori, de la roșu și verde (vizibile) până la ultraviolet sau infraroșu (Mrsphysics 2003). Culoarea luminii (adică lungimea de undă λ) este direct legată de energia fotonilor emiși, fotonii roșii având energie mai mică (λ mai mare) iar cei violeți sau albaștri energie mai mare (λ mai mică).

Un aspect esențial în funcționarea LED-urilor este existența unei tensiuni de prag (tensiune de activare). La polarizare directă joasă, curentul prin LED este practic nul și nu se observă lumină emisă (energia furnizată este insuficientă pentru a genera fotoni). Pe măsură ce creștem tensiunea aplicată, se atinge un punct la care LED-ul începe să emită vizibil – acesta este pragul de activare V_a, moment în care electronii ce trec prin joncțiunea p-n au suficientă energie pentru a recombina cu golurile și a emite fotoni (Mrsphysics 2003). Fiecărei culori (fiecărui LED) îi corespunde o altă valoare a tensiunii de prag, dată de diferența de bandă a materialului – de exemplu, un LED roșu începe să lumineze cam pe la ~1,7–1,8 V, pe când unul albastru poate necesita ~2,4–2,5 V pentru a emite (Mrsphysics 2003). Ideea-cheie a experimentului este că energia fotonilor emiși de un LED (E_p) este direct legată de această tensiune de activare: practic, energia câștigată de un electron când trece bariera de potențial a joncțiunii (e·V_a unde e este sarcina electronului) se convertește în energia fotonului emis (h·f) (CNIC 2016). Astfel, în primă aproximație putem considera:

e⋅V_a ≈ h⋅f,

unde e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C. Din această relație rezultă că prin măsurarea V_a pentru LED-uri de diferite frecvențe f (sau lungimi de undă λ) putem determina h. Mai exact, dacă reprezentăm grafic tensiunea de prag în funcție de frecvența luminii emise, datele ar trebui să se alinieze pe o dreaptă, a cărei pantă este h/e (Mrsphysics 2003). Cunoscând valoarea sarcinii electronului e, putem extrage de aici valoarea lui h. (În practică pot exista mici abateri de la modelul ideal – de exemplu, nu toată energia electrică se transformă în energia fotonului, o parte disipându-se ca pierderi interne în LED – dar metoda cu mai multe LED-uri compensează aceste pierderi, vezi secțiunea de prelucrare a datelor.)

Rezumând, baza fizică a experimentului este: E_foton = h·f = e·V_a, prin care constanta lui Planck h poate fi aflată din măsurători electrice asupra LED-urilor de diferite culori (Rute și Sérgio 2014). Vom urmări în continuare modul practic de realizare a experimentului, materialele necesare și etapele de măsurare și analiză a datelor.

Materiale și aparatură

Pentru acest experiment nu este nevoie de dispozitive sofisticate – majoritatea aparaturii se găsește în orice laborator elementar de fizică (Rute și Sérgio 2014). Propunem două variante de montaj experimental, una accesibilă la nivel de liceu și o variantă extinsă, potrivită pentru experimente avansate la nivel universitar.

Schema tehnică a circuitului. Schema de circuit arată o sursă de tensiune DC (de exemplu baterie de 6 V reglabilă cu potențiometru), un LED cu rezistență de limitare, un ampermetru în serie și un voltmetru conectat în paralel cu LED-ul (Perimeter 2008) (Rute și Sérgio 2014). Polii sursei (+ și –) și sensul curentului sunt indicați clar. În practică, se măsoară curentul prin LED cu ampermetrul în serie, iar voltmetrul în paralel indică căderea de tensiune pe LED. Această configurație simplă permite determinarea tensiunii de prag a LED-ului (valoarea minimă la care începe să lumineze), esențială pentru calculul constantelor fizice (Perimeter 2008) (Rute și Sérgio 2014).

Variante accesibile (liceu)

