Stări cuantice

În fizica cuantică, starea cuantică se referă la starea unui sistem cuantic izolat. O stare cuantică furnizează o distribuție a probabilității pentru valoarea fiecărei observabile, adică pentru rezultatul fiecărei măsurări posibile pe sistem. Cunoașterea stării cuantice împreună cu regulile pentru evoluția sistemului în timp epuizează tot ce se poate anticipa despre comportamentul sistemului.

Un amestec de stări cuantice este din nou o stare cuantică. Stările cuantice care nu pot fi scrise ca un amestec de alte stări se numesc stări cuantice pure, toate celelalte stări fiind numite stări cuantice mixte.

Matematic, o stare cuantică pură poate fi reprezentată de o rază într-un spațiu Hilbert peste numerele complexe. Raza este un set de vectori nenuli care difera doar printr-un factor scalar complex; oricare dintre ei poate fi ales ca vector de stare pentru a reprezenta raza și deci starea. Un vector unitate este de obicei selectat, dar factorul său de fază poate fi ales în mod liber oricum. Cu toate acestea, acești factori sunt importanți atunci când vectorii de stare sunt însumați împreună pentru a forma o suprapunere.

Spațiul Hilbert este o generalizare a spațiului euclidian obișnuit și conține toate posibilele stări cuantice pure ale sistemului dat. Dacă acest spațiu Hilbert, prin alegerea reprezentării (în esență o alegere de bază care corespunde unui set complet de observabile), este expus ca un spațiu funcțional (un spațiu Hilbert în sine), atunci reprezentanții sunt numiți funcții de undă.

De exemplu, atunci când se face referire la spectrul energetic al electronului într-un atom de hidrogen, vectorii de stare relevanți sunt identificați prin numărul principal cuantic n, numărul cuantic al momentului unghiular l, numărul cuantic magnetic m și componentul z de spin s_z. Un caz mai complicat este dat (în notația bracket) de partea de spin a unui vector de stare.

|ψ› = (1/√2)(|↑↓› – |↓↑›),

care implică suprapunerea stărilor de spin comune pentru două particule cu spin 1/2.

O stare cuantică mixtă corespunde unui amestec probabilist de stări pure; totuși, diferite distribuții de stări pure pot genera stări mixte echivalente (adică, fizic nediferențiate). Stările mixte sunt descrise prin așa-numitele matrici de densitate. O stare pură poate fi, de asemenea, reformată ca o matrice de densitate; în acest fel, stările pure pot fi reprezentate ca un subset al stărilor mixte mai generale.

De exemplu, dacă spinul unui electron este măsurată în orice direcție, de ex. cu un experiment Stern-Gerlach, există două rezultate posibile: up sau down. Spațiul Hilbert pentru spinul electronilor este, prin urmare, bidimensional. O stare pură este reprezentată de un vector complex bidimensional (α, β), cu o lungime unu; adică, cu

|α|² + |β|² = 1,

unde |α| și |β| sunt valorile absolute ale lui α și β. O stare mixtă, în acest caz, are structura unei matrice 2×2 care este hermitiană, pozitiv-definită și are urma 1.

Înainte de efectuarea unei măsurători particulare pe un sistem cuantic, teoria oferă, de obicei, doar o distribuție a probabilității pentru rezultat, iar forma pe care această distribuție o ia este determinată în totalitate de starea cuantică și observabilul care descrie măsurarea. Aceste distribuții de probabilități apar atât pentru stări mixte cât și pentru stări pure: în mecanica cuantică (spre deosebire de mecanica clasică) este imposibilă pregătirea unei stări în care toate proprietățile sistemului sunt fixe și certe. Acest lucru este exemplificat de principiul incertitudinii și reflectă o diferență de bază între fizica clasică și cea cuantică. Chiar și în teoria cuantică, totuși, pentru fiecare observabil există unele stări care au o valoare exactă și determinată pentru acel observabil.

Descrierea conceptuală

Stări pure

(Densități de probabilitate pentru electronul unui atom de hidrogen în diferite stări cuantice).

În formularea matematică a mecanicii cuantice, stările cuantice pure corespund vectorilor într-un spațiu Hilbert, în timp ce fiecare cantitate observabilă (cum ar fi energia sau impulsul unei particule) este asociată cu un operator matematic. Operatorul servește ca o funcție liniară care acționează asupra stărilor sistemului. Valorile proprii ale operatorului corespund valorilor posibile ale observabilei, adică este posibilă observarea unei particule cu un impuls de 1 kg·m/s dacă și numai dacă una dintre valorile proprii ale operatorului de impuls este de 1 kg·m/s. Vectorul propriu corespunzător (pe care fizicienii îl numesc stare proprie) cu valoarea proprie 1 kg·m/s ar fi o stare cuantică cu o valoare definită și bine definită a impulsului de 1 kg·m/s, fără incertitudine cuantică. Dacă s-a măsurat impulsul său, rezultatul este garantat la 1 kg·m/s.