• LED-uri de culori diferite – de exemplu 4–6 LED-uri: roșu, portocaliu, verde, albastru (se pot include și galben, violet, infraroșu, dacă sunt disponibile). Este preferabil ca LED-urile să aibă capsula transparentă (incoloră), pentru ca lumina emisă să provină doar din semiconductor, nu filtrată de un plastic colorat (Rute și Sérgio 2014). Fiecare LED va oferi un punct experimental (tensiune de prag diferită și lungime de undă cunoscută).
• Sursă de tensiune reglabilă (CC) – poate fi o sursă de laborator ajustabilă în domeniul 0–5 V sau chiar o baterie de 9 V cu un potențiometru (reostat) pentru a varia tensiunea. Este importantă posibilitatea de a modifica fin tensiunea aplicată pe LED.
• Rezistență limitatoare – pentru siguranță, se folosește o rezistență (de ordinul 100 Ω – 1 kΩ) sau un potențiometru în serie cu LED-ul, prevenind curenți excesivi. În cazul folosirii unei baterii de 9 V, un potențiometru de ~1 kΩ este ideal atât ca divizor de tensiune, cât și ca limitator de curent.
• Două multimetre – unul configurat ca voltmetru (pentru a măsura tensiunea direct pe LED) și altul ca ampermetru (pentru a măsura curentul prin LED). Multimetrele digitale uzuale sunt suficiente; dacă nu sunt două disponibile, se poate lucra și cu unul singur, măsurând pe rând tensiunea și curentul, însă cu două simultan experimentul devine mai eficient.
• Cabluri de conexiune – fire electrice, cleme crocodil etc., pentru a realiza circuitul. Asigurați-vă că realizați conexiunile în serie (sursa, rezistența, LED-ul, ampermetrul) și voltmetrul în paralel pe LED, conform schemei.
• Riglă – utilă pentru a trasa pe hârtie graficul sau pentru a extrapola linia dreaptă pe graficul I–V (sau chiar ca suport dacă se improvizează un spectroscop). De asemenea, rigla poate ajuta la observarea de la o distanță fixă a momentului când LED-ul începe să lumineze (plasând ochiul sau o suprafață de referință la o anumită distanță, pentru a detecta mai ușor lumina foarte slabă).
• (Opțional) Fotodiodă sau senzor de lumină simplu – poate fi util pentru a detecta obiectiv momentul în care LED-ul emite lumină. De exemplu, o fotodiodă BPW34 (sensibilă în spectrul vizibil și IR) conectată la un miliampermetru sau la un voltmetru (în regim fotovoltaic) poate indica apariția radiației. Acest senzor se poate plasa în fața LED-ului pentru a măsura intensitatea luminoasă în funcție de tensiunea aplicată LED-ului, oferind o metodă alternativă de a defini tensiunea de prag (ex: când fotodioda începe să indice un curent/lumină diferit de zero).

Variante avansate (universitate)

• Sursă de alimentare de precizie – o sursă stabilizată de tensiune cu control fin și afișaj digital (precizie de mV) permite măsurători mai exacte ale tensiunii de prag. De exemplu, o sursă programabilă sau utilizarea unui convertor digital-analog controlat de calculator pentru a baliza tensiunea și a înregistra datele.
• Osciloscop (cu generator sau modul XY) – un osciloscop poate fi folosit pentru a vizualiza caracteristica I–V a LED-ului. Prin aplicarea unei tensiuni triunghiulare lente și utilizarea modului X-Y (cu tensiunea pe axa X și tensiunea pe rezistența de serie – proporțională cu curentul – pe axa Y), se poate obține direct pe ecran graficul curent-tensiune al LED-ului. Osciloscopul digital modern poate măsura, de asemenea, tensiunea de la care începe creșterea curentului, facilitând determinarea exactă a V_a.
• Banc optic (riglă optică) – constă într-o șină gradată pe care se pot monta LED-ul și senzori/opte grație. Acesta permite efectuarea de măsurători optice precise, cum ar fi plasarea unui spectrometru sau a unei fotodiode la distanțe controlate de LED. De exemplu, pentru analiza spectrală, un banc optic ajută la montarea unei rețele de difracție și a unui ecran pentru a măsura unghiurile de difracție ale luminii LED-urilor.
• Sistem de măsurare a intensității luminoase – la nivel universitar se poate folosi un fotometru calibrat, un senzor fotoelectric cu amplificator sau chiar un spectrofotometru. Acesta poate înregistra curba intensitate vs. tensiune pentru LED, evidențiind clar punctul de inflexiune unde începe emisia luminoasă. De asemenea, sistemul poate măsura spectrul de emisie al LED-ului (poate implica un spectrometru cu rețea de difracție și detector, pentru a verifica lungimea de undă centrală a luminii emise de fiecare LED).
• Calculator cu software de achiziție și prelucrare – ajută la colectarea automată a datelor (de exemplu, cu Arduino sau alte microcontrolere ce pot scana tensiunea și măsura curentul LED-ului în pași mici) și la efectuarea regresiilor liniare, calculelor de eroare etc. Acest lucru poate crește precizia și permite analizarea rapidă a datelor de la mai multe LED-uri.

(Notă: La nivel avansat, există și aparate dedicate pentru măsurarea constantei lui Planck folosind LED-uri și efectul fotoelectric. Un exemplu este un kit ce conține mai multe LED-uri monocrome montate într-o fotocelulă cu circuit de măsurare a potențialului de oprire. Practic, lumina LED-ului este folosită pentru a extrage fotoelectroni dintr-un material, iar tensiunea minimă de oprire a foto-curentului se măsoară pentru fiecare lungime de undă. Acest aranjament – bazat pe efectul fotoelectric clasic – permite determinarea lui h cu exactitate și simultan a funcției de lucru a catodului (Furnissa 2025). Totuși, principiul de bază rămâne același: se corelează tensiunea necesară pentru a produce fotoelectroni (sau fotoni, în cazul LED-urilor) cu frecvența radiației, conform ecuației lui Planck.)

Metodologie

Experimentul constă în determinarea tensiunii de prag pentru fiecare LED și corelarea acesteia cu frecvența luminii emise. Următoarele etape descriu procedura de urmat:

1. Montajul circuitului: Realizați un circuit simplu conform schemei din figura de principiu (LED conectat în serie cu o rezistență și cu un ampermetru, sursa de tensiune aplicată la capetele seriei, voltmetrul în paralel pe LED) (Rute și Sérgio 2014). Asigurați-vă că polarizați LED-urile corect (anod la pozitivul sursei, catod la negativ, de obicei catodul este pinul mai scurt sau partea aplatizată a capsulei LED). Avertisment: LED-urile sunt dispozitive sensibile – evitați depășirea unui curent de ~5–10 mA pentru a nu le arde (Rute și Sérgio 2014). Puteți include o rezistență de ~1 kΩ în serie pentru limitarea curentului și un potențiometru pentru ajustarea tensiunii.
2. Creșterea tensiunii și observarea LED-ului: Pornind de la 0 V, măriți tensiunea aplicată treptat (de exemplu în pași de 0,05 V în jurul valorilor mici) și notați pentru fiecare pas curentul indicat de ampermetru și observația vizuală a LED-ului (Rute și Sérgio 2014). La început, curentul va fi zero (sau foarte mic, sub μA) și LED-ul stins. Pe măsură ce creșteți tensiunea, veți găsi un punct de inflexiune la care curentul începe să crească semnificativ, iar LED-ul prezintă o luminozitate vizibilă. În apropierea acestui punct, faceți ajustări fine ale tensiunii pentru a identifica pragul aproximativ la care LED-ul “se aprinde”. Alternativ, dacă utilizați o fotodiodă orientată spre LED, puteți monitoriza curentul acesteia: tensiunea de prag va fi cea la care curentul fotodiodei devine diferit de zero (indicând apariția luminii).
3. Determinarea tensiunii de prag V_a: Pentru acuratețe, este indicat să determinați V_a printr-o metodă grafică. Folosind datele culese (I și V pentru LED), trasați grafic curentul (I) în funcție de tensiune (V) pentru fiecare LED (Rute și Sérgio 2014). Veți observa că graficul are o porțiune inițială plată (curent ~0) urmată de o porțiune în care curentul crește aproape linear cu tensiunea, după care LED-ul intră în conducție puternică (curentul crește rapid, iar tensiunea se stabilizează ușor peste prag). Identificați regiunea lineară de la începutul conducției – aceasta corespunde intervalului imediat după prag. Trasați o linie dreaptă de regresie (sau vizual, cu rigla) peste punctele din această regiune lineară (Rute și Sérgio 2014). Apoi extrapolați linia dreaptă până la intersectarea cu axa tensiunii (V) (Rute și Sérgio 2014). Abscisa punctului de intersecție reprezintă tensiunea de activare V_a a LED-ului, adică tensiunea minimă la care curentul (și deci emisia de lumină) pornește lin. Practic, această metodă compensează pentru faptul că LED-ul începe să conducă gradual – obținem o valoare de prag mai obiectivă decât “la prima licărire”, și independentă de sensibilitatea ochiului sau de un curent anume (Mrsphysics 2003). Notează V_a determinată astfel pentru fiecare LED. (Observație: O altă metodă este să alimentați toate LED-urile la un curent foarte mic constant (de ex. 0,1 mA) și să măsurați tensiunile pe ele – aceste valori pot fi folosite ca V_a Totuși, metoda extrapolării liniare este preferată pentru a elimina influența rezistenței interne și a variației curentului (Mrsphysics 2003).)
4. Asocierea fiecărui LED cu frecvența luminii emise: Pentru a lega măsurătorile electrice de relația E = h·f, avem nevoie de frecvențele sau lungimile de undă ale luminii emise de LED-uri. Dacă LED-urile sunt standard și culoarea lor este cunoscută (de ex. roșu 625 nm, verde 565 nm, albastru 470 nm etc.), se pot folosi lungimile de undă tipice din fișa tehnică. În tabelul de mai jos sunt prezentate, de exemplu, valorile tipice pentru patru LED-uri uzuale (Rute și Sérgio 2014). În lipsa datelor exacte, se poate folosi un spectroscop artizanal (o rețea de difracție sau un CD/DVD folosit ca grătar, plus o fantă și o riglă milimetrică pentru a măsura unghiul de difracție) pentru a determina lungimea de undă a fiecărui LED (vezi sugestiile de extensie). Odată cunoscută lungimea de undă λ, se calculează frecvența folosind formula f = c/λ, unde c = 3·10⁸ m/s (viteza luminii în vid) (PERG 2001). Asigurați-vă că transformați λ în metri în această formulă. Completați pentru fiecare LED frecvența corespunzătoare.