Pe de altă parte, un sistem într-o combinație liniară de mai multe stări proprii diferite are în general o incertitudine cuantică pentru observabila dată. Putem reprezenta această combinație liniară a stărilor proprii:

|Ψ(t)› = Σ_nC_n(t)|Φ_n›.

Coeficientul care corespunde unei anumite stări în combinația liniară este un număr complex, permițând astfel efecte de interferență între stări. Coeficienții sunt dependenți de timp. Modul în care un sistem cuantic se schimbă în timp este guvernat de operatorul evoluției timpului. Simbolurile | și › din jurul lui Ψ fac parte din notația bracket.

Amestecurile statistice ale stărilor sunt diferite de o combinație liniară. Un amestec statistic de stări este un ansamblu statistic de sisteme independente. Amestecurile statistice reprezintă gradul de cunoaștere, în timp ce incertitudinea din mecanica cuantică este fundamentală. Din punct de vedere matematic, un amestec statistic nu este o combinație folosind coeficienți complexi, ci mai degrabă o combinație care utilizează probabilități cu valori reale, pozitive ale diferitelor stări Φ_n. Un număr P_n reprezintă probabilitatea ca un sistem selectat aleator să fie în stare Φ_n. Spre deosebire de cazul combinației liniare, fiecare sistem se află într-o stare proprie definitivă.

Valoarea de așteptare ‹A›_σ a unei observabile A este o medie statistică a valorilor măsurate ale observabilei. Este această medie, și distribuția probabilităților, care este prezisă de teoriile fizice.

Nu există nicio stare care să fie simultan o stare proprie pentru toate observabilele. De exemplu, nu putem pregăti o stare astfel încât atât măsurarea poziției Q(t) cât și măsurarea impulsului P(t) (în același timp t) să fie cunoscute exact; cel puțin una dintre ele va avea o serie de valori posibile. Acesta este conținutul relației de incertitudine a lui Heisenberg.

În plus, spre deosebire de mecanica clasică, este inevitabil ca efectuarea unei măsurători pe sistem să schimbe în general starea sa. Mai precis: După măsurarea unui observabil A, sistemul va fi într-o stare proprie a lui A; astfel încât starea s-a schimbat, cu excepția cazului în care sistemul era deja în acea stare proprie. Aceasta exprimă un fel de consecvență logică: dacă măsurăm A de două ori în același proces al experimentului, măsurătorile fiind direct consecutive în timp, atunci ele vor produce aceleași rezultate. Acest lucru are totuși unele consecințe ciudate, după cum urmează.

Luați în considerare două observabile incompatibile, A și B, unde A corespunde unei măsurări mai devreme decât B. Să presupunem că sistemul este într-o stare proprie a lui B la începutul experimentului. Dacă vom măsura numai B, toate măsurătorile experimentului vor da același rezultat. Dacă măsuram mai întâi A și apoi B în aceeași etapă a experimentului, sistemul se va transfera la o stare proprie a lui A după prima măsurare și vom observa în general că rezultatele lui B sunt statistice. Astfel: măsurătorile cuantice mecanice se influențează reciproc, iar ordinea în care sunt efectuate este importantă.

O altă caracteristică a stărilor cuantice devine relevantă dacă luăm în considerare un sistem fizic care constă din mai multe subsisteme; de exemplu, un experiment cu două particule față de una. Fizica cuantică permite anumite stări, numite stări inseparate, care arată anumite corelații statistice între măsurătorile pe cele două particule care nu pot fi explicate prin teoria clasică. Aceste stări inseparate duc la proprietăți experimentale testabile (teorema lui Bell) care ne permit să facem distincția între teoria cuantică și modelele clasice alternative (non-cuantice).

Imaginea lui Schrödinger vs. imaginea lui Heisenberg

Se pot lua observabilele dependente de timp, în timp ce starea σ a fost fixată o dată la începutul experimentului. Această abordare se numește imaginea lui Heisenberg. (Această abordare a fost folosită mai sus, cu observabile P(t), Q(t) variabile în funcție de timp.) Se poate trata, echivalent, observabilele ca fiind fixe, în timp ce starea sistemului depinde de timp ; care este cunoscută sub numele de imaginea lui Schrödinger. (Această abordare a fost folosită în partea anterioară a discuției de mai sus, cu o stare care variază de timp |Ψ(t)› = Σ_nC_n(t)|Φ_n›) Conceptual (și matematic), cele două abordări sunt echivalente; alegerea uneia dintre ele este o chestiune de convenție.

Ambele puncte de vedere sunt folosite în teoria cuantică. În timp ce mecanica cuantică non-relativistă este formulată de obicei folosind imaginea lui Schrödinger, imaginea lui Heisenberg este adesea preferată într-un context relativist, adică pentru teoria câmpului cuantic.