Culoare LED	Lungimea de undă, λ (nm)	Frecvența, f (Hz)	Tensiunea de prag, Va (V)
Roșu	~623	4,81×10^14	~1,78
Portocaliu	~586	5,12×10^14	~1,90
Verde	~567	5,29×10^14	~2,00
Albastru	~467	6,42×10^14	~2,45

Tabel 1: Exemple de date experimentale tipice pentru determinarea constantei lui Planck cu 4 LED-uri. (Valorile de mai sus corespund aproximativ LED-urilor menționate în referința; lungimile de undă pot varia ușor în funcție de modelul LED-ului, la fel și tensiunile de prag. Frecvențele au fost calculate cu f = c/λ.) (Rute și Sérgio 2014)

5. Graficul tensiunii de prag în funcție de frecvență: Reprezentați pe un grafic punctele experimentale având pe axa X frecvența f (în Hz) a luminii fiecărui LED, iar pe axa Y tensiunea de activare V_a măsurată pentru acel LED. Ar trebui să obțineți o serie de puncte aproximativ aliniate. Pentru un rezultat cât mai bun, trasați linia dreaptă de regresie lineară (linie de trend) care se potrivește cel mai bine acestor puncte (Rute și Sérgio 2014). Această linie ar trebui (conform teoriei) să treacă destul de aproape de origine, însă este posibil să existe un mic intercept pe axa tensiunii (datorită muncii de ieșire interne φ a LED-urilor – vezi discuția ulterioară). Panta (gradientul) acestei drepte este elementul esențial, deoarece, după cum am menționat, panta ar trebui să fie egală cu h/e (Mrsphysics 2003). Prin urmare, calculați panta m (de exemplu, alegând două puncte de extremă ale liniei sau folosind formula de regresie lineară).

Prelucrarea datelor și calculul constantei lui Planck

Odată obținut graficul V_a–f, vom extrage valoarea constantei lui Planck din ecuația ce leagă aceste mărimi. Teoretic, relația a fost dedusă astfel: energia fotonului emis de LED este Ep = h·f, iar energia aceasta provine (în primă aproximație) din energia potențială electrică a electronului care traversează joncțiunea, Ee = e V_a. Egalând cele două energii, rezultă e V_a = h f. Rearanjând, obținem formula:

V_a = h/e⋅f.

Aceasta sugerează că graficul V_a în funcție de f este o dreaptă cu panta h/e ce trece prin origine (dacă nu apar pierderi de energie). În practică, așa cum s-a discutat, LED-urile pot avea o pierdere de tensiune internă (notată φ/e) ce produce un intercept pe axa tensiunii (Rute și Sérgio 2014). Modelul mai general este:

V_a = h/e⋅f − φ/e,

unde φ (phi) reprezintă energia pierdută pe electron în joncțiune (energie care nu devine parte din foton). Dacă presupunem însă că aceste pierderi (φ) sunt aproximativ egale pentru toate LED-urile folosite (ceea ce pentru LED-uri de același tip constructiv este rezonabil) (Rute și Sérgio 2014), atunci efectul lor în grafic este de a deplasa ușor toată dreapta în jos, fără a-i modifica panta. Astfel, panta rămâne egală cu h/e, permițând calculul lui h din datele noastre experimentale (Rute și Sérgio 2014).

Pentru a determina numeric constanta lui Planck, efectuați următorii pași pe baza graficului:

• Determinați panta m = ΔV/Δf a liniei de regresie (în unități V/Hz). De exemplu, folosind datele din tabelul anterior, dacă trasăm punctele și linia de trend, putem obține o pantă în jur de ≈ 4,14 × 10⁻¹⁵ V/Hz. (Notă: O metodă alternativă este să folosim formula pantei: m = (∑f·V – n·f̄·V̄)/(∑f² – n·f̄²), sau mai simplu un calculator de regresie lineară online (Rute și Sérgio 2014)).
• Calculați constanta lui Planck: Folosind relația m = h/e, obținem imediat h = m e (PERG 2001) (Mrsphysics 2003). Înlocuind valoarea lui e = 1,6022 × 10⁻¹⁹ C, asigurați-vă că m este exprimată în SI (V/Hz = J/C / Hz). Continuând exemplul, h = 4,14 × 10⁻¹⁵ V/Hz × 1,602 × 10⁻¹⁹ C ≈ 6,64 × 10⁻³⁴ J·s.
• Comparați cu valoarea acceptată: Valoarea de referință a constantei lui Planck este 6,626 × 10⁻³⁴ J·s. În exemplul nostru, rezultatul are o eroare de doar ~0,2% față de valoarea tabulară – desigur, aceasta este o situație idealizată. În condiții reale de liceu, erorile pot fi de ordin mai mare (5–10%), însă cu grijă și mediere se pot obține rezultate surprinzător de bune. Spre exemplu, un experiment de clasă raportează h = 6,67 × 10⁻³⁴ J·s, cu o abatere de doar 0,7% (Rute și Sérgio 2014), ceea ce confirmă eficiența metodei. Important este că, chiar și cu erori, rezultatul va fi de ordinul 10⁻³⁴ J·s, validând ordinea de mărime a constantei lui Planck – un rezultat remarcabil obținut cu mijloace atât de simple!

În procesul de calcul al lui h, este util să estimați și incertitudinile. De exemplu, puteți desena pe grafic două drepte extreme (una cu panta maximă, alta minimă) care totuși ar trece prin majoritatea elipsei de eroare a punctelor experimentale. Diferența între pantele extreme va oferi o marjă de eroare pentru panta m, pe care o puteți propaga apoi în calculul lui h. De asemenea, dacă observați un intercept notabil pe axa tensiune (adică dacă linia de regresie nu trece foarte aproape de origine), puteți interpreta fizic acea valoare: φ/e (în volți) ar reprezenta efectiv căderea de tensiune internă “pierdută” în LED (ex., bariera de contact, diferențe de material). În experimentul ideal φ/e ≈ 0, dar în realitate poate fi câteva sute de mV. Faptul că în graficul real s-a obținut totuși o linie dreaptă bună sugerează că presupunerea φ ≈ constant pentru toate LED-urile a fost rezonabilă (Rute și Sérgio 2014).

În final, constanta lui Planck determinată experimental se obține ca media valorilor calculate (dacă ați folosit mai multe metode sau ați repetat experimentul de mai multe ori) și se raportează împreună cu eroarea asociată. Chiar dacă rezultatul dumneavoastră nu coincide perfect cu valoarea de referință, discutați în raport posibilele cauze ale diferențelor – această analiză face parte din înțelegerea experimentului.

Sugestii de extensii și discuții

Experimentul descris poate fi extins și rafinat în multiple moduri, unele accesibile la nivel liceal, altele potrivite pentru investigații universitare sau pentru proiecte personale mai avansate:

Utilizarea unei fotodiode pentru calibrarea pragului

O dificultate în experimentul de bază este determinarea subiectivă a momentului când LED-ul “începe” să lumineze. Pentru culori diferite, ochiul uman are sensibilități diferite (de exemplu, ochiul percepe mai greu roșul la intensități mici decât verdele). Introducând o fotodiodă (sau un senzor de lumină LDR) orientată spre LED, putem defini tensiunea de prag mai obiectiv: de exemplu, pragul poate fi luat ca tensiunea la care fotodioda înregistrează un curent peste un anumit prag (indicând apariția luminii). Această metodă crește precizia și repetabilitatea, și poate servi și ca verificare încrucișată – se poate compara tensiunea de prag dedusă din curentul LED-ului cu cea dedusă din semnalul fotodiodei. Totodată, fotodioda poate fi folosită pentru a măsura relativ intensitatea luminoasă emisă în funcție de curent, oferind informații despre eficiența de conversie a energiei electrice în fotoni pentru diferite LED-uri.

Analiza spectroscopică a LED-urilor

În loc să presupunem lungimea de undă a LED-urilor din datele producătorului, elevii pot măsura direct λ pentru fiecare LED folosind un spectroscop simplu. Un astfel de spectroscop se poate construi dintr-un CD/DVD (care acționează ca rețea de difracție cu ~600 linii/mm) și o cutie cu o fantă îngustă. Proiectând lumina LED-ului pe CD și observând unghiul la care apare maximul de difracție de ordinul I, se poate calcula λ cunoscând constanta rețelei și geometria montajului. Există ghiduri online pentru construirea unui spectrometru artizanal (Rute și Sérgio 2014). Prin măsurarea λ experimental, se îmbunătățește acuratețea calculului (frecvența va fi mai precisă) și se oferă elevilor o perspectivă asupra spectrului de emisie al LED-urilor. De exemplu, se poate constata că lumina LED-urilor nu este perfect monocromatică, având o bandă spectrală îngustă, și astfel elevii pot discuta cum lățimea de bandă ar putea influența precizia determinării (dacă LED-ul emite, de pildă, între 620–640 nm, ce valoare considerăm pentru λ?). Ca extensie, se pot examina și LED-uri albe – acestea au, de fapt, un spectru compus (un LED albastru care excitat fosfor galben), deci nu ar fi potrivite pentru acest experiment decât pentru discuții despre spectru.

Măsurarea și discutarea erorilor sistematice

Includerea analizei erorilor face ca experimentul să fie cu adevărat instructiv. Câteva aspecte de investigat:

Absența unei tensiuni de prag bine definite

LED-urile nu prezintă un prag abrupt ca fenomen fizic – curentul urmează o ecuație exponențială în funcție de tensiune (CNIC 2016) și, oricât de mică ar fi tensiunea, teoretic un curent (și deci fotoni) tot există, chiar dacă infim. Pragul este deci o convenție (de ex., prag = tensiunea la care LED-ul atinge o anumită mică intensitate luminoasă sau curent). Această convenție introduce incertitudine. Explorând caracteristica I–V măsurată, elevii pot vedea că nu există un ”colț” perfect ascuțit, ci o tranziție gradată. Metoda extrapolării lineare ajută, dar se poate discuta cât de sensibil este rezultatul la alegerea intervalului de extrapolare sau a criteriului de prag.

Dependența tensiunii de prag de curent și temperatură

Dacă LED-urile se încălzesc (chiar și puțin) în timpul măsurătorilor, tensiunea lor de prag scade ușor cu temperatura (coeficient termic negativ, ~−2 mV/°C pentru siliciu, posibil și pentru semiconductori compuși). De aceea, măsurătorile ar trebui făcute rapid sau în ordine diferită pentru a nu favoriza încălzirea unui LED înaintea altuia. De asemenea, tensiunea de prag crește ușor cu logaritmul curentului (Mrsphysics 2003) – de aceea trebuie specificat clar la ce condiție s-a definit pragul. Discutarea acestor dependențe îi ajută pe elevi să înțeleagă de ce metoda extrapolării la I→0 este logică (pragul “ideal” la curent aproape zero).

Diferențe între tipuri de LED-uri

S-a observat experimental că LED-urile care emit în domenii diferite (de exemplu LED-urile roșu-portocaliu-verde bazate pe GaAsP vs. LED-urile verde-albastru pe GaN) pot avea pierderi interne diferite (termenul φ din ecuație). Acest lucru se manifestă prin faptul că punctele nu se aliniază perfect pe o singură dreaptă, ci, de exemplu, LED-urile roșu-verde se aliniază pe o dreaptă, iar cele albastru-violet pe o altă dreaptă ușor paralelă, existând un mic decalaj între ele (Mrsphysics 2003). Dacă se dispune de LED-uri pe mai multe tehnologii, se poate investiga acest fenomen. Pentru o discuție aprofundată, se poate aduce în vedere faptul că ecuația noastră simplificată nu ține cont de tensiunea de bandă interzisă vs. foton emis în semiconductori indirecți vs. direcți, de exemplu – însă acestea depășesc nivelul de liceu.

Precizia aparaturii

Evaluați erorile de instrument – precizia multimetrelor folosite (de exemplu, ±0,01 V la voltmetru poate introduce o eroare notabilă când V_a ~2 V). La fel, dacă se folosește un liniament gradat pentru măsurarea unghiului de difracție la spectroscop, precizia unghiului afectează λ. Discutarea acestor aspecte îi învață pe elevi modul corect de estimare a incertitudinilor în experiment.

Repetabilitate și mediere

Sugerați elevilor să repete măsurarea V_a de mai multe ori sau să compare rezultate între grupe diferite. Valorile de V_a pot fi mediate pentru a obține o valoare finală mai precisă (Rute și Sérgio 2014). De asemenea, dacă un LED pare a da un punct foarte deviat de la linia așteptată, se poate decide excluderea lui justificată (de exemplu, LED-ul galben poate avea spectru dual, sau LED-ul verde “verde pur” vs. “verde standard” pot diferi ca bandă).

Compararea cu valoarea standard a lui h

Odată obținut un rezultat experimental, este important să îl comparăm cu valoarea de referință și să evaluăm abaterea. Elevii pot calcula eroarea relativă a valorii măsurate față de h_referință = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s (Rute și Sérgio 2014). Dacă rezultatul este în intervalul (5–7) × 10⁻³⁴ J·s, experimentul poate fi considerat reușit, având în vedere limitările. O eroare de 5-10% este acceptabilă pentru un experiment școlar, însă dacă eroarea depășește 20-30%, trebuie investigate cauzele (posibile probleme în circuite, măsurători sau date de intrare incorecte precum λ greșit). Prin comparare, elevii pot aprecia cât de aproape au ajuns, cu mijloace simple, de o constantă universală fundamentală. Acest fapt are și o valoare istorică: în trecut, constanta lui Planck a fost dificil de măsurat, necesitând experimente sofisticate de efect fotoelectric sau radiație de corp negru. Realizarea că acum putem reproduce o astfel de măsură pe bancul de laborator al liceului este extrem de motivantă și ilustrativă.

Extensii și aplicații reale

Ca aplicație practică, acest experiment demonstrează direct principiul efectului fotoelectric și cuantificarea energiei luminii. LED-urile sunt dispozitive optoelectronice omniprezente – înțelegerea modului lor de funcționare (prin cuantificarea energiei fotonilor emiși) conectează fizica teoretică cu tehnologia cotidiană. Pentru elevii pasionați, se poate extinde experimentul acasă: de exemplu, un student a realizat un sistem cu microcontroler Arduino pentru automatizarea măsurătorilor LED și a reușit să calculeze constanta lui Planck în propriul dormitor (CasualEndvrs 2020). De asemenea, la nivel universitar, experimentul poate fi baza pentru proiecte mai complexe, cum ar fi investigarea eficienței cuantice a LED-urilor (câți electroni generează un foton – legat de randamentul cuantic) sau studierea materialelor semiconductoare noi (de exemplu, LED-uri UV sau IR și verificarea constantului lui Planck și în afara spectrului vizibil).

În concluzie, determinarea constantei lui Planck cu LED-uri oferă elevilor o oportunitate de a combina noțiuni de electricitate, optică și fizică cuantică într-un experiment relativ simplu, dar bogat în concepte. Ei văd cum o mărime abstractă devine măsurabilă și cum E = h·f nu mai este doar o formulă din manual, ci o realitate care se manifestă în datele culese de ei. Acest tip de experiment întărește înțelegerea dualității undă-corpuscul (prin faptul că tensiunea electrică – fenomen corpuscular/electronic – se leagă de frecvența luminii – fenomen de undă) (Rute și Sérgio 2014) și dezvoltă abilitățile de cercetare experimentală ale elevilor (montaj de circuit, grafic, extrapolare, analiză de erori). În plus, este un exemplu excelent de investigație practică a unei constante fundamentale, arătând că știința de nivel înalt poate fi atinsă cu resurse modeste în sala de clasă (Rute și Sérgio 2014). Astfel de experiențe concrete pot inspira viitoarele generații de fizicieni și ingineri, demonstrându-le că lucrurile “invariabile” ale naturii pot fi descoperite de ei înșiși prin experiment.

Fișă de laborator

Nivel: liceu (clasele XI–XII)

Durata: 1–2 ore de laborator

Obiective didactice:

• Să înțeleagă relația dintre energia fotonului și frecvența luminii (E = h·f).
• Să identifice fenomenul de prag de tensiune la LED-uri.
• Să determine experimental constanta lui Planck pe baza datelor culese.
• Să aplice metode grafice de prelucrare a datelor.

I. Noțiuni teoretice

• Energia fotonului:

E = h⋅f = h⋅c/λ

• Energia câștigată de electroni într-un LED polarizat direct:

E_e = e⋅V_a

• Condiția de echivalență:

e⋅V_a ≈ h⋅f

De aici rezultă:

V_a = h/e⋅f

→ panta graficului V_a/f = h/e.

II. Materiale și aparatură

Variante minime (liceu):

• LED-uri de culori diferite (roșu, verde, albastru, portocaliu).
• Sursă de tensiune continuă reglabilă 0–5 V sau baterie + potențiometru.
• Rezistență limitatoare (100–1000 Ω).
• 2 multimetre digitale (voltmetru + ampermetru).
• Fire de conexiune.

Variante opționale (pentru precizie):

• Fotodiodă sau senzor de lumină.
• Spectroscop simplu (pentru determinarea lungimii de undă).

III. Montaj experimental

Circuitul constă în: sursă de tensiune → ampermetru → rezistență limitatoare → LED → înapoi la sursă.

Voltmetrul se montează în paralel cu LED-ul.

(Schema poate fi afișată pe tablă sau distribuită ca anexă vizuală.)

IV. Procedura experimentală

1. Conectați circuitul conform schemei.
2. Creșteți treptat tensiunea sursei, notând valorile tensiunii pe LED (V) și curentului (I).
3. Identificați pragul de aprindere V_a pentru fiecare LED, fie vizual (la prima lumină percepută), fie grafic:
   • Trasați I–V și extrapolați partea liniară spre axa tensiunii.
   • Intersecția cu axa V reprezintă V_a.
4. Notați V_a pentru fiecare LED.
5. Asociați fiecărui LED lungimea de undă λ (din fișa tehnică sau tabel standard).
6. Calculați frecvența:

f = c/λ

7. Construiți tabelul cu valorile: LED, λ, f, V_a.
8. Reprezentați grafic V_a (pe axa verticală) în funcție de f (axa orizontală).
9. Trasați dreapta de regresie liniară și determinați panta m.

V. Prelucrarea datelor

• Calculați constanta lui Planck:

h = m⋅e

unde e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C.

• Comparați valoarea obținută cu valoarea de referință:

h_tab = 6,626 × 10⁻³⁴ J⋅s

• Estimați eroarea relativă:

ε = ∣h_exp − h_tab∣/htab⋅100%

Tabel de date experimentale

Nr. crt.	Culoarea LED	Lungimea de undă λ (nm)	Frecvența f (Hz)	Tensiunea de prag Vₐ (V)	Observații (vizual/ grafic)
1
2
3
4
5

Instrucțiuni pentru elevi:

• Completați coloana λ folosind datele din fișa tehnică a LED-ului sau valorile standard (profesorul poate oferi un tabel de referință).
• Calculați frecvența f = c/λ (aveți grijă să transformați λ din nm în metri).
• Notați Vₐ determinată experimental pentru fiecare LED.
• Menționați metoda folosită: observație vizuală sau extrapolare grafică.

VI. Întrebări pentru discuții

1. De ce nu există un prag de tensiune perfect abrupt la LED-uri?
2. Care sunt posibilele surse de eroare în măsurători?
3. De ce este important să se compare rezultatul cu valoarea standard a lui h?
4. Cum s-ar putea îmbunătăți precizia experimentului (instrumente mai avansate, metode optice)?

VII. Observații didactice

• Pentru elevi, accentul se pune pe înțelegerea conceptului, nu pe obținerea exactă a valorii constantei.
• Se recomandă discutarea sensibilității ochiului la culori diferite.
• Profesorul poate pregăti dinainte un tabel cu λ standard pentru LED-urile disponibile.
• Activitatea poate fi extinsă cu măsurarea lungimii de undă prin spectroscopie simplă.

Bibliografie

• CasualEndvrs. 2020. „Measure Planck’s Constant at Home using an Arduino and some LEDs”. Reddit Post. r/arduino, decembrie 26. https://www.reddit.com/r/arduino/comments/kkmjiw/measure_plancks_constant_at_home_using_an_arduino/.
• CNIC. 2016. „Olimpiada Națională de Fizică, Timișoara, 2016 – Proba practică”. https://www.cnic.ro/olimpiade/docs/2016_ONF_12_lab_subiect.pdf.
• Furnissa. 2025. „Determinarea constantei lui Plank”. Furnissa.ro. https://www.furnissa.ro/determinarea-constantei-lui-plank/.
• Mrsphysics. 2003. „Finding Planck’s constant with LEDs”. SSERC Bulletin. https://www.mrsphysics.co.uk/higher/wp-content/uploads/2018/02/13-14_Plancks_Constant_with_LEDs.pdf.
• PERG. 2001. „Using LEDs to Measure Planck’s Constant”. https://www.phys.ksu.edu/ksuper/research/vqm/original/solids-light/12Meas_Plancks_Constant.pdf.
• Perimeter, Institute. 2008. „Measuring Planck’s Constant”. https://www.mrsphysics.co.uk/higher/wp-content/uploads/2018/02/Plancks-Constant-Teachers-Guide.pdf.
• Rute, Maria, și Paulo Sérgio. 2014. „Fundamente Pentru Ora de Clasă: Măsurarea Constantei Lui Planck”. Science in School. https://www.scienceinschool.org/article/2014/planck/.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/determinarea-constantei-lui-planck-folosind-led-uri/